2016年陕西省高考数学全真模拟文科试卷（四）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1集合 A=x|x 1， B=x|9，则 AB=（ ） A（ 1， 3） B 1， 3） C 1， +） D e， 3） 2若复数（ 1 2（ i 为虚数单位， a R）是纯虚数，则 a=（ ） A 1 B 1 C 0 D 1 3若 ，则 值为（ ） A 1 B C D 4设 ， 不共线的两个向量，若命题 p： 0，命题 q： 夹角是锐角，则命题 q 成立的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5直线 l： x 1=0 与圆 C： x2+ 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D与 k 的取值有关 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 7一个体积为 8 的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（ ） A 4 B 4 C 6 D 6 8等差数列 等比数列 首项都是 1，公差公比都是 2，则 b b b =（ ） A 64 B 32 C 256 D 4096 9函 数 f（ x） =零点所在的区间是（ ） A（ ） B（ ） C（ 1， e） D（ e， ） 10齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 11双曲线 的一个焦点 F 与抛物线 p 0）的焦点相同，它们交于 A， B 两点，且直线 点 F，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 2 12定义在 0， +）的函数 f（ x）的导函数为 f（ x），对于任意的 x 0，恒有 f（ x） f（ x）， a= ， b= ，则 a， b 的大小关系是（ ） A a b B a b C a=b D无法确定 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如图所示，当输入 a， b 分别为 2， 3 时，最后输出的 M 的值是 _ 14已知实数 x， y 满足 ，若目标函数 z=x y 的最大值为 a，最小值为 b，则a+b=_ 15某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的 6（编号分别为 1 6）名应试者中通过面试选聘一名甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测甲：不可能是 6 号；乙：不是4 号就是 5 号；丙：是 1、 2、 3 号中的一名；丁：不可能是 1、 2、 3 号已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 _号 16在 ， ， A=60，则 长的最大值 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和为 2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=，记数列 前 n 项和 18如图，梯形 ， C=F=2，沿 梯形起，使得平面 平面 （ 1）证明： 平面 （ 2）求三棱锥 D 体积 第 3 页（共 18 页） 19从某校高三 1200 名学生中随机抽取 40 名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为 150 分，成绩均为不低于 80 分整数），分为 7 段： 80， 90）， 90， 100），100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150 （ 1）求图中的实数 a 的值，并估计该高三学生这次成绩在 120 分以上的人数； （ 2）在随机抽取的 40 名学生中，从成绩在 90， 100）与 140， 150两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于 10 的概率 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 椭 圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 2，求这个平行四边形的面积最大值 21已知函数 f（ x） =x a a R） （ 1）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）证明：若 0 1 第 4 页（共 18 页） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的两条互相垂直的直径， E 是圆 O 上的点，过 E 点作圆 O 的切线交 延长线于 F，连结 G 点 （ 1）求证： A （ 2）若圆 O 的半径为 2 ， 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线极坐标方程为： 22，曲线 参数方程是 （ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程； （ 1）设曲线 于两点 A， B，求以线段 直径的圆的直角坐标方程 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a| |x 4|（ x R， a R）的值域为 2， 2 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）若存在 R，使得 f（ m 实数 m 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四） 参考 答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1集合 A=x|x 1， B=x|9，则 AB=（ ） A（ 1， 3） B 1， 3） C 1， +） D e， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式解得： 3 x 3，即 B=（ 3， 3）， A=1， +）， AB=1， 3） 故选： B 2若复数（ 1 2（ i 为虚数单位， a R）是纯虚数，则 a=（ ） A 1 B 1 C 0 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值 【解答】 解： （ 1 2=（ 1 2纯虚数， ，解得 a= 1 故选： D 3若 ，则 值为（ ） A 1 B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 值 【解答】 解： ，则 = = ， 故选： B 4设 ， 不共线的两 个向量，若命题 p： 0，命题 q： 夹角是锐角，则命题 q 成立的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出 第 6 页（共 18 页） 【解答】 解： ， 不共线的两个向量，若命题 p： 0，则 0夹角是锐角， 因此命题 p 是命题 q 成立的充要条件 故选： C 5直线 l： x 1=0 与圆 C： x2+ 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D与 k 的取值有关 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆 C： x2+ 的圆心 C（ 0， 0），半径 r= ，再求出圆心 C（ 0， 0）到直线l： x 1=0 的距离，从而得到直线 l： x 1=0 与圆 C： x2+ 相交 【解答】 解：圆 C： x2+ 的圆心 C（ 0， 0），半径 r= ， 圆心 C（ 0， 0）到直线 l： x 1=0 的距离 d= ， 直线 l： x 1=0 与圆 C： x2+ 相交 故选： C 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 【考点】 茎叶图 【分析】 求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以 5找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可 【解答】 解：乙组数据平均数 =（ 9+15+18+24+10+y） 5= y=8； 甲组数据可排列成： 9， 12， 10+x， 24， 27所以中位数为： 10+x=15， x=5 故选： C 7一个体积为 8 的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（ ） A 4 B 4 C 6 D 6 第 7 页（共 18 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【 分析】 由侧视图可知：底面正三角形的高为 2 ，可得底面边长 a，可得：该三棱柱的俯视图为边长为 a 的正三角形，即可得出面积 【解答】 解：由侧视图可知：底面正三角形的高为 2 ，可得底面边长 = 2=4， 该三棱柱的俯视图为边长为 4 的正三角形，其面积 = =4 故选： A 8等差数列 等比数列 首项都是 1，公差公比都是 2，则 b b b =（ ） A 64 B 32 C 256 D 4096 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 由等差数列和等比数列的通项公式可得 n 1， n 1求得 b b b=b1b5入计算即可得到所求值 【解答】 解：等差数列 等比数列 首项都是 1，公差公比都是 2， 可得 +2（ n 1） =2n 1， 2n 1=2n 1 可得 b b b =b1b512428=212=4096 故选： D 9函数 f（ x） =零点所在的区间是（ ） A（ ） B（ ） C（ 1， e） D（ e， ） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由于函数在（ 0， +）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足 f（ a） f（ b） 0 即为满足条件的区间 【解答】 解：由于函数在（ 0， +）单调递增且连续 ， ， f（ 1） =e 0 故满足条件的区间为（ 0， ） 故选 A 10齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A B C D 第 8 页（共 18 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 根据题意，设齐王的三匹马分别记为 忌的三匹马分别记为 b2，列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案 【解答】 解：设齐王的三匹马分别记为 忌的三匹马分别记为 齐王与田忌赛马，其情况有： （ （ （ 齐王获胜； （ （ （ 齐王获胜； （ （ （ 齐王获胜； （ （ （ 田忌获胜； （ （ （ 齐王获胜； （ （ （ 齐王获胜；共 6 种； 其中田忌获胜的只有一种（ （ （ 则田忌获胜的概率为 ， 故选： D 11双曲线 的一个焦点 F 与抛物线 p 0）的焦点相同，它们交于 A， B 两点，且直线 点 F，则双曲线 离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点，可得 p=2c，将 x=c 代入双曲线的方程，可得 =2p=4c，由a， b， c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 由题意可得 c= ，即 p=2c， 由直线 点 F，结合对称性可得 直于 x 轴， 令 x=c，代入双曲线的方程，可得 y= ， 即有 =2p=4c， 由 b2=得 2， 由 e= ，可得 2e 1=0， 解得 e=1+ ，（负的舍去）， 故选： C 12定义在 0， +）的函数 f（ x）的导函数为 f（ x），对于任意的 x 0，恒有 f（ x） f（ x）， a= ， b= ，则 a， b 的大小关系是（ ） 第 9 页（共 18 页） A a b B a b C a=b D无法确定 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造新函数 g（ x） = ，研究其单调性即可 【解答】 解：令 g（ x） = ，则 g（ x） = = ， 对任意 x 0，恒有 f（ x） f（ x）， 0， g（ x） 0，即 g（ x）是在定义域上是增函数， 所以 g（ 3） g（ 2），即 b a， 故选： B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如图所示，当输入 a， b 分别为 2， 3 时，最后输出的 M 的值是 3 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 M= 的值，代入 a=2， b=3，即可得 到答案 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 M= 的值， a=2 b=3， M=3 故答案为： 3 14已知实数 x， y 满足 ，若目标函数 z=x y 的最大值为 a，最小值为 b，则 a+b= 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标， 代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 10 页（共 18 页） 化目标函数 z=x y 为 y=x z， 由图可知，当直线 y=x z 过 A（ 2， 0）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 2； 当直线 y=x z 过 B（ 0， 1）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 1 a=2， b= 1，则 a+b=1 故答案为： 1 15某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的 6（编号分别为 1 6）名应试 者中通过面试选聘一名甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测甲：不可能是 6 号；乙：不是4 号就是 5 号；丙：是 1、 2、 3 号中的一名；丁：不可能是 1、 2、 3 号已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 6 号 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者 【解答】 解：入选者不能是 4 号、 5 号，因为如果是 4 号或 5 号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的； 如果入选者是 6 号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； 如果入选者是 1、 2、 3 中的一个，那么甲、 丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的； 根据题意 “只有一人的猜测对的 ”， 所以入选者是 6 号 故答案为： 6 16在 ， ， A=60，则 长的最大值 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得： = = = =2，因此 长 =a+b+c=+2=2，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出 【解答】 解：在 ，由正弦定理可得： = = = =2， b=2c=2 长 =a+b+c= +2 =2 =2 + =3 第 11 页（共 18 页） =2 + =2 B+30） + ， 0 B 120， B+30 （ 30， 150）， B+30） 长 3 故答案为： 3 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和为 2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=，记数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）求出 ，利用当 n 2 时， n 1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列 通项公式； （ ）利用 bn=，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列 前 n 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ）当 n=1 时， ， 当 n 2 时， n 1=22（ 21 2） 即： ， 数列 以 2 为公比的等比数列， n （ ）由 bn= bn=n， 则 = = ， + + =1 = 18如图，梯形 ， C=F=2，沿 梯形起，使得平面 平面 （ 1）证明： 平面 （ 2）求三棱锥 D 体积 第 12 页（共 18 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点为 M， 点为 O，连结 已知结合三角形中位线定理可得四边形 平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案； （ 2）由线面垂直的性质定理可得 平面 后把三棱锥 D 体积转化为三棱锥 B 体积求解 【解答】 （ 1）证明：如图，记 点为 M， 点为 O， 连结 由题设知， 且 且 ， 即 O 且 四边形 平行四边形， 有 又 面 面 平面 （ 2）解： 平面 平面 面 面 C， 平面 三棱锥 D 体积为 = 19从某校高三 1200 名学生中随机抽取 40 名，将他们一次数学模拟成绩 绘制成频率分布直方图（如图）（满分为 150 分，成绩均为不低于 80 分整数），分为 7 段： 80， 90）， 90， 100），100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150 （ 1）求图中的实数 a 的值，并估计该高三学生这次成绩在 120 分以上的人数； （ 2）在随机抽取的 40 名学生中，从成绩在 90， 100）与 140， 150两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于 10 的概率 第 13 页（共 18 页） 【 考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图中频率之和为 1，能求出 a，估计该校成绩在 120 分以上人数即可； （ 2）根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ 1）由 0a=1，得 a=绩在 120 分以上的人频率为 计该校成绩在 120 分以上人数为 1200 50 人， （ 2）成绩在 90， 100）与 140， 150两个分数段内学生人数分别为 2 人和 3 人 ，从中抽出2 人的基本事件总数为 10 种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于 10 的事件数为 4，所求概率为 p= = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 2，求这个平行四边形的面积最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 ，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 第 14 页（共 18 页） （ 2）设过椭圆右焦点 直线 l： x= 与椭圆交于 A， B 两点，由 ，得：（ 3） 9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值 【解答】 20（本小题满分 12 分） 解：（ 1） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 ， 依题意 ，解得 a=2， b= ， c=1， 椭圆 C 的方程为： （ 2）设过椭圆右焦点 直线 l： x= 与椭圆交于 A， B 两点， 则 ，整理，得：（ 3） 9=0， 由韦达定理，得： ， ， | = = ， = = ， 椭圆 C 的内接平行四边形面积为 S=4S ， 令 m= 1，则 S=f（ m） = = ， 注意到 S=f（ m）在 1， +）上单调递减， f（ 1） =6， 当且仅当 m=1，即 t=0 时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为 6 21已知函数 f（ x） =x a a R） （ 1）若 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）证明：若 0 1 第 15 页（共 18 页） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出 a 的范围即可； 法二：分离参数，得到 a x x 0），令 g（ x） =x x 0），根据函数的单调性求出 g（ x）的最小值，从而求出 a 的范围即可； （ 2）先求出 x 1，得到 1，（ 0 整理即可 【解答】 解：（ 1）解法 1： f（ x） = （ x 0）， 令 f（ x） 0，得 x 1；令 f（ x） 0，得 0 x 1， 即 f（ x）在（ 0， 1）单调递减，在（ 1， +）上单调递增， 可知 f（ x）的最小值是 f（ 1） =1 a 0，解得 a 1； 解法 2： f（ x） 0，即 a x x 0）， 令 g（ x） =x x 0）， 则 g（ x） = ，（ x 0）， 令 g（ x） 0，得 x 1；令 g（ x） 0，得 0 x 1， 即 g（ x）在（ 0， 1）单调递减，在（ 1， +）上单调递增， 可知 g（ x）的最小值是 g（ 1） =1，可得 a 1； （ 2）证明：取 a=1，知 f（ x） =x 1 由（ 1）知 x+1 0，即 x 1， 1，（ 0 整理得 1 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的两条互相垂直的直径， E 是圆 O 上的点，过 E 点作圆 O 的切线交 延长线于 F