大学逻辑学第9章 证明与反驳.ppt

证明与反驳,导言证明论证的规则反驳公理法与形式化非形式论证,什么是论证?,论证就是引用已知为真的命题来确定另一命题的真实性与虚假性的思维过程。论证分为证明和反驳。 （人大逻辑学第二版）所谓论证指的是从一些命题出发，经过一系列推理，而最终得到另一个命题的一种逻辑方法。（如果一个论证中只使用了演绎推理，我们就称之为证明。北大逻辑学）论证就是用一个（或一些）真实命题确定另一命题真实性的思维过程。（上海人民普通逻辑修订版）,对论证的本体之思,我们面对的是两组命题之间的逻辑关系。论证是一个交往的过程，如同在这两组命题之间河流上铺上一个个沟通的命题之石。论证是符号权力的延伸和扩展的过程。论证使得一些命题归属（服从）于另外一些作为前提的命题。因此，论证提供了一种权力扩张的方式。论证是你有什么想法吗？,证明的实质,证明,定义：证明是由一个或一些判断的真实性，通过推理确定另一判断的真实性的思维过程。,结构：证明由论题、论据、证明方式三个部分组成。,论题：在证明中需要确定其真实性的判断。,论据：用以确定论题的真实性的判断。,证明方式：把论题和论据联系起来的逻辑形式。,证明一例：路边上立放着一段圆柱形水泥管，由A点到B点是围绕水泥管螺旋上升的圆周(如图1)。有一天，一只壁虎趴在这条圆周线的c点上，一只苍蝇在圆柱顶飞来飞去。壁虎动不动，两只眼睛盯住它，当苍蝇正好落到A点时，壁虎立刻沿着图上的路线(圆柱螺旋线)迅速而敏捷地爬了过去，一口把苍蝇咬住。请证明：壁虎捉苍蝇在水泥管面上爬的这条路线是最短的一条路线。,图1,圆柱螺旋线的定义：一个动点沿着圆柱面等速旋转，同时又等速上升，画出来的线就叫做圆柱螺旋线。根据螺旋线的性质，如果在圆柱面上截取一段，截取的长度恰好是螺旋线转了一周；再沿着圆线AB把这段圆柱面剪开摊平，我们得到的圆柱的侧面展开图是一个长方形，而螺旋线就是这个长方形的对角线AB(如图2)。,图2,A,C,B,根据平面上两点之间的距离以直线为最短，而CA是对角线AB的一段，即是直线段的一部分，所以，壁虎在水泥管面上捉苍蝇爬行的路线是最短的一条路线。这是一道有趣的数学证明题。它回答了为什么壁虎捉苍蝇在水泥管面上爬的这条路线是最短的一条路线的问题。,证明的结构,论证与推理关系,两者联系：紧密相连。论题大体相当于推理的结论，论据大体相当于推理的前提，证明方式大体相当推理的形式。两者区别：根本上看，推理是逻辑形式，论证是方法。直观上看，两者也有区别：第一，思维的程序不同；第二，要求的重点不同；第三，逻辑结构的繁简不同。,证明的种类,演绎证明1、依推理形式性质 （证明方法） 归纳证明（包括类比） 直接证明2、依论题和论据联系 反证法 （证明方式） 间接证明 选言证明,含义：演绎证明方法是证明方式为必然性推理形式的证明方法。演绎证明的线路通常是从一般原理指向特殊结论。例子：论题：意见的对象和知识的对象是不同的。论据：不同的知识能力与不同的知识对象相对应；意见和知识是不同的认识能力。证明方法：演绎推理中的三段论。证明方式：直接证明。,演绎证明方法,归纳证明方法,含义：归纳证明是运用归纳推理的形式进行证明的方法，即根据个别或特殊性的论断来证明一般性的原理。例子（摘于恩格斯自然辩证法 ）：论题：社会需要是数学发展的根本的动力。证明：所用的逻辑方法是枚举归纳法，列举了社会需要推动天文学、力学的发展，进而推动数学的进步的。（见下页）,首先是天文学，游牧民族和农业民族为了定季节，就已经绝对需要它。天文学只有借助于数学才能发展。因此也开始了数学的研究。后来，在农业发展的某一阶段和在某个地区(埃及的提水灌溉)，而特别是随着城市加大建筑物的产生以及手工业的发展，力学也发展起来了。不久，航海和战争也都需要它。它也需要数学的帮助，因而又推动了数学的发展。,类比证明方法,含义：类比证明方法是运用类比推理形式进行证明的方法，即根据两个或两类对象在些属性上相同或相似来证明某一命题的真实性的方法。例子：论题：光有波动性（惠更斯）。证明：光和声两类现象共同具有：直线传播、反射、折射等现象，而声音具有波动性。所以，光也有波动性。,直接与间接证明的结构,含义：通过证明与原论题相矛盾的论题的虚假性，进而确定论题的真实性的一种间接证明方法。一般步骤：设与原论题相矛盾的反论题真；推出矛盾，从而证明反论题假；根据排中律确定原论题必真。逻辑形式：论题：p设矛盾论题：非p证明：如果非p，则q；并非q；所以，并非“非p”所以，p是真的（根据排中律）。,间接证明：反证法,例子：论题：语言的声音与它所表示的事物之间没有必然关系。证明：假设声音和所指事物有必然联系；如果声音和事物之间有必然联系，那么世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就是相同的了。既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同，所以，假设不成立。可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的。,例子 是无理数的证明（古希腊人）。证明：假设 是有理数，那么就写成p/q的形式，且p和q互质。那么有p= qp=2q可得p是偶数。 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得：q=2s. 所以q也是偶数。这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p与q互质矛盾。则假设不成立！ 因此为无理数。,选言证法,含义：选言证法也叫排除法，是通过证明与原论题有选言关系的其它可能性论断的虚假，从而确定原论题真实性的一种间接证明方法。一般步骤：穷尽列举包含原论题在内的选言支；证明除原论题以外的各种可能情况的选言支都是虚假的；根据选言推理的否定肯定式从而推出论题真。,一般逻辑形式：论题：p证明：pq r；q；r；p.,论题：“中国革命战争只能由中国无产阶级及其政党来领导”。证明：中国革命的领导或者是无产阶级政党，或者是资产阶级，或者是农民和小资产阶级；资产阶级不可能领导中国革命走向胜利；农民和小资产阶级不能成为战争的正确的领导者；所以，中国革命的领导责任，就不得不落在中国共产党的肩上。,例子：（毛泽东在中国革命战争的战略问题）,证明的规则,论题必须明确。否则犯“论题含混不清”逻辑错误。 关于论题 论题必须保持同一。否则犯“转换论题”逻辑错误。 论据当是真实判断。否则犯“虚假论据”或“预期理 由”逻辑错误。关于论据 论据的真实性不应依赖论题的直实性来证明。否则犯“循环 证明”逻辑错误。 1、违反推理规则。关于证明方式 2、论据与论题不相干。 对应的错误称为 “推不出”。 3、以人为据。,“论题不清”的错误,论题必须是一个有确定真值的命题，论题中所出现的词项（谓词）必须有确定的外延。否则，我们称该论证“论题不清”。例1：“苹果比桔子好吃”就不能作论证的论题。因为它不具有确定的真值。例2：有人证明“每名身高1.7米以上的人都是瘦子”：如果一名身高1.7米以上的人体重不超过40000克，那他自然是个瘦子；如果一名瘦子的体重增加了1克，他当然还是瘦子。因此由数学归纳法可知每名身高1.7米以上的人都是瘦子。问题出在“瘦子”一词没有确定的指称。它不是外延明确的词项或“谓词”。,“论据虚假”的错误,论据必须是公认的真命题。否则犯“论据虚假”的错误。如：亚里士多德曾说：地球是宇宙的中心，因为日月星辰都是围绕地球转的。而所谓“日月星辰都是围绕地球转的”这一论据是假的。所以，这一论证就犯了虚假论据的错误。,“预期理由”的错误,所谓预期理由的错误，是指在证明时所用的论据本身还是一些真实性尚未得到证明的判断。例子：曾有人为了证明“火星上是有人的”，而提出的论据是：“用望远镜观察火星，可以发现上面有不少有规则的条状阴影，而这就是火星人开凿的运河”，因此得出结论说：“火星上是有人的。”这个证明就犯了预期理由的错误。因为，他所提出的论据“火星上的有规则的条状阴影是火星人开凿的运河”，这个判断本身是否真实还未确定。,“循环证明”的逻辑错误,在同一证明过程中，论题与论据不能互为论据。例：有人试图以从海岸上看远处的行船总是先见桅杆后见船身这一现象来证明地球是圆的：如果光线是直线传播的并且人们总是先见桅杆后见船身的，那么地球是圆的。但是，若问为什么从海岸上看远处的行船总是先见桅杆后见船身呢？这又有待于“地球是圆的”这一判断的被证明：如果地球是圆的并且光线是直线传播的，那么总是先见桅杆后见船身。,推不出的错误：形式不正确,证明中采用的推理形式不正确。比如，有人说：“这人个子这么高，一定是个篮球运动员。”然而事实上并非所有高个子都是篮球运动员，“个子高”和“为篮球运动员”这两者之间并无必然联系。如果我们把这一错误的证明中包含的推理形式表述出来，那就是：篮球运动员都是高个子，此人是高个子，所以，他是篮球运动员。此三段论推理犯了“中项不周延”的错误。,推不出的错误：不相干,论据和论题不相干，即证明中的论据虽然也可能是真实的，但却与所要证明的论题毫无关系。例如，有位年轻人在谈论自己学习不好的原因时说：“我想，自己脑袋小，知识装不进，学习不好的原因就在这倒霉的长相上。”我们知道，学习的好不好同长相好不好（脑袋大小）是毫不相干的。因此，这位年轻人的证明也就包含了“推不出”的逻辑错误。,推不出的错误：以人为据,这是在论证过程中，为了论证一个判断的是否真实，不是以事实和已经证明的科学原理为依据，而是以与这一判断（论题）有关的的人的权威、地位、品德作为论证这一判断真假的依据。通常所说的“因人纳言”或“因人废言”就是犯了这种错误。例如， “嘴上无毛，办事不牢”，用“办事者年纪轻”为论据来证明“年轻人办不好事”，就属这类错误。,练习一、分析下列证明的结构，指出它们的论题、论据和证明方式和方法。,1.许多国家的刑事诉讼法典都有被告人负担诉讼费用的规定.如蒙古、阿尔巴尼亚、保加利亚等国的刑事诉讼法典都规定：“法院在认定受审人有罪时，应当在作出判决的同时，判令受审人负担诉讼费用。”联邦德国刑事诉讼法典第45条也规定：“被判刑人有负担诉讼费用的义务。”,2为了保证人民生活水平逐步得到改善，必须继续坚定不移地控制人口的增长，在这个问题上，有两种可能：或者严格地有效地控制人口增长，使全体人民的生活水平逐步提高，国家建设逐年扩大；或者是控制不严，措施不力，听任人口继续大量增长，从而既不能改善人民生活，也不能很好地进行经济、文化、国防的建设。而广大人民则要求改善生活，要求很好地进行经济、文化和国防的建设。,练习二、指出下列证明有何逻辑错误。,1，有一个被告，在刑讯逼供的情况下，供认自己杀了人，并称是用他家的那把菜刀杀的。于是，审判员就作了杀人罪的判决。这个审判员首先用被告的口供，证明被告家中的那把菜刀是杀人凶器，然后又用这把菜刀是被告杀人的凶器，证明被告是杀人凶手。,2，普罗达哥拉斯要学费的证明以及欧提勒士的反驳。老师：如果胜诉，要给学费；如果败诉，也要给学费；或者胜或者败。所以，要给学费。学生：如果胜诉，不给学费；如果败诉，也不给学费；或者胜或者败。所以，不给学费。,反驳,定义：反驳是由断定一个或一些判断的真实性，通过推理确定另一判断虚假或其证明不能成立的思维过程。结构：反驳由反驳 的论题、用以反驳的论据和用以反驳的证明方式三部分组成。 反驳论题反驳的种类 反驳论据 反驳证明方式,例子：,1.恩格斯批判“非此即彼”的观点： “绝对分明和固定不变的界限”是和进化论不相容的脊椎动物和无脊椎动物之间的界限不再是固定不变的了，鱼和两栖类之间的界限也是一样；鸟和爬虫类之间的界限正日益消失。细颚龙和始祖鸟之间只缺少几个中间环节，而有牙齿的鸟喙在两半球上都出现了。“非此即彼”是愈来愈不够了。在低等动物中，个体的概念简直不能严格地确立。不仅在这一动物是个体还是群体的问题上是如此，而且在发展过程中在什么地方一个个体终止而另一个个体开始这一问题上也是如此。一切差异都与中间阶段融合，一切对立都经过中间环节而相互过渡，对自然观的这种发展阶段来说，旧的形而上学的思维方法就不再够了。”,例子：,2. 有人说属羊的命苦，因为羊是任人宰割的。属羊真命苦吗？古代有“羊”、“祥”通假，羊即祥。由此，羊一直被人视为吉祥物。东汉年间，人们开始用天干地支相配纪年，为方便记忆，拿12种动物来配地支。后来衍生出相生相克的说法。有学者指出：旧时的比附、禁忌实在荒唐。属羊的不好，属牛的也不会太佳，属虎的必然是虎豹豺狼，属鼠的有鼠窃之嫌，属狗的要咬人，属猪的一定脏，龙年生的绝不能安生如此，属什么能没有问题呢？,反驳的方法,演绎反驳依推理形式的不同 归纳反驳 直接反驳依论据与论题联系程度 间接反驳 归谬法,反驳论题 依反驳的对象划分 反驳论据 反驳证明方式,间接反驳,含义：通过证明另一个与对方论题相矛盾或相反对的论题的真实性，然后根据矛盾律，从而间接确定对方论题的虚假性的反驳。也叫独立证明反驳法。逻辑形式：被反驳论题：p反驳：设：非p或q（与是反对关系）证明：非p真（或q真），所以，p假（根据矛盾律）,归谬法,含义：先假定所反驳的论题是真的，然后从它推出非常明显的荒谬结果（或推出逻辑矛盾），从而根据充分条件假言推理的否定后件式，确定原论题虚假。形式一：特征：从被反驳的判断中引伸出假判断。逻辑形式：被反驳论题：p反 驳：设p真，如果p，则q,非q，所以，非p（根据充分条件假言推理的否定后件式）,形式二：特征：从被反驳的判断中引伸出与其自身矛盾的判断。逻辑形式：被反驳论题：p反驳：设p真，如果p，则非p,所以，p假。,形式三：特征：从被反驳的判断中引伸出两个相互矛盾的判断。逻辑形式：被反驳论题：p反驳：假设p真，如果p，则q并且非q；并非（q并且非q）；所以，p假。,练习三、分析下列反驳，指出其被反驳的论题和反驳方法。,1. “假药无害”这个说法是错误的。药是用来防治疾病的，如果是假药,则达不到治病的效果。假药不仅不能治病，还要害人：生小病的人用了假药会发展成重病；重病号用了假药，得不到及时治疗，就有可能致人死亡。这与“庸医杀人”是一样道理。,练习三、分析下列反驳，指出其被反驳的论题和反驳方法。,2. 有人认为，精神文明建设就是对人们进行科学文化教育。因为科学文化水平提高了，人们也就由此变得文明了。这种观点是片面的，西方许多科学文化发达的资本主义国家，它们的公民科学文化水平普遍比中国的公民水平高，可他们中的杀人犯、恐怖主义者、吸毒者等也比中国多得多。,练习三、分析下列反驳，指出其被反驳的论题和反驳方法。,3. 燃素说是17世纪由德国化学家施塔尔提出的，他认为一切可燃烧物中有一种特殊的物质燃素，燃烧过程就是可燃物放出燃素的过程。但是后来对燃烧现象进行精确的定量分析表明金属燃烧后，重量不是减少，而是增加。这样，燃素说只好宣称燃素有负重量。这当然是极其荒谬的。,练习三、分析下列反驳，指出其被反驳的论题和反驳方法。,4. 有人说：“吃鱼可以使人头脑聪明”，真的是这样吗？鲁迅因刺多费时，素不喜食鱼，他那目光如炬的洞察力，所向披靡的批判锋芒，足以显示了他的聪明。“举家食粥”的曹雪芹，恐早已与鱼无缘，却写下了绝顶聪明的红楼梦。就是喜食鱼头的聂卫平，如果仅仅是一日三餐大吃鱼头，也绝无棋盘上的聪明的。那些花天洒地，终生绝无食之虞的末代昏君与纨绔子弟，有一个聪明的吗？海底那些唯以鱼为食的生物，虽比人类出现得还早，至今也仅仅聪明到为人类的盘中餐而已！,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,1. 我们相信归纳法，就是因为归纳法迄今是有成效的。它是可以得到证明的：在X1场合运用归纳法是有成效的；在X2场合运用归纳法是有成效的；在X3场合运用归纳法是有成效的；在Xn场合运用归纳法是有成效的；所以，在任何场合运用归纳法是有成效的。,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,2. 鲁迅在论辩的魂灵一文中，概括了当时反动派的奇谈怪论：“你说甲生疮，甲是中国人，你就是说中国人生疮了。既然中国人生疮，你是中国人，就是你也生疮了。你既然也生疮，你就和甲一样。而你只说甲生疮，是说诳也。卖国贼是说诳的，所以你是卖国贼。我骂卖国贼，所以我是爱国者。爱国者的话是最有价值的，所以，我的话是不错的，我的话既然不错，你就是卖国贼无疑了。”,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,3. 17世纪法国哲学家笛卡尔曾经这样证明神的存在。他说，我的神的观念是非常明晰的，神是尽善尽美的，无所不包的，因此也包含了“存在”的性质，如果说尽善尽美的神缺乏这一重要性质即说他“不存在”，是自相矛盾的。因此神是存在的。,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,4. 战国时宋玉曾有登徒子好色赋一文，以证明他不好色，真正好色的是登徒子：大夫登徒子侍于楚王，短宋玉曰：“宋为人体貌闲丽，口多微辞，又性好色。愿王勿与出入后宫。”王以登徒子之言问宋玉。玉曰：“天下之佳人莫若楚国，楚国之丽者莫若臣里，臣里之美者莫若臣东家之子。东家之子，增之一分则太长，减之一分则太短；着粉则太白，施朱则太赤；眉如翠羽，肌如白雪，腰如束素，齿如含贝，嫣然一笑，惑阳城，迷下蔡。然此女登墙窥臣三年，至今未许也。登徒子则不然。其妻蓬首挛耳，齞唇历齿，旁行踽偻，又疥又痔。登徒子悦之，使有五子。王熟察之，谁为好色者矣？”,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,5. 名人未出名门者为实更多。值得注意的是，如果越是注意查看一些名人的经历，就越是发现他们的出身并不高贵，其家庭既不是有万贯财富的富户，其先父远祖也不是具备后辈名人所擅长的技艺，以至于祖传世袭。因此，我们可以说，所有的名人都是从无名小辈中过来的，从没有生下来就是名人的先例。,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,6. 杜林认为，被思考的存在、世界概念是统一的，所以现实的存在、现实的世界也是不可分割的统一体。,练习四、分析下列证明或反驳中的逻辑错误,7. 面对严酷的现实，我们不得不承认：人生就是为了自己的生存而挣扎，而斗争。人们不管做什么都是直接或间接地的为了自己的生活。为别人劳动是为了得到别人为他自己相同的劳动。不是吗？工人工作是为了领取工资而生活，农民种田是为了自己穿衣吃饭，作家写书给人看是为了领取稿费诚然，有像雷锋这样一心为人民着想的人。但这样的人也必须有自己能生存的基础，他们首先得为自己的生存而劳动，否则连他自己都不能生存，又怎能为别人呢？,第三节 形式化方法,人类的理论追求：理论是普遍性的秩序。理论的抽象本质与现象之间有逻辑的联系。（逻辑联系是符号之间的推导关系）理论比现象简单。理论能解释现象，并且能预测新现象。理论实体是客观存在的。形式化方法是逻辑学的理论追求。,一、公理法和形式化,什么是公理法？公理法是一种构造理论的方法，其中有两个基本的特点：它在一个理论中明确区分了初始概念（即范畴或属概念）和被定义概念（种概念）；出发命题（即公理）和被证命题（即定理）。它明确规定了定义规则和演绎规则。运用定义规则于初始概念或已定义概念，就可定义新的概念；运用演绎规则于公理或已证明定理，就可以证明新的定理。,对公理的要求,真实性，即普遍接受的命题；一致性，即不会推出矛盾；独立性，即公理之间不存在推导关系；完全性，即可以推出该理论中的一切命题。,什么是形式化,形式化是构造形式系统的程序。形式系统的构造分为四个步骤：给出初始符号：系统中只允许出现的符号，不具有任何意义的字母。确定形成规则：符号构成公式的语法规则。确定公理：不加推导就予以断定的公式集。确定变形规则：规定公式之间相互推导的规则。前两个步骤定义了一个形式语言，后两个步骤在这一形式语言上定义了一个演绎系统。,形式化的特点,形式化的特点之一是严格性。形式化方法能行地判定一个符号或符号串是否为初始符号、公式、公理，并能行地判定一个公式序列是否为