有限元试题2010及答案

1,（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是,如何采用弹性力学问题基本方程？,答：弹性力学有限元的基本过程是：,1. 假设单元的位移场模式,2. 代入到几何方程得到,3. 代入到物理方程得到,4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程,5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程,结点位移,2,2. （20分）回答问题：,（1）有限单元的形函数,具有什么特征？,（2）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足,哪些条件？,（3）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”,概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连,续吗？ 应力场连续吗？,答： 1）其中的,在,结点处取值为1；在其他结点处取值为零,；,。,2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式必须能反映单元的常量应变； 位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。,3,3）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形,状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相等。相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。,3. （10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格 划分如图，试求： （1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小； （2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。,4,（2）,（3）,；,解：,5,答： （2）,d=4 , B=2(d+1)=10,(3),6,4. （7分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面,问题的有限元计算列式的主要相似之处？,答： 相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同，如他们的,三角形3节点单元位移模式相同；区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称问题应力和应变分量是4个；求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。,7,5. （8分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为,式中,是刚度矩阵，,是质量矩阵，,是结构固有频率，,是振型向量。,试问为什么从上式求出的特征对 (,)中，,只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。,答：在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶多项式曲线有着显著的差异。因而，有限元法中求出的低阶频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大，甚至无效。,8,6 (20分)图示一维阶梯形杆，已知截面积参数,，长度,，,质量密度,，弹性模量,。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆,单元，结点和单元编号见图。,试求： （1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵； （2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。,解： （1）单元的一致质量矩阵和 刚阵,9,整体一致质量矩阵和刚阵,10,2） 因为节点3固结，,；,在,中划去第3行和第3列，系统振动的特,征方程为：,令,，,则上式展开为,11,；,解得：,12,7. (25分)图示等腰直三角形薄板和一根杆件相铰连。三角板厚度,，边长,，,(,已知)，受集中力,作用。杆件沿,轴方向，长为,，截面积,，,。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的,1个三角形常应变元和1个平面杆元求：,（1）结构整体的等效结点力列阵；（2）采用划行划列法引入已知结 点位移，计算出结点1和2的 位移；（3）杆件中内力。,i j m单元2： 1 3 2单元1： 2 4,13,解：（1）结构整体等效结点力,结点 1 2 3 4,（2）长度因子：,略写,单元1：,14,1 3 2,15,2 4,，,已知：,16,组装单元，有,解得：,，,17,（3） 杆中内力：,（拉力） 。(完),18,练习：已知m、EI、a、求支座反力。,写出整体刚度方程即可,解：（）划分单元，给节点编号（）单元分析,(1)节点分析对号入座它不能直接入座,(1)引入边界条件：,由后三个方程可求得,，然后把,代入前三个方程，求得,。,例：已知：p，l，EA。求：,解：