数学建模——公司投资问题.doc

公司最优投资方案的数学模型摘 要本文解决的是某公司在未来5年内最优的投资方案问题，通过对该公司财务分析人员提供的数据（附录一到四）的统计分析，我们建立了三个最优化模型。对于问题一，在考虑该公司现有资本及收益的情况下，以第五年末所得利润的最大值作为目标函数，以每年的投资上限和各项目投资方式限制作为约束条件，建立了单目标最优化模型。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润17.41405亿元，5年内最佳的投资方案如下表：项目12345678第1年5.1545453.003.8454553.003.002.0000第2年00003.002.004.000第3年0000.6168183.002.0003.00第4年00.354.003.000000第5年5.5218593.00000000对于问题二，通过使用EXCEL软件对历年数据进行分析后发现其波动都很大，我们采用将灰色预测和时间序列模型的二次指数平滑法组合的预测方式进行预测，预测了今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率，运用Matlab编程求出到期利润率，并利用Excel求出风险损失率，其具体结果见表十、十一和十二。对于问题三，结合问题二的预测结果，考虑该公司争取到的资金捐赠，建立了与问题一相同的目标函数，即第五年末所得利润的最大值，改变了约束条件。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润38.1238亿元，最佳的投资方案见表十三。对于问题四，建立了与问题三相同的模型，即目标函数相同。问题四是在问题三的基础上考虑了风险投资率，即增加了约束条件。依照该模型求得该公司在第五年末可以获利润13.2814亿元，最佳的投资方案见表十四。对于问题五，根据题目要求，采用同样的思想建立模型五，以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）作为目标函数，建立新的约束条件（考虑投资风险率）。利用Lingo求得该公司在第五年末可以获利润33.9814亿元，最佳的投资方案见表十五。关键词：单目标最优化 灰色预测模型 二次指数平滑法 组合预测1. 问题重述1.1 问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。在本文中，我们考虑提出该公司最优的投资方案。该公司的财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据时发现，在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。而在未来5年的投资计划中，还包含了对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资；项目5的投资额固定为500万，可重复投资以及各投资项目都有投资上限（见附录四）的情况。1.2 需要解决的问题 问题一：根据附录一给出的数据，确定五年内如何安排该公司的投资计划，并使得第五年末所得利润最大。 问题二：根据附录二和三提供的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 问题三：考虑到未来5年的投资计划中的其他情况，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资并使得第五年末所得利润最大。 问题四：将投资风险考虑到问题三中的投资问题，又该如何决策。 问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策？ 2. 模型的假设与符号说明2.1 模型的假设假设一：在投资期内，我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失； 假设二：投资项目以及银行的利润率在预测期内是稳定不变的；假设三：附录一中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性。 假设四：只考虑项目3、4、5、6和5、6、8同时投资时之间存在相互影响，其他情况不做考虑。 假设五：当用20亿资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量 假设六：银行未来五年内的存款年利润率和贷款年利润率不变2.2 符号说明符号符号说明投资项目，投资年份，项目在第年初的投资金额项目在第年末到期回收的本利（本金和利息的总和）项目的预计到期利润率项目的投资上限第年末到期回收的本利的总金额表示第年初可用于投资和存款的总金额第年初对所有项目投资的总金额公司用于投资的本金（20亿）项目在第年投资后到期的预计到期利润率项目的风险损失率项目在第年投资的实际利润率第年初投资金额和存款金额的总和第年末还贷款后回收的总金额公司第年存款的金额公司第年贷款的金额3.问题分析此题研究的是某公司未来5年内的投资资金的使用问题，属于经济模型中的决策模型。虽然我们针对问题一、三和四建立的三个单目标最优化模型的目标函数相同，但由于各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制，所以对于不同的情况，就具有不同的约束条件。针对问题一，考虑到项目1、2每年初投资，当年年末回收本利；项目3、4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、6每年初投资，第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利作为约束条件，以及初始资金共20亿。以第五年末所得利润最大为目标函数，建立了一个单目标最优化模型。针对问题二，要对各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行预测，首先，要求出历年来的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，然后考虑采用插值拟合对附录二、三的缺省值进行预测，在选择适合本问题精度较高的预测模型，进行对比后，我们采用了综合灰色预测模型和二次指数平滑法的预测方式。对于风险投资率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率。针对问题三，在问题一的模型上改变了约束条件，即各项目的投资上限，项目5的投资额固定为500万且可重复投资和资金捐赠问题。结合问题二的预测结果，和问题一相同的目标函数的单目标最优化问题。针对问题四，是在问题三的投资问题上增加了风险投资率。也就是将问题三中的到期利润率换成实际利润率即可求解。即目标函数不变，增加了约束条件的单目标最优化问题。针对问题五，考虑到降低风险投资，该公司决定拿出一部分资金存入银行。为了获得更高的收益，当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分资金投资；当投资风险率低时，应选择在银行贷款进行投资。所以，我们以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）最大作为目标函数的单目标最优化模型。4.数据分析4.1 数据处理题目附录四中给出了各种投资项目的方案以及投资上限，我们利用Excel软件和Matlab编程对这些数据进行了相关统计分析和处理。 首先，我们根据附录二、三求出项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。其中，整理求得后的数据见附录五、六（相关程序见附录）。4.2 数据预测为方便分析以及组合预测法预测，我们对附录二、三的到期利润率的缺省值进行预测，采用多项式插值拟合的方式。4.2.1 多项式插值拟合的建立所谓插值，就是由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值。曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。我们选择项目一历年的到期利润率利用Excel软件对其分析，见下图。可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的到期利润率波动都比较大。而且经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。 所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。通过对每组数据，使用matlab构造解析表达式，再进行预测(相关程序见附录)。 在本题中，我们将年份即从1986年开始到2005年之间的时间作为自变量，设为；到期利润率作为因变量，设为。其中时间，从1986年开始，即设为单位1，以此类推。4.2.2 预测结果 通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六）： 表一：各投资项目独立投资时0305年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）项目1234567803年0.10390.18120.26400.37010.92911.1089.02073.901904年0.19080.18040.31830.41590.870.584211.25561.809005年0.13080.15480.50300.72612.129-0.040513.82411.9558表二：一些同时投资的项目04、05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656804年0.47090.47451.04452.30773.0729-0.9029-0.652005年0.16310.72681.42992.77574.1562-1.6356-1.45795.问题一的解答 问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风险投资。这是线性规划中的最优解问题。针对问题一，我们建立了模型一。5.1 模型一的建立5.1.1 确定目标函数该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润。为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。该公司第一年年初只能对前六个项目（项目1，项目2 项目6）进行投资，且6个投资项目预计到期利润率都大于0（见附录一），所以第一年20亿全用于投资。当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）：5.1.2 确定约束条件 （1）对于这8个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限（见附录一），即：（2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金利润和），即：其中，第一年的总投资金额不应大于20亿，则为：注：=20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额 （3）对于项目1，2，每年初投资，当年年末回收本利；对于项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；对于项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利；则：特别地， （4）对于项目3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则：， （5）对于项目5，6每年年初投资，第三年末回收本利，则：，综合（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题一的约束条件。5.1.3 综上所述，得到问题一的单目标最优化模型 5.2 模型一的求解根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元），具体数据见下表：表三：5年内最佳的投资方案（单位：亿元）项目12345678第1年5.1545453.003.8454553.003.002.0000第2年00003.002.004.000第3年0000.6168183.002.0003.00第4年00.354.003.000000第5年5.5218593.00000000根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润17.41405亿元。其数据的灵敏度分析同样适用Lingo求解，具体结果见附录八。6. 问题二的解答 对于问题二，要预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率，首先要对提供的数据进行处理。我们已经通过插值拟合对附录表二、三的数据的缺省值进行了预测，见附录五、六。6.1 模型二的准备首先对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行灰色预测，得到的结果误差较大（最高的百分绝对误差为5.3704%），又利用时间序列预测模型中的一、二、三次指数平滑预测法进行预测，结果也都不理想。通过用一、二、三次的指数平滑法来预测19862005年的到期利润率，与真实值比较后发现，二次指数平滑法的预测效果要好于其他两种（具体对比数据见附录七）。 所以我们采用组合预测方法，组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同的单项预测法对同一预测对象进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法。6.2 模型二的建立 在本题中，我们采用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的组合预测模型来预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。这里采用均方误差确定加权系数。 首先，我们把1986-2005年分为两个时间段，即：前十年为一段，后十年为一段。然后，我们分别用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法根据1986-1995年到期利润率预测1996-2005年的到期利润率。6.2.1 灰色预测模型的建立 原始数据，原始数据1986-1995年的到期利润率数据（即）表示为 计算生成序列，用GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据作一次累加得到序列可以得到相应的的递增系列 得到模型的白化方程，首先对计算紧邻均值生成：接着我们根据GM(1,1)建模，写出灰色函数：根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到GM(1,1)的白化方程即： 白化方程的求解，得到预测值表达式，其白色方程的解为时间响应函数通过改变的值我们可以得出原始数据序列的预测值为：6.2.2 灰色模型的预测在已知各投资项目独立投资和一些同时投资的项目从1986年到2005年到期利润率的前提下，应用灰色预测对0610年的到期利润率进行预测。预测结果见表四、五。 表四：各投资项目独立投资时0610年的到期利润率的预测值项目1234567806年0.14252 0.229210.364070.518631.03061.366 4.2666 1.8849 07年0.14183 0.23858 0.36434 0.55297 1.01921.4694 4.5933 1.922508年0.14114 0.24834 0.3646 0.58959 1.0079 1.5806 4.945 1.9609 09年0.14046 0.25851 0.36487 0.62863 0.996731.7003 5.3236 210年0.139780.269080.36513 0.670260.98571.8295.73122.0399 表五：一些同时投资的项目从0610年的到期利润率的预测值项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656806年0.46264 0.478791.31430.33205 -1.71360.20946 0.88149 07年0.46243 0.482821.4380.3823 -2.0347 0.19190.84306 08年0.462220.486891.5734 0.44016 -2.4159 0.17582 0.8063109年0.46202 0.49099 1.7215 0.50678-2.8686 0.161080.77116 10年0.46181 0.495121.88350.58347-3.40620.147580.73754 6.2.3 二次指数平滑法的建立1原始数据，原始数据1986-1995年设为时间序列为，2取移动平均的项数，则移动平均数的递推公式有以作为的最佳估计，则有； 3计算一次指数平滑公式，令，为加权系数，对于该模型我们采用（通过比较后的预测结果，我们采用误差较小的0.2作为加权系数），以代替，即得:，其中，得到一次指数平滑公式为： 4建立二次平滑指数公式，根据一次指数平滑公式，再做二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型，计算公式为当时间序列，从某时期开始具有直线趋势时，可用直线趋势模型进行预测。 由于时间序列的数据较多，为20个，初始值对以后的预测值影响较小，所以，我们选用第一个数据为初始值。6.2.4 二次指数平滑法的预测应用二次指数平滑法对20062010年的到期利润率进行预测。预测结果见表六、七。 表六：各投资项目独立投资时0610年的到期利润率的预测值项目1234567806年0.1546 0.21710.32280.40460.97771.0282 4.6061 1.843807年0.1449 0.1975 0.3983 0.5640 1.51320.5739 4.6846 1.932408年0.1486 0.21070.3716 0.5311 1.3740 0.7288 4.9539 1.9407 09年0.1469 0.21080.3857 0.5751 1.50470.6400 5.1469 1.981210年0.14740.21610.3835 0.58831.52740.64875.37042.0088 表七：一些同时投资的项目从0610年的到期利润率的预测值项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656806年0.5188 0.44161.11232.0812 2.2284-0.2707 0.0904 07年0.3686 0.57031.32332.5603 3.2687 -0.9997-0.7754 08年0.42070.53341.32292.5700 3.1218-0.8912-0.675509年0.3919 0.5627 1.4070 2.76753.4498 -1.1177-0.9619 10年0.3955 0.56561.45732.88983.5878-1.2102-1.09386.2.5组合预测模型的建立 应用两种预测法对1996-2005年的到期利润率进行预测。这10年的实际值与预测值见附录五。由1996-2005年预测值与实际值的均方误差（）确定加权系数。 （1）设（）分别表示预测值，实际值和预测数据个数，那么由公式 可分别求出灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的均方误差，。故 ： 灰色GM(1，1）法的权系数： 二次指数平滑法的权系数： （2）设分别表示灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的预测值，则组合预测值为。6.2.6组合预测模型的预测 应用Excel求出灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的均方误差，及权系数，见下表八，表九：表八：各投资项目独立投资时的均方误差和权系数项目123456780.01090.09660.05050.05000.48300.33852.85663.26840.01010.01340.04960.03880.31650.28273.39970.86400.48090.12150.49530.43660.39580.45510.54340.20910.51910.87850.50470.56340.60420.54490.45660.7909表九：一些同时投资的项目时的均方误差和权系数项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、834565680.0663 0.03480.44050.5348 0.44510.3038 1.3773 0.0618 0.03890.16460.4152 0.5151 0.30990.5516 0.48210.52770.27210.4371 0.53650.50500.28600.5179 0.4723 0.7279 0.56290.4635 0.49500.7140 6.2.7 模型的精度检验 为了检验预测效果，我们引入均方根误差（Root Mean Squared Error，简称RMSE）对预测性能进行评价，它是一种常用的误差度量标准，其计算公式为：其中，是实测值，为预测值，为预测检验个数。显然，该指标的值越小说明预测精度越高。我们采用均方根误差对组合预测法进行精度检验，使用的数据中，预测值为对19962000年五年的组合预测法计算出的数据，实测值是这五年的真实数据。采用EXCEL软件对数据统计分析，将计算得到结果记录于下表中：项目项目一0.002631项目二0.003028项目三0.014886项目四0.005721项目五0.133572项目六0.110520项目七0.133572项目八0.312634项目同时投资项目三、四项目三0.019801项目四0.007943同时投资项目五、六项目五0.051283项目六0.105772同时投资项目五、六、八项目五0.131105项目六0.049964项目八0.081647 从上表可以看出得到的均方差的值都较小，将其与灰色预测模型和二次指数平滑法相比较，发现其效果稍好。说明检验效果很好。6.3 模型二的求解 （1）对该公司从20062010年的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率的组合预测值为：表十：各投资项目独立投资时0610年的到期利润率的预测值项目1234567806年0.14880.21860.34320.45440.99861.18194.42161.852407年0.14340.20250.38150.55921.31770.98144.63501.930308年0.14500.2153 0.36810.55661.22911.11654.94911.944909年0.14380.21660.37540.59851.30361.12255.24291.985110年0.14370.2225 0.37440.62411.31301.18595.56652.0153表十一：一些同时投资的项目从0610年的到期利润率的预测值项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656806年0.49170.46121.16731.31660.1135-0.02820.316707年0.4138 0.52411.35451.60830.4234-0.3979-0.312508年0.44070.50891.39111.63900.1508-0.3524-0.251709年0.42570.52491.49261.77930.0600-0.4719 -0.466210年0.42750.52841.57331.8817-0.1645-0.5245 -0.5700（2）风险损失率 由于投资越分散。总的风险越小，预测风险损失率可以通过方差分析来实现。由此建立了如下的方差模型： 根据该方差模型可分别计算出今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的风险损失率。 6.4 问题二的结果最终今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率的预测结果见表十、十一；风险损失率的预测结果见表十二。表十二：各投资项目独立投资时0610年的风险损失率（百分比）的预测值项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目80.015000.057000.121200.041901.018381.006844.210862.38320同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、834565680.093200.079000.723700.945822.044381.037761.118497.问题三的解答 问题三是在问题二的预测结果基础上，利用公司争取到的资金捐赠，确定合理的投资方案，使得第五年年末公司所得利润最大，且属于无风险有捐赠投资。模型三同模型一，建立以公司在第五年末所得利润的最大为目标的单目标最优化模型。7.1 模型三的建立7.1.1 确定目标函数 由于问题三与问题一的目标函数相同，即使第五年末所得利润值最大，我们建立了如模型一的目标函数：7.1.2 确定约束条件由问题三可知，模型三与模型一在各项目的投资回收要求上具有相同的约束条件，再结合问题二的预测结果，得到关于各项目投资回收的新约束条件为： （1）对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对于项目3，4：， （3）对于项目5，6：，而对于问题三，该公司未来5年的投资计划中，还包含以下情况： （4）项目5的投资额固定，为500万，可重复投资，即： （5）对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。为方便建模，我们定义了一个判别函数：即当在项目1中投资超过20000万时，；反之，。则对各项目投资的总金额和到期回收的本利总金额，有：第一年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，有 第二年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有第三年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，8 ， 第四年，对于投资项目1，2，3，4，有 第五年，对于投资项目1，2，有 综合（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题三的约束条件。7.1.3 综上所述，得到问题三的单目标最优化模型 7.2 模型三的求解根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元），具体数据见下表十三： 表十三：5年内最佳的投资方案（单位：亿元）项目1234567806年1.2345681.234568 1.2345681.2345680.051.780654 0007年1.2345681.2345681.2345681.2345680.051.2345683.00008年1.2345681.2345681.2345681.2345680.054.0003.0009年1.2345681.2345683.5003.00000010年6.006.00000000根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润38.12376亿元。8.问题四的解答问题四是在问题三的基础上，考虑投资风险，即问题四是有风险有捐赠的投资。目标函数相同，针对问题四，我们建立了模型四。8.1 模型四的建立8.1.1 确定目标函数为使第五年末所得利润值最大，我们建立了目标函数：8.1.2 确定约束条件对于问题四，当考虑投资风险时，那么投资时就要考虑投资风险率，即实际利润率=到期利润率风险损失率；表示为：所以，对于问题四，是在问题三的基础上考虑了风险投资率；所以问题四只需在问题三的模型中，将到期利润率换成实际利润率即可求解。得到关于各项目投资回收的新约束条件为： （1）对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对于项目3，4：， （3）对于项目5，6：，特别地，（4） 对于问题四，考虑投资项目1的捐赠问题，同问题三，使用判别函数，即：对于第一年，投资项目1，2，3，4，5，6，有 对于第二年，投资项目1，2，3，4，5，6，7 ，有对于第三年，投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有对于第四年，投资项目1，2，3，4，有对于第五年，投资项目1，2，有综合（1）、（2）、（3）和（4）可得到，问题四的约束条件。8.1.3综上所述，得到问题四的单目标最优化模型 8.2 模型四的求解根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元），具体数据见下表十四： 表十四：5年内最佳的投资方案（单位：亿元）项目1234567806年2.205486 2.4061012.843976 3.000.051.295462 0007年2.1663382.289382 2.6102873.000.050.19162393.00008年0 1.191192 1.769187 3.000.054.0003.0009年 2.0608582.2524053.5003.00000010年6.006.00000000根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润13.28140亿元。9. 问题五的解答 在问题五中，为了降低投资风险，该公司选择拿出一部分资金存银行。针对该问题，我们建立了模型五。9.1 模型五的准备为了获得更高的收益，当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分资金投资；当投资风险率低时，公司应选择在银行贷款进行投资。我们在网上查得银行的存款利润率为3.50%（取中国人民银行一年定期存款年利率），设为，银行的贷款利润率为6.40%（取中国人民银行中长期贷款年利率），设为。9.2 模型五的建立9.2.1 确定目标函数 模型五的目标函数是在模型一的基础上考虑了存款本息以及利息，即第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息），所以建立了如下的目标函数：9.2.2 确定约束条件 （1）对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对于项目3，4：， （3）对于项目5，6：，特别地， （4）考虑到投资项目的风险损失率及银行存款和贷款，为方便建模，定义了如下的判别函数：，它们分别表示当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分资金投资；当投资风险率低时，公司应选择在银行贷款进行投资。则对各项目投资金额和存款金额的总和以及还贷款后回收的总金额，有： 第一年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，有 第二年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有 第三年，对于投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有 第四年，对于投资项目1，2，3，4，有 第五年，对于投资项目1，2，有 综合（1）、（2）、（3）和（4）可得到，问题五的约束条件。9.2.3 综上所述，得到问题五的单目标最优化模型 9.3 模型五的求解根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元），具体数据见下表十五： 表十五：5年内最佳的投资方案（单位：亿元）项目12345678存款贷款06年00000.05000020.0007年00000.0503.0000008年00000.054.0003.00020.0009年003.5003.0000000010年6.006.0000000020.000根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润33.98140亿元。10.模型的评价、改进及推广10.1模型的评价优点： （1）我们考虑各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制这些要求以及该公司现有的资本，综合以上，建立的模型在一定程度上可使该公司在第五年末获得利润。 （2）在预测分析中，现有的很多方法预测结果往往不够准确，问题二中我们采用了由预测精度都较高的灰色模型和时间序列模型中的二次指数平滑法组成的预测法，使预测结果较为理想。缺点： （1）没有对所有模型进行模拟仿真。 （2）由于所给数据太少且19862005年之间的到期利润率的波动较大，在统计数据时不是很准确，也给提高预测的精确度带来了困难。 （3）问题五中，由于没有提供银行每年的贷款利润率与存款利润率，所以我们假定该值在这五年内没有变化。然而，事实上银行的利润率根据情况每年是有所改变的。所以，导致我们的投资计划具有不合理性。10.2 模型的改进（1）查询更多的数据，可以将年到期率提高为月到期率，以使得统计数据和预测值更准确。（2）所见模型是针对当前数据给出的，而银行贷款以及利润都是不断变化的，所以，如果建立了动态模型，能得出更加合理化的投资方案。10.3模型的推广 本文针对公司投资这一随机变化的动态系统，提出的组合预测法可以应用与工程项目投资和股票预测的中长期预测，且预测率精度较高。参考文献1 宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。2 张志宇, 亢政刚，马尔可夫灰色模拟模型及其程序实现，天津商学院学报，第21卷，第3期，2001年5月。3 平平，刘大有，杨博等，组合预测模型在猪肉价格预测中的应用研究，计算机工程与科学， 第32卷，第5期，2010年3月。附录 附录一：投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（万元）6000030000400003000030000200004000030000 附录二： 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额7