【精品】样本空间： 随机实验的所有可能产出所成的集合, 通常以ω表...37

1,樣本空間: 隨機實驗的所有可能產出所成的集合, 通常以表示例1:擲1次銅板的實驗: 例2:擲2次銅板的實驗:例3:擲飛鏢的實驗:例1及例2之樣本空間之元素個數有限在此種情形, 我們可根據實驗觀察統計, 定出每個元素之機率例4:,機率: 隨機現象的研究,2,在例3擲飛鏢的實驗中,樣本空間之元素有無限多個(不可數),而每個元素發生的機率都是0,我們無法藉著知道每個元素發生的機率來得知某個事件(如射中紅心)的機率.在這種情形下,要描述此一隨機現象,我們可能將樣本空間分成幾個區域(子集合),標示飛鏢落在每個區域的機率.區域分的越細,描述越精細.,3,事件: 樣本空間的子集合,以擲飛鏢的實驗為例, 我們關心哪些事件發生的機率呢?某甲可能在鏢靶上畫同心圓環,他所關心的是飛鏢落在各個圓環區域的機率,這些區域就構成一些事件某乙可能在鏢靶上畫上一些動物或幾何圖案,他所關心的是飛鏢射中各圖案的機率,這些區域就構成事件某丙可能在鏢靶上畫上一些均勻的方格,這些方格區域就構成事件,這些方格夠細的話, 就可組合出近似前2人感興趣的區域.某丁想, 我要如何無限的細分區域,建構出來的區塊的組合可以無限近似前2人所感興趣的任何區塊,甚至任何人想得出來的子集合?事件是由樣本空間子集合來描述,每個事件都是樣本空間的子集合但不是每個樣本空間的子集合都是事件,4,事件: 一些實驗產出所形成的集合,什麼是事件? 用符號E代表隨機實驗的某個事件,對每個實驗產出, 要嘛就是事件E發生了 不然就是事件E沒發生收集代表事件E發生的那些所形成的集合,以符號A表示, 則事件E發生代表 A ,反之, A 代表事件E發生, 也就是說事件E可以由樣本空間的子集合A來代表什麼是事件?每個事件A就是將樣本空間作二分割(A與Ac,), 區別樣本空間的元素到底是代表事件A發生( A)或不發生( A) 例:擲骰子:出現奇數的事件可用A=1,3,5表示, 出現小於等於3的事件可用B=1,2,3來表示Note:通常要把事件想成是一些樣本點的集合, 而不要把事件想成一個樣本點, 雖然有的事件只含一個樣本點,5,需多少個子集合? 哪些子集合?,機率是定義在樣本空間的子集合上有機率定義之樣本空間子集合,稱為“事件”在機率理論的研究中,如果對某一個事件(子集合)發生的機率感興趣,將其納入研究範圍,則很自然的也會想問:該事件的反面(補集)發生的機率是多少?如果對某兩個事件(子集合) 發生的機率感興趣,將此二事件納入研究範圍, 那麼很自然的也會想知道兩事件同時發生(交集)的機率與兩事件中至少一件成立(聯集)的機率。事件的補集, 交集, 聯集都應該要能夠得到機率, 也就是納入事件的集合中。這種對補集, 交集, 聯集運算呈現封閉性的系統稱為集合代數。,6,一個由樣本空間之子集合所形成之集合,若滿足下列條件, 則稱為 上的一個代數或域(1) , (2)若E,則Ec (3)若E,F,則EF, EF若進一步滿足可數聯集封閉性, 則可稱為代數(-algebra), 或域(-field) 若Ei , I=1,2,3, 則 一個與其上的一個代數的配套(,), 合稱為一個可測空間.(可以在其上定義測度),代數(域),7,事件=可測集合,若(,)為可測空間,則 中元素稱為可測集合同一個實驗,同一個樣本空間, 配上不同的代數, 即形成不同分割方式的可測空間例:擲2次銅板的實驗= HH,HT,TH,TT 若我們關心的是是否出現正面,則事件集合可定為 1=, HH,HT,TH, TT, 若我們關心的是出現正面的次數, 則事件集合2包括HH,HT,TH, TT, 拿這些來作交集、聯集、補集後得 2=, HH,HT,TH, TT,HH,HT,TH,HH,TT,HT,TH,TT,若此實驗代表擲茭杯, 則3=, HH, TT,HT,TH,若取樣本空間的最精細分割, 令4為包括HH,HT,TH,TT的代數, 則上列3種研究課題均可納入研究注意: 的所有子集合所形成之集合稱為的power set,記為 2或 P(). power set 元素個素|2|= 2|. 在符合長度概念條件下,實數R上子集合的大小之量測方法, 並無法量出所有子集合的大小. 同理, 通常並不要求樣本空間的所有子集合均可定出機率,8,機率測度,樣本空間收集一些我們有興趣之子集合(事件),形成代數對中的每個元素E(事件)定出機率PE可測空間(,)上的機率測度P: 0,1須滿足下列條件(機率公設):P=1若Ei, , i=1,2,3, 互不相交,則,9,機率公設的應用,任一集合A可將空間分割成不相交兩部份: A與Ac任一集合B之機率可寫成 PB=PBA + PBAc = PBA + PB-A PB-A = PB - PBAPAB=PA+PB-PAB因AB= (A-B) (B-A) (AB)利用機率公設, PAB=PA-PBA + PB-PAB + PAB 套用上列公式可推得PABC= PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC利用歸納法可得 之計算方法: 個別集合機率和 每2個交集機率和 + 每3個交集機率和 - + ,10,機率空間,樣本空間為與在其上之一個代數,及上的一個機率測度P所組成的一組配套(,P), 稱為一個機率空間. 代表可以計算機率區域的分割精細度(解析度)現代的機率理論模型,對每個問題的所有抽象描述(如以某些隨機變數代表系統的輸出與輸入等)與定理推導過程都隱含著一個共同的機率空間為背景.機率空間提供所有的基礎資訊, 其他任何資訊皆由此一資訊推導而來. 實際問題中,雖然我們假定有一個背景的機率空間, 但常常不是完整的告訴我們它的所有資訊, 而是讓我們由部份資訊中去推導另外一些感興趣的資訊.,11,交集機率, 條件機率,事件A,B同時發生的事件為AB,或簡寫成AB, 其發生機率為PAB,或簡寫成PAB條件機率:在事件B發生的條件下,事件為A發生機率記為PA|B以N表總實驗次數, NB表事件B發生的次數,NAB表事件AB同時發生的次數則PA|B=PAB/PB (只有在PB0才有意義),12,獨立事件,兩機率不為零的事件A,B 若滿足PAB=PAPB 則稱A,B兩事件為獨立 若A,B為機率不為零獨立的兩事件,則 PA|B=PA PB|A=PB,13,全機率與條件機率,若Ai, i=1,n互不相交且 聯集合為, 則稱A1 , An為之n分割若A1 , An為之n分割,B為任一事件,則B之機率 若PAi0,則B之全機率又可寫成所有Ai條件下B之機率合併計算如下式:若A1 , An為之n分割, B1, Bm為之m分割,則,14,貝氏定理(Bayes theorem),若Ai, i=1,n互不相交PA