2017-2018学年高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念课件 北师大版选修2-2

4.1定积分的概念,1.曲边梯形及其面积的求法曲线y=f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的平面图形叫曲边梯形.求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S的方法是:分割;近似代替;求面积的和;逼近.2.定积分的背景面积问题、路程问题以及做功问题3个问题,一般通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值也就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.,3.定积分的概念一般地,给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),其图像如图所示.将a,b区间分成n份,分点为:a=x0x1x2xn-1xn=b.第i个小区间为xi-1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最大,设S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最小,设s=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.,如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i,S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趋于该常数A,我们称A是函数y=f(x)在区间a,b上的定积分,4.定积分的相关名称,2.定义中区间的分法和i的取法是任意的.,【做一做1】 把区间1,3等分成n份,所得n个小区间的长度均为(),答案:B,【做一做2】 汽车以v=v(t)在0,t内作直线运动,经过的路程为s,则下列叙述正确的是()A.将0,t等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的路程是s的不足估计值B.将0,t等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的路程是s的过剩估计值C.将0,t等分n份,n越大,求出的路程近似替代s的精确度越高D.将0,t等分n份,当n很大时,求出的路程就是s的准确值解析:当n越大时,分割成的小区间长越小,则求出的路程近似替代s的精确度越高.答案:C,名师点拨1.性质对于有限个函数(两个以上)也成立,性质对于把区间a,b分成有限个(两个以上)区间也成立.,答案:1,答案:6,思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,过剩估计值与不足估计值的应用【例1】 一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+5(单位:km/h),试估计这辆汽车在0t2(单位:h)这段时间内行驶的路程.(误差不超过1)分析:将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过求矩形面积和即可解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:将区间0,210等分,如图.设矩形面积的过剩估计值为S,不足估计值为s,则S=(-02+5-0.22+5-1.82+5)0.2=7.72,s=(-0.22+5-0.42+5-1.82+5-22+5)0.2=6.92.故估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决此类问题,是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y= x2所围成的曲边梯形的面积的估计值,并写出估计误差.,解:将区间1,25等分,分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高,得此平面图形面积的不足估计值S和过剩估计值s.,估计误差不会超过S-s=1.32-1.02=0.3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用定积分的几何意义求定积分【例2】 用定积分的几何意义求下列各式的值.,分析:定积分 f(x)dx的几何意义是介于x=a,x=b之间,x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和,其中x轴上方部分的面积为正,x轴下方部分的面积为负.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图像,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积.基本步骤如下:(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各阴影部分的面积.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3用定积分的几何意义求定积分.,解:(1)如图1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,定积分性质的应用,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析:本题考查定积分性质的应用问题,合理运用定积分的性质是解题的关键,另外分段函数求积分的方法是分段去求积分.,解:由定积分的几何意义得,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟被积函数为分段函数或绝对值函数时的处理方法:分段函数和绝对值函数积分时要分段积分和去掉绝对值符号后再积分.处理这类积分一定要弄清分段临界点,同时对于定积分的性质,必须熟记在心.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视被积函数的图像在x轴上方或下方对定积分符号的影响而致误,易错分析:用定积分求曲边图形面积时不判断曲边图形位于x轴上方,还是下方,直接求解易出现错误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练用定积分表示由y=sin x与直线x=-,x=0,y=0所围成的平面图形的面积.,1 2 3 4 5,A.与f(x)和积分区间有关,与i的取法无关B.与f(x)有关,与积分区间及i的取法无关C.与f(x)及i的取法有关,与积分区间无关D.与f(x),积分区间和i的取法都有关答案:A,1 2