2007年1月-2012年7月自考线性代数(经管类)试题(全部)

1全国2012年7月自考线性代数经管类试题课程代码0418423全国2012年4月试题课程代码04184说明在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，RA表示矩阵A的秩一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式2,则12133A12133AAA12B6C6D122设矩阵A,则A中位于第1行第2列的元素是1203A6B3C3D63设A为3阶矩阵，且|A|3，则1A3BCD334已知43矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于A1B2C3D45设A为3阶矩阵,P,则用P左乘A，相当于将A102A第1行的2倍加到第2行B第1列的2倍加到第2列C第2行的2倍加到第1行D第2列的2倍加到第1列6齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2340XXA1B2C3D447设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组AXB的两个不同的解，C为任意常数，则该方程组的12为通解为ABCD12C121C12121C8设A是N阶方阵，且|5A3E|0，则A必有一个特征值为ABCD533535539若矩阵A与对角矩阵D相似，则A310AEBDCADE10二次型F是123,X2213XA正定的B负定的C半正定的D不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式_1246312设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P，Q，若矩阵BQAP,0101则RB_13设矩阵A，B，则AB_1481214向量组1,1,1,1,1,2,3,4,0,1,2,3的秩为_12315设,是5元齐次线性方程组AX0的基础解系，则RA_216非齐次线性方程组AXB的增广矩阵经初等行变换化为，102则方程组的通解是_17设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|_18设A为3阶矩阵，且|A|6，若A的一个特征值为2，则A必有一个特征值为_19二次型F的正惯性指数为_123,X2213X20二次型F经正交变换可化为标准形_2234X三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）521计算行列式D35124022设A，矩阵X满足关系式AXXA,求X132023设均为4维列向量，A（）和B（）为4阶方阵若行23为234为23为列式|A|4，|B|1，求行列式|AB|的值24已知向量组1,2,1,1T,2,0,T,0T,0,4,5,2T,3,2,T4,1T（其中T为参数），求向量组的1234秩和一个极大无关组25求线性方程组1234257XX为（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26已知向量1,1,1T，求向量,使两两正交123为123为四、证明题（本题6分）27设A为MN实矩阵，ATA为正定矩阵证明线性方程组A0只有零解X全国2012年1月试题课程代码04184说明本卷中，A1表示方阵A的逆矩阵，RA表示矩阵A的秩，|表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式2，则（）12133A11213332AA6A6B3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（XE）E，则矩阵X（）AEA1BEACEADEA13设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A可逆，且其逆为B不可逆1C可逆，且其逆为D可逆，且其逆为B1AA1AB4设1，2，K是N维列向量，则1，2，K线性无关的充分必要条件是（）A向量组1，2，K中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0的数L1，L2，LK，使得L11L22LKK0C向量组1，2，K中存在一个向量不能由其余向量线性表示D向量组1，2，K中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量则（）,1321,43,0TTA（0，2，1，1）TB（2，0，1，1）TC（1，1，2，0）TD（2，6，5，1）T6实数向量空间VX,Y,Z|3X2Y5Z0的维数是（）A1B2C3D47设是非齐次线性方程组AXB的解，是其导出组AX0的解，则以下结论正确的是（）A是AX0的解B是AXB的解C是AXB的解D是AX0的解8设三阶方阵A的特征值分别为，则A1的特征值为（）1,324ABCD2,4,312,43,1,3249设矩阵A，则与矩阵A相似的矩阵是（）21ABCD12302211210以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）7请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设DETA1，DETB2，且A，B为同阶方阵，则DETAB3_12设3阶矩阵A，B为3阶非零矩阵，且AB0，则T_1243T13设方阵A满足AKE，这里K为正整数，则矩阵A的逆A1_14实向量空间RN的维数是_15设A是MN矩阵，RAR,则AX0的基础解系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组AXB有解的充分必要条件是_17设是齐次线性方程组AX0的解，而是非齐次线性方程组AXB的解，则_32A18设方阵A有一个特征值为8，则DET（8EA）_19设P为N阶正交矩阵，X是N维单位长的列向量，则|PX|_20二次型的正惯性指数是_22123131323,564FXXX三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式14222设矩阵A，且矩阵B满足ABA14A1BA1，求矩阵B3523设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量1234,0,71,201,6,93,通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵A，求矩阵A的特征值和特征向量425325求下列齐次线性方程组的通解134250XX26求矩阵A的秩203610四、证明题（本大题共1小题，6分）27设三阶矩阵A的行列式不等于0，证明21313A8线性无关131122233,AA全国2011年10月试题课程代码04184说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，RA表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设3阶方阵A的行列式为2，则1AA1BCD1442设则方程的根的个数为（）212,335XXF0FXA0B1C2D33设A为N阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（）,AABCD00B004设A,B是任意的N阶方阵，下列命题中正确的是（）AB222CDEEA2AB5设其中则矩阵A的秩为（）121323,ABA0,1,3IIABA0B1C2D36设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A的秩为（）A0B2C3D47设向量（1，2，3）与（2，K，6）正交，则数K为（）A10B4C3D1098已知线性方程组无解，则数A1234XAAB0CD112129设3阶方阵A的特征多项式为则23,EAAA18B6C6D1810若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）IJAA1，2，3B1，2，3C1，2，3D1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_3042,5D12设则_,ABABAB13设A是43矩阵且则_1032,RR14向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为_15设线性无关的向量组1，2，R可由向量组1，2，,S线性表示，则R与S的关系为_16设方程组有非零解，且数则_1230X0,17设4元线性方程组的三个解1，2，3，已知则方XABT1,234,T23,579,R3A程组的通解是_18设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为_250,19设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数A_1043A,12,X20设实二次型已知A的特征值为1，1，2，则该二次型的规范形为_T12,FXX三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21设矩阵其中均为3维列向量，且求2323,AB2,18,2ABA1022解矩阵方程10102432X23设向量组1（1，1，1，3）T，2（1，3，5，1）T，3（3，2，1，P2）T，4（3，2，1，P2）T问P为何值时，该向量组线性相关并在此时求出它的秩和一个极大无关组24设3元线性方程组,123451X（1）确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）25已知2阶方阵A的特征值为及方阵12,32BA（1）求B的特征值；（2）求B的行列式26用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换2212313123,4FXXX四、证明题本题6分27设A是3阶反对称矩阵，证明0A全国2011年7月试题课程代码04184说明本卷中，AT表示方阵A的转置钜阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设，则（）01354ATAA49B7C7D492设A为3阶方阵，且，则（）42A32B8C8D323设A，B为N阶方阵，且ATA，BTB，则下列命题正确的是（）A（AB）TABB（AB）TABCA2是对称矩阵DB2A是对称阵4设A，B，X，Y都是N阶方阵，则下面等式正确的是（）A若A20，则A0B（AB）2A2B2C若AXAY，则XYD若AXB，则XBA115设矩阵A，则秩（A）（）130245A1B2C3D46若方程组仅有零解，则K（）0KXZYA2B1C0D27实数向量空间V（X1，X2，X3）|X1X30的维数是（）A0B1C2D38若方程组有无穷多解，则（）234XA1B2C3D49设A，则下列矩阵中与A相似的是（）0ABCD10210210210210设实二次型，则F（）1233,FXXA正定B不定C负定D半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A1,1,2T，B0,2,3T,则|ABT|_12设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|2，则123,1,23I_12,13设，且秩A3，则A,B,C应满足_012AACB14矩阵的逆矩阵是_3Q1215三元方程X1X31的通解是_16已知A相似于，则|AE|_0217矩阵的特征值是_1018与矩阵相似的对角矩阵是_2A19设A相似于，则A4_1020二次型FX1,X2,X3X1X2X1X3X2X3的矩阵是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算4阶行列式D412322设A，而X满足AXEA2X，求X102623求向量组的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将123453101,37其余的向量表示成该极大无关组的线性组合24当为何值时，齐次方程组有非零解并求其全部非零解1230X25已知1,1,1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于1,T2,1T的特征向量，求A的属于的特征向量12326求正交变换YPX，化二次型FX1,X2,X32X1X22X1X32X2X3为标准形四、证明题（本大题6分）27设线性无关，证明也线性无关123，1213，13全国2011年4月试题课程代码04184说明AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列等式中，正确的是（）AB32000412100021123456369456C5D1002101200351200352下列矩阵中，是初等矩阵的为（）ABCD1110100012000200021080100011080180013设A、B均为N阶可逆矩阵，且C，则C1是（）00ABCD10010110011010014设A为3阶矩阵，A的秩RA3，则矩阵A的秩RA（）A0B1C2D35设向量，若有常数A,B使，则（）1（1,4），2（1,2），3（3,8）1230AA1,B2BA1,B2CA1,B2DA1,B26向量组的极大线性无关组为（）11,2,0,22,4,0,33,6,0,44,9,0ABCD1,41,31,22,37设矩阵A，那么矩阵A的列向量组的秩为（）100220340A3B2C1D08设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）3141ABCD433434439设矩阵A，则A的对应于特征值的特征向量为（）1002123120A（0，0，0）TB（0，2，1）TC（1，0，1）TD（0，1，1）T10二次型的矩阵为（）1321,XXFABCD21112121212120121000021011000014二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式_|111123149|12行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_235013设矩阵A，B（1，2，3），则BA_11223114设3阶方阵A的行列式|A|，则|A3|_15设A，B为N阶方阵，且ABE，A1BB1AE，则A2B2_16已知3维向量（1，3，3），（1，0，1）则3_17设向量（1，2，3，4），则的单位化向量为_18设N阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为N1，则齐次线性方程组AX0的通解为_19设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为，则行列式|B1|_41,3220设A是正定矩阵，则A的取值范围为_122三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知矩阵A，B，111210101100210021求（1）ATB；（2）|ATB|22设A，B，C，且满足AXBC，求矩阵X123221343215313203123求向量组（1,2,1,0）T，（1,1,1,2）T，（3,4,3,4）T，（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性1234无关组24判断线性方程组是否有解，有解时求出它的25已知2阶矩阵A的特征值为1，9，对应的特征向量依次为（1，1）T，121（7，1）T，求矩阵A226已知矩阵A相似于对角矩阵，求行列式|AE|的值1002四、证明题（本大题共6分）1527设A为N阶对称矩阵，B为N阶反对称矩阵证明（1）ABBA为对称矩阵；（2）ABBA为反对称矩阵全国2011年1月试题课程代码04184说明本卷中，A1表示方阵A的逆矩阵，RA表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位,矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式4，则行列式（）32311A32311AAA12B24C36D482设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXBC，则矩阵X（）AA1CB1BCA1B1CB1A1CDCB1A13已知A2AE0，则矩阵A1（）AAEBAECAEDAE4设是四维向量，则（）54321,A一定线性无关B一定线性相关,54321,C一定可以由线性表示D一定可以由线性表出54321,5432,5设A是N阶方阵，若对任意的N维向量X均满足AX0,则（）AA0BAECRAND00CA的特征值之和大于0DA的特征值全部大于010设矩阵A正定，则（）420KAK0BK0CK1DK129二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A（1，3，1），B（2，1），则ATB_。12若_。KK则,0213设A，则A_。31014已知A22A8E0，则（AE）1_。15向量组_。的秩为2,10,1,32116设齐次线性方程AX0有解，而非齐次线性方程且AXB有解,则是方程组_的解。17方程组的基础解系为_。321X18向量。1,2,TT_,T则正交19若矩阵A与矩阵B相似，则X_。401XAB320二次型对应的对称矩阵是_。312321321,XXF三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求行列式D的值。267025422已知A,矩阵X满足方程AXBXDC，求X。102,012,13,1DCB23设向量组为,02,39,5635,34求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。24求有非零解并在有非零解时求出方程组的通解。齐次方程组取何值时,054321XX25设矩阵A，求矩阵A的全部特征值和特征向量。46035126用配方法求二次型的标准形，并写出相应的线性变换。321232132144,XXXF四、证明题（本大题共1小题，6分）27证明若向量组,3231212NN而线性无关30N，则向量组。1N为奇数线性无关的充要条件是NN,21全国2009年4月试题课程代码04184说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，RA表示矩阵A的铁。一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。13阶行列式中元素的代数余了式（）JIA011021A21AA2B1C1D22设矩阵A，B，P1，P2，则必有（）21A1212AA010AP1P2ABBP2P1ABCAP1P2BDAP2P1B3设N阶可逆矩阵A、B、C满足ABCE，则B1（）AA1C1BC1A1CACDCA4设3阶矩阵A，则A2的秩为（）010A0B1C2D35设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则4321,4321,向量组的秩为（）,A1B2C3D46设向量组线性相关，则向量组中（）431,A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7设是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组321,基础解系的是（）AB2,1321,CD1318若2阶矩阵A相似于矩阵B，E为2阶单位矩阵，则与矩阵EA相似的矩阵是（320）ABCD410410420142019设实对称矩阵A，则3元二次型FX1,X2,X3XTAX的规范形为（）120402ABCD2321Z23Z21Z21Z10若3阶实对称矩阵A（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（）IJAA0B1C2D3二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11已知3阶行列式6，则_32311321964AAAA32311321AA12设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，2，3，对应的代数余子式分别为3，2，1，则D3_13设A，则A22AE_0114设A为2阶矩阵，将A的第2列的（2）倍加到第1列得到矩阵B若B，则4321A_15设3阶矩阵A，则A1_320116设向量组（A,1,1）,（1,2,1）,（1,1,2）线性相关，则数A_12317已知X11,0,1T,X23,4,5T是3元非齐次线性方程组AXB的两个解向量，则对应齐次线性方程组AX0有一个非零解向量_3218设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1，1T,11，KT，则数K_19已知3阶矩阵A的特征值为0，2，3，且矩阵B与A相似，则|BE|_20二次型FX1,X2,X3X1X22X2X32的矩阵A_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知3阶行列式中元素的代数余子式A128，求元素的代数余子式A21的值IJA41502X12A21A22已知矩阵A，B,矩阵X满足AXBX，求X01223求向量组1,1,1,3T，1,3,5,1T，3,2,1,4T，2,6,10,2T的一个极大无关组，34并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出24设3元齐次线性方程组，00321321AXXA（1）确定当A为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解25设矩阵B，5043102（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P1BP26设3元二次型,求正交变换XPY,将二次型化为标准形3212321321,XXXF四、证明题（本题6分）27已知A是N阶矩阵，且满足方程A22A0,证明A的特征值只能是0或2全国2009年1月试题课程代码04184试卷说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选33或未选均无分。1线性方程组的解为（）42841035ZYXAX2,Y0,Z2BX2,Y2,Z0CX0,Y2,Z2DX1,Y0,Z12设矩阵A，则矩阵A的伴随矩阵A（）341ABCD312124312433设A为54矩阵，若秩（A）4，则秩（5AT）为（）A2B3C4D54设A，B分别为MN和MK矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（）A若（I）线性无关，则（）线性无关B若（I）线性无关，则（）线性相关C若（）线性无关，则（I）线性无关D若（）线性无关，则（I）线性相关5设A为5阶方阵，若秩（A）3，则齐次线性方程组AX0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A2B3C4D56设MN矩阵A的秩为N1，且1，2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解，则AX0的通解为（）AK1，KRBK2，KRCK12，KRDK12,KR7对非齐次线性方程组AMNXB，设秩（A）R，则（）ARM时，方程组AXB有解BRN时，方程组AXB有唯一解CMN时，方程组AXB有唯一解DR3，是齐次线性方程组AX0的三个线性无关的解向量，则方程组AX0的基础解系为（）A，B，C，D，8已知矩阵A与对角矩阵D相似，则A2（）10AABDCEDE9设矩阵A，则A的特征值为（）0136A1，1，0B1，1，1C1，1，1D1，1，110设A为NN2阶矩阵，且A2E，则必有（）AA的行列式等于1BA的逆矩阵等于ECA的秩等于NDA的特征值均为1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11已知行列式，则数A_0132A12设方程组有非零解，则数K_21KX13设矩阵A，B，则A