福建省南平市2015-2016年高二上期末数学试卷(文)含答案解析

2015年福建省南平市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1命题 “x R， 5x+1 0”的否定为（ ） A x R， 5x+1 0 B x R， 5x+1 0 C x R， 5x+1 0 D x R， 5x+1 0 2某校高二（ 1）班有男同学 35 人，女同学 21 人，现采取分层抽样的方法从同学中选取16 人参加课外手工兴趣班， 则男同学被选取的人数为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 3双曲线 =1 的离心率为（ ） A B C D 4已知变量 x 与 y 线性相关，且由观测 数据算得样本平均数分别为 =4， =3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ） A = = = =函数 f（ x） =x ）的导数为 f（ x），则 f（ 1）等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 6 “0 a 3”是 “双曲线 =1（ a 0）的离心率大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7三张奖券中有 2 张是有奖的，甲、乙两 人从中各抽一张（抽出后不放回），甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为 中奖的概率为 么（ ） A 2 B C 大小无法确定 8函数 f（ x） = 4 在 0， 3上的最大值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 6 9已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 A 在椭圆上，且 |6，则 ） A 48 B 40 C 32 D 24 10如图是一个程序框图，则输出的 S 的值是（ ） A 1 B 0 C 8 D 9 11已知抛物线 x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点，且在第一象限， l，垂足为 A， |2，则直线 倾斜角为（ ） A B C D 12若关于 x 的方程 23x2+a=0 在区间 2， 2上仅有一个实根，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 4， 0 1， 28） B 4， 28 C 4， 0） （ 1，28 D（ 4， 28） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13运行下面的程序，若 x=1，则输出的 y= 14以双曲线 =1 的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为 15（ 5 分）（ 2016 河北模拟）若函数 f（ x） = 在 x=取得极值，则 16（ 5 分）（ 2014 抚顺二模）已知在正方形 ，点 E 是边 中点，在边 任取一点 F，则 面积之比不小于 1 的概率是 三、解答题（本大题共 6 小题， 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 10 分）（ 2015 秋晋中期末）分别抽取甲、乙两名同学本学期同科目各类考试的 6 张试卷，并将两人考试中失分情况记录如下： 甲： 18、 19、 21、 22、 5、 11 乙： 9、 7、 23、 25、 19、 13 （ 1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据； （ 2）从失分数据可认否判断甲乙两人谁的考试表现更好？请说明理由 18（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）设椭圆 M 的方程为： + =1 （ 1）求 M 的长轴长与短轴长； （ 2）若椭圆 N 的焦点为椭圆 M 在 y 轴上的顶点，且椭圆 N 经过点 A（ ， ），求椭圆 N 的方程 19（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知条件 p： k 4 0；条件 q：函数 f（ x） = x2+kx+ p q 为假， p q 为真，求实数 k 的取值范围 20（ 12 分）（ 2016 北海一模）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段 75， 80）， 80， 85），85， 90）， 90， 95）， 95， 100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数； （ ）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 21（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， 1），c 为椭圆的半焦距，且 c= b，过点 P 作两条互相垂直的直线 椭圆 C 分别交于另两点 M， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 斜率为 1，求 面积 22（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知函数 f（ x） =x （ 1）若 a=2，求函数 g（ x） = 的图象在点（ 1， g（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）在（ ， e）内存在两个极值点，求实数 a 的取值范围 2015年福建省南平市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1命题 “x R， 5x+1 0”的否定为（ ） A x R， 5x+1 0 B x R， 5x+1 0 C x R， 5x+1 0 D x R， 5x+1 0 【分析】 直接写出全程命题的否定得答案 【解答】 解：命题 “x R， 5x+1 0”的 否定为： x R， 5x+1 0 故选： B 【点评】 本题考查全程命题的否定，关键是掌握格式，是基础题 2某校高二（ 1）班有男同学 35 人，女同学 21 人，现采取分层抽样的方法从同学中选取16 人参加课外手工兴趣班，则男同学被选取的人数为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【分析】 根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论 【解答】 解：男同学 35 人，女同学 21 人， 则抽取的男生人数为 16=10， 故选： C 【点评】 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础 3双曲线 =1 的离心率为（ ） A B C D 【分析】 利用双曲线的标准方程，求出双曲线的几何量，即可求解离心率 【解答】 解：双曲线 =1，可得 a= ， b= ， c=3， e= = = 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力 4已知变量 x 与 y 线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为 =4， =3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ） A = = = =分析】 将样本平均数代入回归方程逐一验证 【解答】 解：由最小二乘法原理可知样本平均数（ 4， 3）在线性回归方程上 对于 A，当 x=4 时， y=， 对于 B，当 x=4 时， y=， 对于 C，当 x=4 时， y=， 对于 D，当 x=4 时， y=2+3 故选： D 【点评】 本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题 5函数 f（ x） =x ）的导数为 f（ x），则 f（ 1）等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【分析】 利用导数的运算法则可得 f（ x），即可得出 【解答】 解： f（ x） =x ） =2x， f（ x） =32， f（ 1） =3 2=1 故选： A 【点评】 本题考查了导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6 “0 a 3”是 “双曲线 =1（ a 0）的离心率大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 双曲线 =1（ a 0）的离心率大于 2， a 0，可得 e= 2，解得 0 a 3即可判断出 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0）的离心率大于 2， a 0，可得 e= 2，解得0 a 3 “0 a 3”是 “双曲线 =1（ a 0）的离心率大于 2”的充要条件 故选： C 【点评】 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7三张奖券中有 2 张是有奖的，甲、乙两人从中各抽一张（抽出后不放回），甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为 中奖的概率为 么（ ） A 2 B C 大小无法确定 【分析】 3 张奖券中有 2 张是有奖的，甲先抽，甲中奖的概率是 ，乙后抽中奖包含两类，即甲抽中和没抽中，求出概率和，再比较大小 【解答】 解：根据题意，甲中奖的概率为 ， 乙中奖的概率为 + = ； 2 故选： A 【点评】 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了互斥事件和相互独立事件的概率问题，是基础题 8函数 f（ x） = 4 在 0， 3上的最大值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 6 【分析】 求函数的导数，判断函数的单调性和极值，从而求最值 【解答】 解： f（ x） = 4， f（ x） = 122x= 12（ x+1）（ x 1）； 由 f（ x） =0 得 x=1 或 x= 1（舍）， 当 x 0， 1）， f（ x） 0；此时函数 f（ x）单调递增， 当 x （ 1， 3时， f（ x） 0；此时函数 f（ x）单调递减， 即当 x=1 时，函数取得极大值同时也是最大值 f（ 1） = 4+6+1=3， 故选： B 【点评】 本题考查了函数的最值的求法及导数的综合应用，求函数的导数，利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题 9已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 A 在椭圆上，且 |6，则 ） A 48 B 40 C 32 D 24 【分析】 求出椭圆的 a， b， c， e，以及右准线方程，运用椭圆的第二定义，可得 A 的横坐标，求得纵坐标，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：椭圆 + =1 中 a=7， b=2 ， c= =5， e= = ，右准线方程为 x= ， |ed=e（ =a ， 即为 7 ，可得 ， = ， 则 面积是 2c| =5 =24 故选： D 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质，考查焦半径公式的运用，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于基础题 10如图是一个程序框图，则输出的 S 的值是（ ） A 1 B 0 C 8 D 9 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 i， S 的值，当 S=0， i=6 时满足条件 Si，退出循环，输出 S 的值为 0，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=27， i=1 满足条件 S 是奇数， S=26， i=2 不满足条件 S 是奇数， S=15， i=3 满足条件 S 是奇数， S=10， i=4 不满足条件 S 是 奇数， S=9， i=5 满足条件 S 是奇数， S=0， i=6 满足条件 S i，退出循环，输出 S 的值为 0 故选： B 【点评】 本题考查循环结构的程序框图，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律属于基础题 11已知抛物线 x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点，且在第一象限， l，垂足为 A， |2，则直线 倾斜角为（ ） A B C D 【分析】 可先画出图形，得出 F（ ），由抛物线的定义可以得出 |2，从而可以得出 P 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出 P 点的纵坐标，这样即可得出 A 点的坐标，从而求出直线 斜率，根据斜率便可得出直线 倾斜角 【解答】 解：如图，由抛物线方程得 ； | |2； P 点的横坐标为 ； ， P 在第一象限； P 点的纵坐标为 ； A 点的坐标为 ； 斜率为 ； 倾斜角为 故选： D 【点评】 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及抛物线的定义，抛物线上的点的坐标和抛物线方程的关系，以及由直线上两点的坐标求直线的斜率的公式，直线的斜率的定义，已知正切值求角 12若关于 x 的方程 23x2+a=0 在区间 2， 2上仅有一个实根，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 4， 0 1， 28） B 4， 28 C 4， 0） （ 1，28 D（ 4， 28） 【分析】 利用导数求得函数的增区间为 2 0）、（ 1， 2，减区间为（ 0， 1），根据 f（ x）在区间 2， 2上仅有一个零点可得 f（ 0） 0，故 ，或，分别求得 、 的解集，再取并集，即得所求 【解答】 解：设 f（ x） =23x2+a，则 f（ x） =66x=6x（ x 1）， x 2， 2， 令 f（ x） 0，求得 2 x 0， 1 x 2 令 f（ x） 0，求得 0 x 1， 故函数的增区间为 2 0）、（ 1， 2，减区间为（ 0， 1）， 根据 f（ x）在区间 2， 2上仅有一个零点， f（ 2） =a 28， f（ 0） =a， f（ 1） =a 1， f（ 2） =a+4， 若 f（ 0） =a=0，则 f（ x） = 2x 3），显然不满足条件，故 f（ 0） 0 ，或 解 求得 1 a 28，解 求得 4 a 0， 故选： C 【点评】 本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13运行下面的程序，若 x=1，则输出的 y= 6 【分析】 根据程序语句进行计算即可 【解答】 解：若 x=1，则 y=1+5=6， 故输出 y=6， 故答案为： 6 【点评】 本题主要考查程序语句的运行，根据执行语句进行计算即可属于基础题 14以双曲线 =1 的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为 4x 【分析】 求得双曲线的左顶点坐标，设出抛物线的方程为 2p 0），求得焦点，解方程可得 p=2，进而得到抛物线的方程 【解答】 解：双曲线 =1 的左顶点为（ 1， 0）， 可设抛物线的方程为 2p 0）， 可得 = 1，解得 p=2， 则抛物线的方程为 4x 故答案为： 4x 【点评】 本题考查抛物线的标准方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 15（ 5 分）（ 2016 河北模拟）若函数 f（ x） = 在 x=取得极值，则 3 【分析】 求得函数 f（ x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间进而得到函数的极大值点，即可得到所求值 【解答】 解： 函数 f（ x） = 的导数为 f（ x） = = ， 由 x 3 时， f（ x） 0，可得 f（ x）在（ 3， +）递减； 由 x 3 时， f（ x） 0，可得 f（ x）在（ ， 3）递增 即有 f（ x）在 x=3 处取得极大值 由题意可得 故答案为： 3 【点评】 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于基础题 16（ 5 分）（ 2014 抚顺二模）已知在正方形 ，点 E 是边 中点，在边 任取一点 F，则 面积之比不小于 1 的概率是 【分析】 根据题意，利用 SS1 时，可得 ，由此结合几何概型计算公式，即可算出使 面积之比不小于 1 的概率 【解答】 解：由题 意， SS 当 SS1 时，可得 ， 面积之比不小于 1 的概率 P= 故答案为： 【点评】 本题给出几何概型，求 面积之比不小于 1 的概率着重考查了三角形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 10 分）（ 2015 秋晋中期末）分别抽取甲、乙两名同学本学期同科目各类考试的 6 张试卷，并将两人考试中失分情况记录如下： 甲： 18、 19、 21、 22、 5、 11 乙： 9、 7、 23、 25、 19、 13 （ 1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据； （ 2）从失分数据可认否判断甲乙两人谁的考试表现更好？请说明理由 【分析】 （ 1）用茎叶图表示出甲乙两人考试失分数据即可； （ 2）计算甲、乙二人的平均数与方差，比较大小即可 【解答】 解：（ 1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据，如下； （ 2）甲的平均数为 = （ 5+11+18+19+21+22） =16， 方差为 = （ 5 16） 2+（ 11 16） 2+（ 18 16） 2+（ 19 16） 2+（ 21 16） 2+（ 2216） 2= ； 乙的平均数为 = （ 7+9+13+19+23+25） =16， 方差为 = （ 7 16） 2+（ 9 16） 2+（ 13 16） 2+（ 19 16） 2+（ 23 16） 2+（ 2516） 2= ； = ， ， 甲的考试表现更稳定，即甲 的考试表现更好 【点评】 本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题目 18（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）设椭圆 M 的方程为： + =1 （ 1）求 M 的长轴长与短轴长； （ 2）若椭圆 N 的焦点为椭圆 M 在 y 轴上的顶点，且椭圆 N 经过点 A（ ， ）， 求椭圆 N 的方程 【分析】 （ 1）求出椭圆 M 的 a， b，即可得到长轴长 2a，短轴长 2b； （ 2）求出椭圆 M 的短轴的顶点，可设椭圆 N 的方程为 + =1（ m n 0），由焦点坐标和 A 点满足椭圆方程，解方程可得所求 【解答】 解：（ 1）椭圆 M 的方程为： + =1 的 a=3， b= ， 可得 M 的长轴长为 6，短轴长为 2 ； （ 2）由椭圆 M 可得 y 轴上的顶点为（ 0， ）， 设椭圆 N 的方程为 + =1（ m n 0）， 由题意可得， ， + =1， 解得 m=3， n=2， 即有椭圆 N 的方程为 + =1 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质，注意求出椭圆的基本元素，考查方程的思想的运用，属于基础题 19（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知条件 p： k 4 0；条件 q：函数 f（ x） = x2+kx+ p q 为假， p q 为真，求实数 k 的取值范围 【分析】 分别求出 p， q 为真时的 k 的范围，从而判断出 p， q 一真一假时的 k 的范围即可【解答】 解：条件 p： k 4 0， 解得： 4 k 1； 条件 q：函数 f（ x） = x2+kx+定义域内递增， 函数 f（ x）的定义域是（ 0， +）， 只需 f（ x） =x+ +k 0 在（ 0， +）恒成立 即可， k （ x+ ） 2， 故 q 为真时， k 2， 若 p q 为假， p q 为真，则 p， q 一真一假， p 真 q 假时： 4 k 2， p 假 q 真时： k 1， 综上， k （ 4， 2） （ 1， +） 【点评】 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性问题，考查复合命题的判断，是一道中档题 20（ 12 分）（ 2016 北海一模）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格 某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段 75， 80）， 80， 85），85， 90）， 90， 95）， 95， 100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数； （ ）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 【分析】 （ I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数 =频率 样本 容量，得到答案；（ 计算从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】 解：（ ）由题意可知， 参加社区服务在时间段 90， 95）的学生人数为 20 5=4（人）， 参加社区服务在时间段 95， 100的学生人数为 20 5=2（人） 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2=6（人） （ 5 分） （ ）设所 选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A 由（ ）可知， 参加社区服务在时间段 90， 95）的学生有 4 人，记为 a， b， c， d； 参加社区服务在时间段 95， 100的学生有 2 人，记为 A， B 从这 6 人中任意选取 2 人有 dA， 共 15 种情况 事件 A 包括 7 种情况 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 （ 13 分） 【点评】 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键 21（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， 1），c 为椭圆的半焦距，且 c= b，过点 P 作两条互相垂直的直线 椭圆 C 分别交于另两点 M， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 斜率为 1，求 面积 【分析】 （ 1）由题意推导出 =1，且 由 a， b， c 之间的关系，能求出椭圆C 的方程 （ 2）由于直线 斜率已确定，则可由其与椭圆联立方程组，求出点 M 的坐标，因两直线垂直，当 k 0 时，用 代替 k，进而求出点 N 的坐标，得 M（ 2， 0）， N（ 1， 1），再由两点意距离公式能求出 面积 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 P（