2016年山西省晋中市高考数学一模试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若复数 z 满足 1+z=i，则 |z|=（ ） A B 1 C D 2某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示） ，据此估计此次考试成绩的众数是（ ） A 100 B 110 C 115 D 120 3 “|m| 2”是 “m 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4实数 x， y 满足 ，则 的最小值是（ ） A 5 B C D 5 5公差不为零的等差数列 ， 数列 与 4值相等的项是（ ） A 已知 别是双曲线 =1（ a， b 0）的左、右焦点，且 |2，若 P 是该双曲线右支上的一点，且满足 |则 积的最大值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7在 ， 0， ，点 D 在边 ，且 2 = ，则 的值是（ ） A 48 B 24 C 12 D 6 8若函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象关于直线 x= 对称，且当 （， ）， ， f（ =（ 则 f（ x1+=（ ） A B C D 1 第 2 页（共 22 页） 9过抛物线 x 的焦点的直线与抛物线交于 A， B 两个不同的点，当 |6 时， O 为坐标原点）的面积是（ ） A B C D 10运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上，则判断框中可填写的条件是（ ） A i 6 B i 7 C i 8 D i 9 11 在四棱锥 P ，四条侧棱长均为 2，底面 正方形， E 为 中点，且 0，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A B C D 12已知 f（ x） = 则方程 ff（ x） =3 的根的个数是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设全集 U=x Z| 2 x 4， A= 1， 0， 1， 2， 3，若 B集合 B 的个数是 14设四个函数： y=x ； y=21 x； y=x+1）； y=|1 x|其中在区间（ 0，1）内单调递减的函数的序号是 15某几何体的三视图如图所示，当 得最大值时，该几何体的体积是 第 3 页（共 22 页） 16已 知数列 前 n 项和 （ 2n 1），数列 通项公式为 n 2数列 所有公共项按从小到大的顺序构成数列 若数列 第 n 项恰为数列 ，则数列 前 32 项的和是 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c （ ）求角 A； （ ）当 面积等于 4 时，求 a 的最小值 19某市小型机动车驾照 “科二 ”考试共有 5 项考察项目，分 别记作 ， ， ， ， （ ）某教练将所带 10 名学员 “科二 ”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有 2项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3 项的概率 项目 /学号编号 （ 1） T T T （ 2） T T T （ 3） T T T T （ 4） T T T （ 5） T T T T （ 6） T T T （ 7） T T T T （ 8） T T T T T （ 9） T T T （ 10） T T T T T 注： “T”表示合格，空白表示不合格 （ ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向 90，在车边缘不压射线 射线 前提下，将汽车驶入指定的停车位根据经验，学员甲转向 90后可使车尾边缘完全落在线段 ，且位于 各处的机会相等若 D=车宽度为 学员甲能按教练要求完成任务的概率 20已知几何体 ， C=， 0，四边形 矩形， ， M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，求点 A 到平面 距离 第 4 页（共 22 页） 21已知直线 y=x+1 与函数 f（ x） =b 的图象相切，且 f（ 1） =e （ I）求实数 a， b 的值； （ ）若存在 x （ 0， ），使得 2x 1） +x） =m 0）成立，求 的取值范围 22已知椭圆 E： + =1（ a b 0）， A 为椭圆 E 的右顶点， B， C 分别为椭圆 E 的上、下顶点 （ I）若 N 为 中点， 面积为 ，椭圆的离心率为 求椭圆 E 的方程； （ ） F 为椭圆 E 的右焦点，线段 延长线与线段 于点 M，与 椭圆 E 交于点 P，求 的最小值 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 23如图，已知 A， B， C， D 四点共圆， 延长线交于点 M， 延长线交于点 F，连接 点 B 作 垂线，交 点 E （ ）证明： ）证明： B=F 选修 4标系与参数方程 24已知曲线 x+ y= 和 （ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位 （ 1）把曲线 方程化为极坐标方程 （ 2）设 x 轴、 y 轴交于 M， N 两点，且线段 中点为 P若射线 、 Q 两点，求 P， Q 两点间的距离 选修 4等式选讲 第 5 页（共 22 页） 25设函数 f（ x） =|x+1| |2x a| （ ）当 a=2，解不等式 f（ x） 0 （ ）若 a 0，且对于任意的实数 x，都有 f（ x） 3，求 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若复数 z 满足 1+z=i，则 |z|=（ ） A B 1 C D 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数模的计算方法计算即可 【解答】 解：复数 z 满足 1+z=i， z= 1+i， |z|= = ， 故选： A 2某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（ ） A 100 B 110 C 115 D 120 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据频率分布折线图中折线的最高点对应的数值，估计此次考试成绩的众数是什么 【解答】 解：根据频率分布折线图，得； 折线的最高点对应的值是 115， 据此估计此次考试成绩的众数是 115 故选： C 3 “|m| 2”是 “m 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 “|m| 2” 2 m 2，即可判断出结论 【解答】 解： “|m| 2” 2 m 2， 因此 “|m| 2”是 “m 2”的充分不必要条件 故选： A 第 7 页（共 22 页） 4实数 x， y 满足 ，则 的最小值是（ ） A 5 B C D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出平面区域，则 表示过点（ 1， 1）的直线的斜率，根据平面区域观察最优解 【解答】 解：作出平面区域如图所示： 由平面区域可知过 P（ 1， 1）的直线过点 A 时斜率最小， 解方程组 得 x= ， y= 的最小值为 = 故选： B 5公差不为零的等差数列 ， 数列 与 4值相等的项是（ ） A 考点】 等差数列的通项公式 【分析】 根据等差数列和等差数列的通项公式即可求出 【解答】 解： 公差不为零的等差数列 ，设公差为 d， d=2（ d）， 2d， an= n 1） d=（ n 3） d， 4（ d） =8d=（ n 3） d， 第 8 页（共 22 页） n=11， 故选： A 6已知 别是双曲线 =1（ a， b 0）的左、右焦点，且 |2，若 P 是该双曲线右支上的一点，且满足 |则 积的最大值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的定义求得 |作 上的高 A 为中点， 可知 长度，进而利用勾股定理求得 用基本不等式可得 面积的最大值 【解答】 解：由题意可得 |2， 由双曲线的定义可得， | |2a， 即为 |2+2a， 过 足为 A， 由等腰三角形的性质可得 A 为中点， 由勾股定理可得 | ， 即有 积为 | （ 2+2a） = =2， 当且仅当（ 1+a） 2=4（ 1+a） 2，即 a= 1 时，取得等号 则 积的最大值是 2 故选： C 7在 ， 0， ，点 D 在边 ，且 2 = ，则 的值是（ ） A 48 B 24 C 12 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由平面向量的线性运算化简可得 = （ + ） = + ，从而求得 【解答】 解： 2 = ， = ， = （ + ） = （ + ） 第 9 页（共 22 页） = （ + （ ） = + ， 又 0， ， =36， =0， 故 = 36=24 故选 B 8若函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象关于直线 x= 对称，且当 （， ）， ， f（ =（ 则 f（ x1+=（ ） A B C D 1 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据对称轴列出方程解出 得到 f（ x）的解析式，根据对称性可知 x1+ 【解答】 解：令 2x+= +得 x= + f（ x）的对称轴为 x= + 令 = + 解得 = + | ， = f（ x） =2x+ ） f（ x）关于 x= 对称，当 （ ， ）， ， f（ =（ x1+ f（ x1+=f（ ） = 故选： C 9过抛物线 x 的焦点的直线与抛物线交于 A， B 两个不同的点，当 |6 时， O 为坐标原点）的面积是（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 第 10 页（共 22 页） 【分析】 先设 A（ B（ 并将直线设为 x=，代入抛物线 x，运用抛物线定义和韦达定理计算 x1+ 值，再由 O 为坐标原点）的面积 S=|到答案 【解答】 解：设 A（ B（ 抛物线 x 焦点 F 坐标为（ 1， 0），准线方程为 x= 1 依 据抛物线定义， |x1+=6， x1+， 设直线方程为 x= 代入 x， 得 44=0 4 2+2 2 8=4（ x1+=16， 2 ， O 为坐标原点）的面积 S= | ， 故选： B 10运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上，则判断框中可填写的条件是（ ） A i 6 B i 7 C i 8 D i 9 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， y=0 x=1， y=1， i=2，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上， 不满足条件， x=0， y=1， i=3，输出点（ 0， 1） 不满足 条件， x= 1， y=0， i=4，输出点（ 1， 0） 不满足条件， x=0， y=0， i=5，输出点（ 0， 0），此输出的点恰落在直线 y=x 上 第 11 页（共 22 页） 不满足条件， x=1， y=1， i=6，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件， x=0， y=1， i=7，输出点（ 0， 1） 不满足条件， x= 1， y=0， i=8，输出点（ 1， 0） 不满足条件， x=0， y=0， i=9，输出点（ 0， 0），此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件， x=1， y=1， i=10，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上 由题意，此 时，应该满足条件，退出循环， 故判断框中可填写的条件是 i 9？ 故选： D 11在四棱锥 P ，四条侧棱长均为 2，底面 正方形， E 为 中点，且 0，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设四棱锥 P 面棱长为 x，则 E=x，根据相似三角形的性质，求出 而求出棱锥的底面的外接圆半径和高，进而求出棱锥的外接球半径，可得答案 【解答】 解：设四棱锥 P 面棱长为 x， E 为 中点，且 0， 则 E=x， 则 ，解得： x= ， 则正方形 外接圆半径 r=1， 棱锥的高 h= ， 设棱锥外接球的半径为 R， 则 ， 解得： R= ， 故棱锥的外接球的表面积 S=4， 故选： A 12已知 f（ x） = 则方程 ff（ x） =3 的根的个数是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 第 12 页（共 22 页） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】 由题意得 2f（ x） +1=3 或 |x） |=3，从而解得 f（ x） = f（ x） =e 3；从而再讨论即可 【解答】 解：由题意得， 2f（ x） +1=3 或 |x） |=3， 即 f（ x） =1（舍去）或 f（ x） = f（ x） =e 3； 若 f（ x） = 则 2x+1= | 故 x= （舍去）或 x= 或 x= ； 若 f（ x） =e 3， 则 2x+1=e 3 或 |e 3， 故 x= 或 x= 或 x= ； 故方程 ff（ x） =3 共有 5 个解， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设全集 U=x Z| 2 x 4， A= 1， 0， 1， 2， 3，若 B集合 B 的个数是 4 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 全集 U=x Z| 2 x 4= 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， A= 1， 0， 1， 2， 3， 2， 4， 可得出满足条件的集合 B 的个数 【解答】 解：全集 U=x Z| 2 x 4= 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， A= 1， 0， 1， 2，3， 2， 4， B集合 B=， 2， 4， 2， 4， 因此满足条件的集合 B 的个数是 4 故答案为： 4 14设四个函数： y=x ； y=21 x； y=x+1）； y=|1 x|其中在区间（ 0，1）内单调递减的函数的序号是 【考点】 函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用幂函数、指数函数、对数函数及绝对值函数的性质对 逐个判断即可 【解答】 解： y=x 在（ 0， 1）单调递增函数， y=21 x=2 （ ） x，单调递减函数， y=x+1）单调递增函数， 第 13 页（共 22 页） y=|1 x|= ，故在（ 0， 1）上单调递减函数， 故综上所述， 为（ 0， 1）上的减函数 故答案为： 15某几何体的三视图如图所示，当 得最大值时，该几何体的体积是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个放倒的四棱锥，如图， 当 得最大值时， 由 x2+5 2 当且仅当 x=y 时 大，此时 x=y= ， 所以棱锥的体积 V= = ； 故答案为： 16已知数列 前 n 项和 （ 2n 1），数列 通项公式为 n 2 数列 所有公共项按从小到大的顺序构成数列 若数列 第 n 项恰为数列 ，则数列 前 32 项的和是 2016 【考点】 数列的求和 【分析】 数列 前 n 项和 （ 2n 1），当 n=1 时， ；当 n 2 时， n 1，可得： 2n 1数列 通项公式为 n 2数列 所有公共项按从小第 14 页（共 22 页） 到大的顺序构成数列 3， 48， 768， ，分别为数列 1， 5， 9， ， 利用等差数列的通项公 式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：数列 前 n 项和 （ 2n 1）， 当 n=1 时， ；当 n 2 时， n 1=3（ 2n 1） 3（ 2n 1 1） =3 2n 1， 当 n=1 时上式也成立， 2n 1 数列 通项公式为 n 2 数列 所有公共项按从小到大的顺序构成数列 3， 48， 768， ， 分别为数列 1， 5， 9， ， 可得 +4（ n 1） =4n 3 则数列 前 32 项的和是 =2016 故答案为： 2016 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c （ ）求角 A； （ ）当 面积等于 4 时，求 a 的最小值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由 c，根据正弦定理可得： A+B），化简整理可得： ，利用 A， B （ 0， ）， 即可得出 （ （ I）可得： S ， b2+c2=用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ I）在 ， c， 根据正弦定理可得： A+B） = ， A， B （ 0， ）， ，解得 A= （ （ I）可得： S ， b2+c2= 26， 解得 a 4，当且仅当 b=c=2 时取等号 因此 a 的最小值为 4 19某市小型机动车驾照 “科二 ”考试共有 5 项考察项目，分别记作 ， ， ， ， （ ）某教练将所带 10 名学员 “科二 ”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有 2项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超 过3 项的概率 项目 /学号编号 （ 1） T T T （ 2） T T T （ 3） T T T T （ 4） T T T （ 5） T T T T （ 6） T T T 第 15 页（共 22 页） （ 7） T T T T （ 8） T T T T T （ 9） T T T （ 10） T T T T T 注： “T”表示合格，空白表示不合格 （ ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向 90，在车边缘不压射线 射线 前提下，将汽车驶入指定的停车位根据经验， 学员甲转向 90后可使车尾边缘完全落在线段 ，且位于 各处的机会相等若 D=车宽度为 学员甲能按教练要求完成任务的概率 【考点】 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ I）使用列举法求出古典概型的概率； （ 用几何法求出几何概型的概率 【解答】 解：（ I）由题意得共有 5 名学员（ 1），（ 2），（ 4），（ 6），（ 9）恰有 2 两项成绩不合格，从中任意抽取 2 人进行补测，共有 10 种 情况： 学员编号 补测项目 项数 （ 1）（ 2） 3 （ 1）（ 4） 4 （ 1）（ 6） 3 （ 1）（ 9） 3 （ 2）（ 4） 3 （ 2）（ 6） 4 （ 2）（ 9） 3 （ 4）（ 6） 3 （ 4）（ 9） 4 （ 6）（ 9） 4 由表格可知全部的 10 种情况中有 6 种情况补测项目不超过 3， 补测项目不超过 3 项的概率为 P= （ 线段 取两点 B， D，使得 记汽车尾部左端点为 M，则当 M 位于线段 时，学员可按教练要求完成任务 学员甲能按要求完成任务的概率 P= = = 第 16 页（共 22 页） 20已知几何体 ， C=， 0，四边形 矩形， ， M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，求点 A 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）取 中点 Q，连接 用三角形中位线定理与平行四边形的判定可得四边形 平行四边形，因此 利用线面平行的判定定理即可证明 （ C=， 0，可得 0， ， 进而得到 平面 点 A 到平面 距离为 h，则 h四边形 矩形，又 B ，即可得出 【解答】 （ I）证明：取 中点 Q，连接 又 Q， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ ： C=， 0，可得 0， ， 又 ， ， ， 0，即 平面 设点 A 到平面 距离为 h，则 h 四边形 矩形，又 B = = ， S = ， h= = ，则点 A 到平面 距离为 第 17 页（共 22 页） 21已知直线 y=x+1 与函数 f（ x） =b 的图象相切，且 f（ 1） =e （ I）求实数 a， b 的值； （ ）若存在 x （ 0， ），使得 2x 1） +x） =m 0）成立，求 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ I）求出函数 f（ x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，由条件可得 b=1，解方程可得 a=1； （ ）由于 f（ x） =题意可得 + = 在 x （ 0， ）有解，构造 g（ x） = ，求得导数，求出单调区间和极值、最值，可得 g（ x）的范围，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） =b 的导数为 f（ x） = 由且 f（ 1） =e，可得 ae=e，即 a=1； 设切点为（ m， m+1），可得切线的斜率为 ， 又 m+1=b，解得 b=1， 综上可得， a=b=1； （ ）由于 f（ x） = 存在 x （ 0， ），使得 2x 1） +x） =m 0）成立， 即为 + = 在 x （ 0， ）有解， 由 g（ x） = 的导数为 ， 可得 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增； 1 x 时， g（ x） 0， g（ x）递减 即有 g（ x）在 x=1 处取得极大值，且为最大值 ， 由 g（ 0） =0， g（ ） = ， 即有 g（ x）的范围是（ 0， ， 则 0 + ，解得 故 的取值范围为（ ， 22已知椭圆 E： + =1（ a b 0）， A 为椭圆 E 的右顶点， B， C 分别为椭圆 E 的上、下顶点 第 18 页（共 22 页） （ I）若 N 为 中点， 面积为 ，椭圆的离心率为 求椭圆 E 的方程； （ ） F 为椭圆 E 的右焦点，线段 延长线与线 段 于点 M，与椭圆 E 交于点 P，求 的最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由题意可得 A（ a， 0）， B（ 0， b）， C（ 0， b），由两点的距离公式及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）设 F（ c， 0）， C（ 0， b）， A（ a， 0）， B（ 0， b），求得直线 方程，联立求得 M 的坐标，再联立椭圆方程，可得 P 的坐标，由 = ，化简整理，转化为 e 的式子，运用基本不等式可得最小值 【解答】 解：（ I）由题意可得 A（ a， 0）， B（ 0， b）， C（ 0， b）， | | ， 直线 方程为 ，可得 B 到 距离为 d= ， 由 面积 为 ，可得 （ ） = ， 即有 ， 又 e= = ， b2= 解得 a=2， b=c= ， 即有椭圆的方程为 + =1； （ ）设 F（ c， 0）， C（ 0， b）， A（ a， 0）， B（ 0， b）， 可得直线 y= x b，直线 方程为 y= x+b， 联立直线 方程，可得 M（ ， ）， 将直线 方程代入椭圆方程 可得 x=0 或 ， 即有 P（ ， ）， 第 19 页（共 22 页） 由 = = ， 由 e= （ 0， 1），可得 = =（ 1+e） + 2 2 2=2 2 当且仅当 1+e= ，即 e= 1，可得最小值 2 2 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 23如图，已知 A， B， C， D 四点共圆， 延长线交于点 M， 延长线交于点 F，连接 点 B 作 垂线，交 点 E （ ）证明： ）证明： B=F 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的判定 【分析】 （ ）利用：