【精品】南京晓庄学院学生及家庭情况调查表 c...78

1,第七讲线性代数方程组的解法（上）,2,第七讲主要知识点,直接方法（高斯简单消去法 、选主 元消去法 、高斯约当消去法 、三角分解法 ）,3,引言,求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子计算机上仍然十分有效。,4,约当消去法,消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解。所谓约当消去法 ，其特点是，它的每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其它的各个方程中消去该变元，这样经过反复消元后，所给方程组中的每个方程最终被加工成仅含一个变元的形式，从而得出所求的解。,5,高斯消去法,高斯消去法是约当消去法的一种改进。高斯消去法的求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程成组再通过回代过程得出它的解。高斯消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。,6,选主元素,我们在高斯消去法的消元过程中检查方程组中变元 的各系数，从中挑选出最大者，称之为第 步的主元素。设主元素在第 个方程，即 若 不等于 ，则我们先将第 个方程与第 个互易位置，使新的 成为主元素，这一手续称为选主元素。,7,解线性代数方程组的直接方法,8,解线性方程组的直接方法（续1）,9,解线性方程组的直接方法（续2）,解线性方程组的两类方法：直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确 解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。 （一般有限步内得不到精确解）,10,Gauss 消去法,11,相当于第i个方程-第一个方程数新的第i方程同解！第一方程不动！,一、Gauss 消去法计算过程,12,Gauss 消去法计算过程,上述消元过程除第一个方程不变以外,第2第 n 个方程全消去了变量 1，而系数和常数项全得到新值：,13,Gauss 消去法计算过程（续1）,14,Gauss 消去法计算过程（续2）,15,Gauss 消去法计算过程（续3）,16,Gauss 消去法计算过程（续4）,17,Gauss 消去法计算过程（续5）,系数矩阵与常数项：,18,消去过程算法,19,回代过程算法,20,例题分析,21,消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1） 个乘法。,二、Gauss消去法乘法计算量,22,每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk,三、Gauss消去法的矩阵表示,23,Gauss 消去法的矩阵表示,24,Gauss 消去法计算过程,25,LU形式,26,例题分析,27,高斯主元素消去法,28,例题分析,29,例题分析（续）,30,高斯列主元素消去法,31,高斯列主元素消去法（续）,32,高斯若当消去法,33,高斯若当消去法（续）,34,高斯消去法的变形一、LU 分解,35,LU 分解,设A为n阶方阵，若A的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵存在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔）分解。,36,直接计算 A 的 LU 分解(例),37,直接计算 A 的 LU 分解(例) （续）,38,一般计算公式,计算量与 Gauss 消去法同.,39