广东省广州市海珠区2016年中考数学一模试卷含答案解析

广东省广州市海珠区 2016 年中考数学一模试卷 （解析版） 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分 有一个是正确的） 1实数 3 的绝对值是（ ） A 3 B 3 C 0 D 2下面汽车标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 3如图，在平行四边形 ，如果 A=50，则 C=（ ） A 40 B 50 C 130 D 150 4下列运算中，错误的是（ ） A 2a 3a= a B（ 3= a2= 方程组 的解是（ ） A B C D 6为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续 4 天的最高气温，结果如下（单位： ）： 5， 1， 3， 1则下列结论错误的是（ ） A方差是 8 B中位数是 1 C众数是 1 D平均数是 0 7某几何体的三视图如图所示，则其侧面积是（ ） A 12 B 6 C 4 D 6 8已知一元二次方程 5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 9如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 r 与 R 之间的关系是（ ） A R=2r B R= C R=3r D R=4r 10将抛物线 y=4x+3 向上平移至顶点落在 x 轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11已知 =25，那么 的余角等于 度 12若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 13不等式组 的解集是 14反比例函数 y= ，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围 15如图，两建筑物 水平距离为 24 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30，测得C 点的俯角为 60，则建筑物 高为 米（结果保留根号） 16如图，正方形 边长为 3，对角线 交于点 O， 点 N，若 ，则 线段 长为 三、解答题（本题共 9 个小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17解方程： 18如图，四边形 平行四边形 （ 1）利用尺规作 平分线 E（保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）所作的图形中，求证： E 19已知 A=（ x 2） 2+（ x+2）（ x 2） （ 1）化简 A； （ 2）若 2x+1=0，求 A 的值 20已知一次函数 y1=kx+b（ k 0）与反比例函数 （ m 0）相交于 A 和 B 两点，且 1， 3）， B 点的横坐标为 3 （ 1）求反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）根据图象直接写出使得 ， x 的取值范围 21为了庆祝新年的到来，我市某中学举行 “青春飞扬 ”元旦汇演，正式表演前，把各班的节目分为 A（戏 类）， B（小品类）， C（歌舞类）， D（其他）四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整请你根据统计图解答下列问题 （ 1）参加汇演的节目数共有 个，在扇形统计图中，表示 “B 类 ”的扇形的圆心角为 度，图中 m 的值为 ； （ 2）补全条形统计图； （ 3）学校决定从本次汇演的 D 类节目中，选出 2 个去参加市中学生文艺汇演已知 D 类节目中有相声节目 2 个，魔术节目 1 个，朗诵节目 1 个，请求出所选 2 个节目恰好是一个相声和一个魔术概率 22某学校准备购买 A、 B 两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买 A、 B 两种型号篮球的情况： 购买学校 购买型号及数量（个） 购买支出款项（元） A B 甲 3 8 622 乙 5 4 402 （ 1）求 A、 B 两种型号的篮球的销售单价； （ 2）若该学校准备用不多于 1000 元的金额购买这两种型号的篮球共 20 个，求 A 种型号的篮球最少能采购多少个？ 23如图，已知 O 的弦，半径 ， 长度是关于 x 的一元二次方程4x+a=0 的两个实数根 （ 1）求弦 长度； （ 2）计算 S （ 3） O 上一动点 P 从 A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当 S ，求 P 点所经过的弧长（不考虑点 P 与点 B 重合的情形） 24已知正方形 正方形 结 点 O，点 P 是 中点，过点P 作 H， ， （ 1）如图 1，点 D、 C、 G 在同一直线上，点 E 在 上，求 长； （ 2）把正方形 着点 C 逆时针旋转 （ 0 180） 如图 2，当点 E 落在 时，求 长； 如图 3，当 时，求 长 25如图，抛物线 1= 2+bx+c 与 x 轴交于点 A、 B，交 y 轴于点 C（ 0， 2 ），且抛物线对称轴 x= 2 交 x 轴于点 D， E 是抛物线在第 3 象限内一动点 （ 1）求抛物线 解析式； （ 2）将 折后， O 点对称点 O是否在抛物线 ？请说明理由 （ 3）若点 E 关于直线 对称点 E恰好落在 x 轴上，过 E作 x 轴的垂线交抛物线 点 F， 求点 F 的坐标； 直线 是否存在点 P，使 |大？若存在，试写出|大值 2016 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分 有一个是正确的） 1实数 3 的绝对值是（ ） A 3 B 3 C 0 D 【分析】 根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案 【解答】 解： 3 的绝对值是 3，故 A 正确； 故选： A 【点评】 本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数 2下面汽车标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3如图，在平行四边形 ，如果 A=50，则 C=（ ） A 40 B 50 C 130 D 150 【分析】 直接利用平行四边形的对角相等进而得出答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形， A= C=50 故选： B 【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握对角关系是解题关键 4下列运算中，错误的是（ ） A 2a 3a= a B（ 3= a2= aa2=分析】 直接利用积的乘方运算法则以及利用同底数幂的除法运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案 【解答】 解： A、 2a 3a= a，正确，不合题意； B、（ 3= 确，不合题意； C、 a2=确，不合题意； D、 aa2=误，故此选项符合题意 故选： D 【点评】 此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算和同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键 5方程组 的解是（ ） A B C D 【分析】 利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断 【解答】 解： ， +得： 2x=4，即 x=2， 把 x=2 代入 得： y=1， 则方程组的解为 ， 故选 D 【点评】 此题考查了二元一次方程组的解，求出方程组的解是解本题的关键 6为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续 4 天的 最高气温，结果如下（单位： ）： 5， 1， 3， 1则下列结论错误的是（ ） A方差是 8 B中位数是 1 C众数是 1 D平均数是 0 【分析】 分别计算该组数据的平均数，众数，方差后找到正确的答案即可 【解答】 解：平均数 =（ 5 1 3 1） 4=0， 选项 D 正确 数据 1 出现两次最多， 众数为 1， 选项 C 正确 中位数是 1； 选项 B 正确 方差 = （ 5 0） 2+2（ 1 0） 2+（ 3 0） 2=9故选 A 【点评】 此题考查了方差、平均数、 中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键 7某几何体的三视图如图所示，则其侧面积是（ ） A 12 B 6 C 4 D 6 【分析】 由三视图可知该几何体是底面直径为 2，高为 3 的圆柱体，由圆柱体侧面积 =底面周长 高可得 【解答】 解：由三视图可知该几何体是底面直径为 2，高为 3 的圆柱体， 该圆柱体的侧面积为： 23=6， 故选： B 【点评】 本题主要考查由三视图判断几何体，熟悉常规几何体的三视图是根本，根据 三视图的长宽高得出几何体相应尺寸是关键 8已知一元二次方程 5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =4值的符号就可以了 【解答】 解： a=1， b= 5， c=3， =4 5） 2 4 1 3=13 0， 方程有两个不相等的实数根 故选： A 【点评】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根，是解决问题的关键 9如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 r 与 R 之间的关系是（ ） A R=2r B R= C R=3r D R=4r 【分析】 利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长 公式计算 【解答】 解：扇形的弧长是： = ， 圆的半径为 r，则底面圆的周长是 2r， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2r， =2r， 即： R=4r， r 与 R 之间的关系是 R=4r 故选 D 【点评】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧 紧抓住两者之间的两个对应关系：（ 1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（ 2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键 10将抛物线 y=4x+3 向上平移至顶点落在 x 轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 把点 A、 B、 C 代入抛物线解析式 y=bx+c 利用待定系数法求解即可；把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写 出顶点坐标；根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解 【解答】 解： 抛物线 y=bx+c 经过点 A（ 0， 3）， B（ 3， 0）， C（ 4， 3）， ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 y=4x+3； y=4x+3=（ x 2） 2 1， 抛物线的顶点坐标为（ 2， 1）， 1， 阴影部分的面积等于平行四边形 A面积， 平行四边形 A面积 =1 2=2， 阴影部分的面积 =2 故选 B 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键 二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11已知 =25，那么 的余角等于 65 度 【分析】 根据余角的定义得到 的余角 =90 ，然后把 =25代入计算即可 【解答】 解： =25， 的余角 =90 =90 25=65 故答案为： 65 【点评】 此题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互为余角的两角之和为 90 12若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x 2 【分析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得 x+2 0，再解不等式即可 【解答】 解： 二次根式 在实数范围内有意义， 被开方数 x+2 为非负数， x+2 0， 解得： x 2 故答案为： x 2 【点评】 此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数 13不等式组 的解集是 1 x 5 【分析】 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】 解： ， 解 得 x 1， 解 得 x 5 则不等式组的解集是 1 x 5 故答案是： 1 x 5 【点评】 本题考查了一元一次 不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 14反比例函数 y= ，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围 m 3 【分析】 根据反比例函数的增减性列出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】 解： 反比例函数 y= ，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小， m 3 0，解得 m 3 故答案为： m 3 【点评】 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键 15如图，两建筑物 水平距离为 24 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30，测得C 点的俯角为 60，则建筑物 高为 16 米（结果保留根号） 【分析】 延长 点 M在 ，可求出 ，可求出M 【解答】 解：延长 点 M，则 4， M 8 ， 同理可得 4 ， M 6 （米）， 答：建筑物 高为 16 米 故答案为： 16 【 点评】 本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题 16如图，正方形 边长为 3，对角线 交于点 O， 点 N，若 ，则线段 长为 1 【分析】 首先过点 M 作 H，如图，根据正方形的性质得 5，则 求出 O，然后证明 利用相似比可计算出 长 【解答】 解：过 点 M 作 H，如图， 四边形 正方形， 5， 等腰直角三角形， H= 2= ， 分 H= ， + ， +2， +1， C +2 =2+ ， = ，即 = ， 故答案为 1 【点评】 此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 三、解答题（本题共 9 个小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17解 方程： 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x=2x+4， 解得： x= 4， 经检验 x= 4 是分式方程的解 【点评】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验 18如图，四边形 平行四边形 （ 1）利用尺规作 平分线 E（保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）所作的图形中，求证： E 【分析】 （ 1）由角平分线的作法，即可得出结果； （ 2）由（ 1）得： 由平行四边形的性质得出 可得出结论 【解答】 （ 1）解： 以 B 为圆心，适当长为半径画弧，交 M， N， 分别以 M、 N 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于 F， 作射线 E，如图所示： （ 2）证明：由（ 1）得： 四边形 平行四边形， E 【点评】 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键 19已知 A=（ x 2） 2+（ x+2）（ x 2） （ 1）化简 A； （ 2）若 2x+1=0，求 A 的值 【分析】 （ 1）原式利用完全平方公式及平方差公式化简即可得到结果； （ 2）已知等式变形后代入 A 计算即可求出值 【解答】 解：（ 1） A=4x+4+4=24x； （ 2）由 2x+1=0，得到 2x= 1， 则 A=2（ 2x） = 2 【点评】 此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20已知一次函数 y1=kx+b（ k 0）与反比例函数 （ m 0）相交于 A 和 B 两点，且 1， 3）， B 点的横坐标为 3 （ 1）求反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）根据图象直接写出使得 ， x 的取值范围 【分析】 （ 1）根据待定系数法即可解决问题 （ 2）观察图象 ， 图象在 上面，由此即可写出 x 的取值范围 【解答】 解：（ 1）把点 A（ 1， 3）代入 ，得到 m=3， B 点的横坐标为 3， 点 B 坐标（ 3， 1）， 把 A（ 1， 3）， B（ 3， 1）代入 y1=kx+b 得到 解得 ， y1=x+2， （ 2）由图象可知 ， x 1 或 3 x 0 【点评】 本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法是解决问题的关键，学会观察图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，属于中考常考题型 21为了庆祝新年的到来，我市某中学举行 “青春飞扬 ”元旦汇演，正式表演前，把各班的节目分为 A（戏类）， B（小品类）， C（歌舞类）， D（其他）四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不 完整请你根据统计图解答下列问题 （ 1）参加汇演的节目数共有 25 个，在扇形统计图中，表示 “B 类 ”的扇形的圆心角为 144 度，图中 m 的值为 32 ； （ 2）补全条形统计图； （ 3）学校决定从本次汇演的 D 类节目中，选出 2 个去参加市中学生文艺汇演已知 D 类节目中有相声节目 2 个，魔术节目 1 个，朗诵节目 1 个，请求出所选 2 个节目恰好是一个相声和一个魔术概率 【分析】 （ 1）根据 A 类别的人数除以所占的百分比求出总人数，根据 B 类别的人数占被调查节目总数比例求 得 B 类别扇形圆心角的度数，用 C 类别节目出节目总数乘 100 可得 m； （ 2）求出等级 B 的人数，补全条形统计图即可； （ 3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一个相声和一个魔术的情况数，即可求出所求的概率 【解答】 解：（ 1）参加汇演的节目数共有 3 5（个）， 表示 “B 类 ”的扇形的圆心角为： 360=144， m= 100=32； 故答案为： 25， 144， 32 （ 2） “B”类节目数 为： 25 3 8 4=10，补全条形图如图： （ 3）记两个相声节目为 术节目为 B，朗诵节目为 C，画树状图如下： 由树状图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是一个相声和一个魔术的有 4 种， 故所选 2 个节目恰好是一个相声和一个魔术概率为 = 【点评】 本题考查了列表法或树状图 法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了扇形统计图和条形统计图 22某学校准备购买 A、 B 两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买 A、 B 两种型号篮球的情况： 购买学校 购买型号及数量（个） 购买支出款项（元） A B 甲 3 8 622 乙 5 4 402 （ 1）求 A、 B 两种型号的篮球的销售单价； （ 2）若该学校准备用不多于 1000 元的金额购买这两种型 号的篮球共 20 个，求 A 种型号的篮球最少能采购多少个？ 【分析】 （ 1）设 A 型号篮球的价格为 x 元、 B 型号的篮球的价格为 y 元，就有 3x+8y=622和 5x+4y=402，由这两个方程构成方程组求出其解即可； （ 2）设最少买 A 型号篮球 m 个，则买 B 型号篮球球（ 20 m）个，根据总费用不超过 1000元，建立不等式求出其解即可 【解答】 解：（ 1）设 A 型号篮球的价格为 x 元、 B 型号的篮球的价格为 y 元，由题意得， ， 解得： 答： A 种型号的篮球销售单价为 26 元， B 种型号的篮球销售单价为 68 元 （ 2）设最少买 A 型号篮球 m 个，则买 B 型号篮球球（ 20 m）个，由题意得， 26m+68（ 20 m） 1000， 解得： m 8 ， m 为整数， m 最小取 9 最少购买 9 个 A 型号篮球 答：若该学校准备用不多于 1000 元的金额购买这两种型号的篮球共 20 个， A 种型号的篮球最少能采购 9 个 【点评】 本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答本题的关键在于根据 题意找到建立方程的等量关系以及建立正确的不等式 23如图，已知 O 的弦，半径 ， 长度是关于 x 的一元二次方程4x+a=0 的两个实数根 （ 1）求弦 长度； （ 2）计算 S （ 3） O 上一动点 P 从 A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当 S ，求 P 点所经过的弧长（不考虑点 P 与点 B 重合的情形） 【分析】 （ 1） 长度是一元二次方程的根，所以利用韦达定理即可求出 长度 （ 2）作出 高 后求出 长度即可 （ 3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等 【解答】 解：（ 1）由题意知： 长度是 4x+a=0 的两个实数根， B= =4， ， ； （ 2）过点 C 作 点 C， B=， 等边三角形， 在 ， 由勾股定理可得： S 2 = （ 3）延长 O 于点 D， 由于 公共边 当 S ， 相等， 由（ 2）可知：等边 高为 ， 点 P 到直线 距离为 ，这样点共有 3 个 过点 B 作 O 于点 0， 此时点 P 经过的弧长为： = ， 作点 得 于直线 称， 0， 此时点 P 经过的弧长为： = ， 作点 得 B 与 于直线 称， 0， 此时 P 经过的弧长为： = ， 综上所述：当 S ， P 点所经过的弧长分别是 、 、 【点评】 此题考查了一元二次方程与圆的综合知识涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用 24已知正方形 正方形 结 点 O，点 P 是 中点，过点P 作 H， ， （ 1）如图 1，点 D、 C、 G 在同一直线上，点 E 在 上，求 长； （ 2）把正方形 着点 C 逆时针旋转 （ 0 180） 如图 2，当 点 E 落在 时，求 长； 如图 3，当 时，求 长 【分析】 （ 1）先判断出四边形 梯形，再判断出 梯形的中位线，得到 fg+ （ 2） 先判断出 到 2 倍，设出 示出 用勾股定理计算， 先找出辅助线，再判断出 出T，最后用梯形中位线即可 【解答】 解：（ 1） 点 P 是 中点， 梯形 中位线， （ D） = ， （ 2） B=90， ， ， 设 CO=x， x， x， 在 ，根据勾股定理得， 4+（ 2 x） 2=（ 2x） 2， x= 或 x= （舍）， CO=x= 如图 3， 分别过点 A， C， F 作直线 垂线，垂足分别为 R， S， T， 0， 0， 0， D S， 同理： T， T=G=， 同（ 1）的方法得， 梯形 中位线， （ T） = 【点评】 此题是四边形综合题，主要考查了梯形的中位线的求法，三角形全等的判定和性质，解本题的关键是构造出 梯形，难点是作辅助线 25如图，抛物线 1= 2+bx+c 与 x 轴交于点 A、 B，交 y 轴于点 C（ 0， 2 ），且抛物线对称轴 x= 2 交 x 轴于点 D， E 是抛物线在第 3 象限内一动点 （ 1）求抛物线 解析式； （ 2）将 折后， O 点对称点 O是否在抛物线 ？请说明理由 （ 3）若点 E 关于直线 对称点 E恰好落在 x 轴上，过 E作 x 轴的垂线交抛物线 点 F， 求点 F 的坐标； 直线 是否存在点 P，使 |大？若存在，试写出|大值 【分析】 （ 1）先由抛物线对称轴方程可求出 b=2，再把点 C（ 0， 2 ）代入 x2+bx+c=2 ，所以抛物线解析式为 x 2 ； （ 2）过 O点作 OH x 轴于 H，如图 1，由（ 1）得 D（ 2， 0）