数学教学中的学生思维能力培养2

数学教学中的学生思维能力培养摘要思维素质的高低直接关系到社会成员对事物的洞察、理解与判断能力。数学是思维的体操，以特殊形式训练人的思维能力。中学正是培养学生的数学思维能力的最佳阶段，因此数学教学过程应重视运用理性思维培养学生思维能力，开发学生智力。关键词数学，教学，学生，思维，创新数学文化是现代科技文化的核心，它的形式语言，理性主义观念，抽象的、逻辑的思维方式，已成为现代社会成员必备的素质。这种素质的高低直接关系到社会成员对事物的洞察、理解与判断能力。中学正是培养学生的数学思维能力的最佳阶段。在高中数学教学中，不仅要教会学生知识，更重要的是要让学生理解数学的真谛，培养学生学习数学的兴趣，养成探究的习惯，树立创新的意识。数学是思维的体操，数学教学要开发智力，发展能力，就不能仅仅停留在传授知识上，还必须注重培养学生的思维能力。那么，在数学教学中怎样来培养学生的思维能力呢具体做法可以从以下几个方面进行一、一题多解，开阔视野教学中，通过一题多解的练习，可使学生养成以不同的角度观察、思考，用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯，从而扩充思维的领域，增加思维机遇，学生不满足已有方法而寻找新方法，这有利于沟通知识间的联系，培养学生思维的广阔性。在教学过程中，用多种方法，从各个不同的角度和不同的途径去寻求问题的答案，培养学生思维的变通性。例1求证TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X思路1从左到右证明，化差为积。证法1TAN2XSIN2XXX22COSSINSIN2XSIN2XX2COS11SIN2XXX22COSCOS1SIN2XXX22COSSINTAN2XSIN2X证法2TAN2XSIN2XSIN2XSEC2X1TAN2XSIN2X证法3TAN2XSIN2XTAN2X1COS2XTAN2XSIN2X思路2从右到左证明，化积为差。证法4TAN2XSIN2XTAN2X1COS2XTAN2XSIN2X证法5TAN2XSIN2XSEC2X1SIN2XTAN2XSIN2X思路3将AB转化为证AB0证法6TAN2XSIN2XTAN2XSIN2XTAN2X1SIN2XSIN2XTAN2XCOS2XSIN2XSIN2XSIN2X0TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X证法7TAN2XSIN2XTAN2XSIN2XTAN2XSIN2X1TAN2XTAN2XSIN2XSEC2XTAN2XTAN2X0TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X证法8TAN2XSIN2XTAN2XSIN2XSIN2XSEC2X1TAN2XSIN2XSIN2XTAN2XTAN2XSIN2X0TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X思路4证明左右两边都等于同一个式子。证法9右边SIN2XXX22COSSINXX24COSSIN左边XXXX2222COSCOSSINSINXXX222COSCOS1SINXX24COSSINTAN2XSIN2XTAN2XSIN2X思路5用逆证法。证法10由题意可知COS2X0，于是求证式两边可同乘以COS2X得SIN2XSIN2XCOS2XSIN4X，即SIN2X1COS2XSIN4X，也就是SIN4XSIN4X（）式是恒等式，且以上各步均可逆。原式TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X成立。思路6将AB转化为证1BA,但转化时要注意B0的特殊情况。证法11COS2X0，否则求证式无意义。若SIN2X0，则TAN2X0，显然等式成立；若SIN2X0，则TAN2XSIN2X0，欲证原等式成立，只须证1SINTANSINTAN2222XXXX即可。而XXXX2222SINTANSINTANXX22TAN1SIN1CSC2XCOT2X1，TAN2XSIN2XTAN2XSIN2X然后在引导学生根据这些证法归纳出证明三角恒等式的基本方法和常用技巧。这不仅引导学生多方法，多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且开阔了学生的视野，使学生的发散思维和收敛思维能力得到了锻炼和培养，从而使学生掌握的知识更灵活、牢固。二、一题多变，以点串线“变换”是数学中最有用的概念之一。“一题多变”是从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法教学中对数学概念、法则、定理、公式、题目等从“变换”的思想角度去联想、去开拓，不但可以达到以点串线、举一反三、牵动全面知识的目的，而且还能将知识深化，提高学生分析问题，解决问题的能力和“发散思维”能力。例2用二项式定理证明55559能被8整除。分析从命题角度来看，需要将55559分解成8的整数倍，联系到二项式定理，应该考虑55561及918等关系。证明55559（561）5595655C15556541RCR555655RC5455561185655C15556541RCR555655RC5455568上式右边各项均能被8整除。55559能被8整除。完成上述证明后，再将此题作如下一些变换，引导学生联想。1若题设中其它条件不变，只将55559中的指数N55改为N2K1KN，情况又如何若改指数N2KKN，情况又如何对于这两个问题，学生稍加思考便可证明，前者能被8整除，而后者不能被8整除。2再把条件中另一加数9换成7，这时候552K17能被8整除吗而552K7呢（KN）学生可以立刻得出，552K17（KN）不能被8整除，而552K7反而能被8整除了。3这时再将命题变换为，对于形如55NANN的整数，A是小于8的自然数，这时候55NA若被8除，余数是多少依据前面的推证与具体思维，大部分学生已能进一步抽象思维，知道将指数N分为偶数和奇数两种情况进行讨论，于是得出因为当N2KNN时，55N7被8除的余数是0，所以在A为小于7的自然数时，55NA被8除的余数是A1；而当N2K1（KN）时，55NA被8除的余数是A14经过前面的变换和推证，可以引出这样一个趣味性的问题今天是星期三，经过55559天后的哪一天是星期几学生容易看出，这是求被7除后的余数问题，因与生活实际有联系，学生较感性趣，且有前面的推证不难进一步得出余数是1，答案是星期四。如此借题发挥、一题多变、以点串线、联想开拓，对培养学生由此及彼、由表及里的思维方法起到了举一反三，触类旁通的效果。使学生的思维变得活跃、发散，还能将形似神不似的题目并列在一起比较，求同存异，还能培养学生条件转换、设问置疑、探究因果、主动参与、积极思考的好习惯，也能避免学生盲目做大量的练习而效果差的现象，减轻了学生的课业负担。三、探索未知，猜想结论解题结论上的推广对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察、分析，应用不完全归纳法得出有关命题的形式、结论或方法的猜想叫归纳猜想。在教学中，让学生用自己学过的知识，通过多方观察、纵横联系、积极探索、大胆猜想，去得出可能的结论。这有助于培养学生的探索精神和创造性思维能力，从而获得超越原有知识的认识水平。例3已知F1X21XX1F2XF1F1X2F3XF1F1F1X3由此能得出什么结论解112112XFXFXF221XX2221331XXXFFXF3学生从1、2的解答过程中不难发现规律，猜想到一般性结论21NXXXFNNN当然，对任意的自然数N，上式是否成立，还必须用数学归纳法证明。对于较为复杂的问题，往往一下子难以找到直接的解决方法，这时可以考虑先退一步，把问题简单化，先尝试解决简化了的问题，然后再通过分析，利用从简单情况得到的启发，推断猜想出一般复杂状态下的问题的解决途径。四、由特殊到一般，深化提高解题方法上的推广人们的认识通常是从特殊到一般，因为前者比后者容易认识。有些数学问题，它们的特殊、简单情形的求解中的关键性步骤，就是求解一般性情形的关键性步骤。在教学中，对一些题进行由简到繁、由特殊到一般的推广或延伸，可以训练学生思维的深度和广度，培养学生归纳思维的能力。例4求证8120COS40COS80COS000证明00020COS40COS80COS0000020SIN220SIN220COS40COS80COS000020SIN240SIN40COS80COS020020SIN280SIN80COS03020SIN2160SIN81然后，请学生将上面的证明方法证明到下例例5求证NNNXXXXX2SIN2SIN2COS2COS2COS2X2NK,NN,KZ尽管此题看起来较为复杂，但学生根据上题的证明思路，很容易得到证明方法。证明NNNXXXXX2SIN22SIN22COS2COS2COS2左边NNNXXXXX2SIN22SIN2COS2COS2COS112NNXX2SIN2SIN特殊化思想在中学数学教育中有着广泛的应用，它既是人类认识自然的一种思想方法，也是学生学习的重要思想方法。在平时教学中，有意识地引导学生揭示潜在问题的特殊性，用特殊化思想方法去探索数学规律，猜想、判断，验证，不仅可使学生简捷、新颖、独特的解决问题的方法，还能帮助学生克服解决问题时的盲目性，随意性和片面性。增强学生的科学性、简捷性和灵活性。五、由一般到特殊，不落俗套在教学中，对一些题目，教师要引导学生分析其特殊性，鼓励学生打破常规，克服习惯的束缚，从异向思考问题，培养学生敏锐的观察力、灵活的思维方式和独创求异精神。例6设A、B、C为正实数，ABC3,3111CBA求证ABC1分析此题若由已知条件通过恒等变形去推结论，是很复杂的。但若根据此题的特殊性，把问题转化为证明不等式ABC1，且同时ABC1，这就简单多了。证明A、B、C是正实数，于是3ABC33ABC3即3ABC1；同时3131113ABCCBA,即33ABC1因此必有3ABC1，ABC1本例题说明了某些问题的解决可先将其一般化，而解决一般性问题可能比解决特殊性问题更容易。六、综合分析，深入挖掘例7已知整数A、B、AB均非3的倍数，试证A3B3是9的倍数。分析初看此题的条件和结论似乎不相关，思维肤浅的学生往往写出A3B3的公式以后便无从下手，分析不出条件里隐含的全部意义，而思维深刻的学生则会在“均非”二字上挖掘，于是发现当A3N1时，必定有B3M2；而当A3N2时，必定有B3M1，（M、NZ）否则，AB将成为3的倍数。这样题目的隐含条件一旦剖析清楚，难度就大大地降低了。证明A、B、AB均非3的倍数，于是可令A3N1，则必有B3M2，（M、NZ）,于是有A3B33N133M233N13M2333N13M23N13N23NM1393N13M2NM1上式右边是9的倍数，A3B3是9的倍数。若令A3N2，则B3M1，（M、NZ），同理可知A3B3也是9的倍数。当A、B、AB均非3的倍数时，A3B3必是9的倍数。七、数形结合，融会贯通在教学中，对有些概念、公式、命题，在正确揭示它们的本质属性，阐明它们的意义用法之后，再进一步对它们作几何解释，或在解完某些代数题目之后，再引导学生去寻找它们的几何模型，把代数问题通过几何直观描绘出来。这样，不仅能使学生搞清楚问题的来龙去脉，使所学的知识融会贯通，而且还能提高学生变更问题形式的能力，培养学生由数到形、数形结合的思维能力。这对沟通代数与几何之间的关系可起到重要的作用。如进行不等式证明的教学时，在用代数方法分析证明了重要不等式A2B22ABA、B为实数，当且仅当AB时取“”号及其推论若A、B为正数，则ABBA2当且仅当AB时取“”号之后，举例让学生了解其几何意义。例8如图，在线段AC上取一点B，令ABA、BCB,以AC为直径作半圆，圆心为O，过O、B分别引AC的垂线交圆于D、E两点，则有22BABCABOD，ABBCABBE由平面几何知识得ODBE,即ABBA2其中等号当且仅当O与B重合，即AB时成立。运用数形结合思想有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在