利用双线性变换法切贝雪夫低通滤波器

数字信号处理课程设计报告课程设计题目：利用双线性变换法切贝雪夫低通滤波器学生姓名：学 号：专 业：班 级：指导教师： 2011 年 6月17日 1 前言1.1课程设计的目的通过课程设计，主要达到以下目的： 1.使学生增进对MATLAB的认识，加深对数字信号处理理论方面的理解。 2.使学生掌握数字信号处理中IIR和FIR滤波器的设计。 3.使学生了解和掌握用MATLAB实现IIR和FIR滤波器的设计方法、过程，为以后的设计打下良好基础。1.2课程设计的题目利用双线性变换法切贝雪夫低通滤波器2.数字滤波器2.1数字滤波器的概念数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即12抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语音信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。2.2数字滤波器的分类数字滤波器按照不同的分类方法，有许多种类，但总起来可以分成两大类。一类称为经典滤波器，即一般的滤波器，特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。例如，输入信号中含有干扰，如果信号和干扰的频带互不重叠，可滤除干扰得到纯信号。但对于一般滤波器如果信号和干扰的频带互相重叠，则不能完成对于干扰的有效滤除，这时需要采用另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。一般数字滤波器从功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分为低通，高通，带通和带阻等滤波器。它们的理想幅度特性如图2.2.1所示。这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的，我们只能按照某些准则设计滤波器，使之尽可能逼近它，这些理想滤波器可作为逼近的标准用。另外，需要注意的是数字滤波器的传输函数都是以2的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器是有区别的。 数字滤波器从实现的网路结构或者从单位脉冲响应分类，可以分为无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。它们的系统函数分别为： (2.1.1) (2.1.2.)(2.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR滤波器函数，（2.1.2）式中的H(z)称为（N-1）阶FIR滤波器。w20-2低通w20-2高通w20-2带通w20-2带阻图2.1.1 理想低通，高通带通，带阻滤波器的幅度特性3.IIR数字滤波器的设计3.1 IIR数字滤波器的设计步骤IIR滤波器的设计一般有两种方法。第一种方法是利用模拟滤波成熟的理论和设计方法来设计IIR数字滤波器。另一种是IIR的直接设计法。借助模拟滤波器的设计方法来设计IIR滤波器相对比较容易些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅。设过程是：按照技术要求设计一个模拟滤波器，得到模拟低通滤波的传输函数，再按一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系数函数。这样设计的关键问题就是找这样的转换关系，将s平面上的转换成z平面上的。为了保证转换后的稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：（1） 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。我们知道，模拟滤波器因果稳定要求传输函数的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射z平面的单位圆内部。（2） 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。将传输函数从s平面转换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。因课程设计要求这里只讨论双线性变换法3.2双线性变换法3.2.1设计原理切贝雪夫低通逼近：切贝雪夫滤波器的幅度特性是在一个频带中具有等波纹特性：（1）切贝雪夫I型：通带中是等波纹的，阻带是单调的（2）切贝雪夫II型：通带中是单调的，阻带是等波纹的脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图3.2.1所示。图3.2.1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现 （式2-1）式中,T仍是采样间隔。当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（2-1）写成 （式2-2）将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，则得 （式2-3）再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面 （式2-4）从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：（式2-5）（式2-6）式（2-5）与式（2-6）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（2-1）与式（2-5）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ej，可得（式2-7）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=+j代入式（2-12），得 （式2-8）因此 （式2-9）由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。3.2.2双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（2-5）所示，重写如下： （式2-10）上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系。由图3.2.2看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图3.2.2双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（2-7）。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图3.2.3所示。图3.2.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。4.基MATLAB的IIR滤波器的设计4.1低通滤波器的设计设计低通滤波器，通带截止频率为700Hz,阻带截止频率为800Hz,通带最大衰减量为1Db,阻带最小衰减为50dB，采样频率为2000Hz.4.1.1 切比雪夫型程序Wp=2*pi*700;Wp1=2*pi*Wp;Ws=2*pi*800;Ws1=2*pi*Ws;Rp=1;Rs=50;Fs=2000;%选择滤波器的最小阶数N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s);Z,P,K=cheb2ap(N,Rs);A,B,C,D=zp2ss(Z,P,K);%低通到低通的转变At,Bt,Ct,Dt=lp2hp(A,B,C,D,Wn);num1,den1=ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);%双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波器num2,den2=bilinear(num1,den1,Fs);%绘制幅频响应特性曲线H,W=freqz(num2,den2);subplot(2,1,1)plot(W*Fs/2/pi,20*log10(abs(H);grid;xlabel(频率/Hz);ylabel(幅值(db);5课程设计小结通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终于找出了原因所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。实践出真知，通过亲自动手制作，使我们掌握的知识不再是纸上谈兵。过而能改，善莫大焉。在课程设计过程中，我们不断发现错误，不断改正，不断领悟，不断获取。最终的检测调试环节，本身就是在践行“过而能改，善莫大焉”的知行观。这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很多问题，最后在老师的指导下，终于游逆而解。在今后社会的发展和学习实践过程中，一定要不懈努力，不能遇到问题就想到要退缩，一定要不厌其烦的发现问题所在，然后一一进行解决，只有这样，才能成功的做成想做的事，才能在今后的道路上劈荆斩棘，而不是知难而退，那样永远不可能收获成功，收获喜悦，也永远不可能得到社会及他人对你的认可！课程设计诚然是一门专业课，给我很多专业知识以及专业技能上的提升，同时又是一门讲道课，一门辩思课，给了我许多道，给了我很多思，给了我莫大的空间。同时，设计让我感触很深。使我对抽象的理论有了具体的认识。此次设计也让我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及时请教或上网查询，只要认真钻研，动脑思考，动手实践，就没有弄不懂的知识，收获颇丰。东华理工大学软件学院课程设计评分表学生姓名： 班级： 学号：课程设计题目：利用双线性变换法切贝雪夫低通滤波器项目内容满分实 评选题能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求（5人一题）10工作量适中，难易度合理10能力水平能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力10理论依据充分，数据准确，公式