函数常考题型与解法

函数与导数1、 知识点2、 高考题型与考点考点一 函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.变式函数值域考点二 函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例2(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.【备考提示】：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.练习2: (2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是_【答案】【解析】本题考察函数性质，属容易题.因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.例4、例5(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为,所以8是该函数的周期;又因为,所以是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域为R,所以,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,所以,故选D.【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性，利用函数性质比较函数值的大小.【备考提示】：函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.练习3:（2011年高考全国卷文科10)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则=( )A.- B. C. D.【答案】A【解析】先利用周期性，再利用奇偶性得：考点三 函数的图象函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例4(2011年高考山东卷理科9文科10)函数的图象大致是( )【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.【名师点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力. 【备考提示】：函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.练习4:（2010年高考山东卷文科11）函数的图像大致是( )【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A.考点四 导数的概念、运算及几何意义了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例5（2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ） (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15【答案】C【解析】因为,切点为P（1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.【备考提示】：导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.练习5:（2011年高考江西卷文科4)曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）A.1 B.2 C. D.【答案】A 【解析】.考点五 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.例6设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围【解析】（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为【名师点睛】利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值 【备考提示】：导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.练习6: 设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.【解析】由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.17（2010年高考山东卷文科21）（本小题满分12分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.【解析】解：（） 当 所以 因此， 即 曲线 又 所以曲线（）因为 ， 所以 ， 令 （1） 当a=0时，g(x)=-x+1，x（0，+），所以 当x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减（2） 当a0时，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 当a=1/2时，x1= x2, g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在（0，+）上单调递减; 当0a10x(0，1)时，g(x)0,此时f(x)0,此时f(x)0，此时f(x)o，函数f(x)单调递减考点六 函数的应用建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.例7. (2011年高考山东卷文科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（I）设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此 （II）由（I）得由于当令所以 （1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时【名师点睛】本题以立体几何为背景,考查函数的实际应用,题目新颖,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力. 【易错专区】问题1：函数零点概念例1.函数的零点为 .解析:令=0,解得:或,所以该函数的零点为2【名师点睛】：函数的零点就是方程的实数根,是一个实数,而不是点.【备考提示】：准确理解概念是解答好本题的关键.问题2：零点定理例2.已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围【解析】：设，（1）当0时方程的根为1，不满足条件.（2）当0有且只有一根在区间（0,1）内又10有两种可能情形得2或者得不存在