浙江省杭州市2017届高三上第一次教学质量检测数学试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|2x 0， B=x| 1 x 2，则（ B=（ ） A x| 1 x 0 B x|0 x 2 C x| 1 x 0 D x| 1 x 0 2若 2，则 ） A B C 2 D 2 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C D 4命题： “ R， 0 或 否定是（ ） A x R， 0 且 x x R， 0 或 x R， x +1 0 且 R， x +1 0 或 设 x，满足 f（ a） f（ b） f（ c） 0（ 0 a b c），若函数 f（ x）存在零点 （ ） A a B a C c D c 6设点 P 为有公共焦点 椭圆 M 和双曲线 的一个交点，且 ，椭圆M 的离心率为 曲线 的离心率为 ） A B C D 7在 ， C 是直 角， ， ， 内切圆交 点 D， E，点 P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若 =x +y ，则 x+y 的值可以是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 1 B 2 C 4 D 8 8记 各项均为正数的等差数列 前 n 项和，若 1，则（ ） A Sm+n B Sm+n C Sm+n D Sm+n 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 . 9设 a， b，则 ea+ （其中 e 为自然对数的底数） 10设函数 f（ x） = x+1）； g（ x） = ，则 g（ 2） = ；函数 y=g（ x） +1 的零点是 11设实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=2x+y，则 z 的最大值等于 ， z 的最小值等于 12设直线 m+1） x（ m 3） y 8=0（ m R），则直线 过定点 ；若过原点作直线 当直线 距离最大时，直线 方程为 13如图， 等腰直角三角形， C， 0，且 将 C 的边翻折，设点 A 在平面 的射影为点 M，若点 M 在 部（含边界），则点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 时，直线 D 所成的角的余弦值等于 14设 x 0， y 0，且（ x ） 2= ，则当 x+ 取最小值时， = 第 3 页（共 20 页） 15已知 ， 是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集 M=K|= ，当 M 时，若对于任意的 r 2，不等式 | | c| |恒成立，则实数 c 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分 明过程或演算步骤 .） 16在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ， ， （ 1）求 C； （ 2）若 ，求 a， b， c 17如图，在三棱柱 ， 平面 面 平面 （ 1）求证： （ 2）设直线 平面 成的角为 ，二面角 A 的大小为 ，试比较 和 的大小关系，并证明你的结论 18设数列 足 ， =（ n N*） （ 1）证明： 3； （ 2）设数列 的前 n 项和为 明： 3 19设点 A， B 分别是 x， y 轴上的两个动点， 若 = （ 0） （ ）求点 C 的轨迹 ； （ ）过点 D 作轨迹 的两条切线，切点分别为 P， Q，过点 D 作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交 点 K，问是否存在实数 t，使得 + = 恒成立，并说明理由 20设二次函数 f（ x） =bx+c（ c b a），其图象过点（ 1， 0），且与直线 y= a 有交点 （ 1）求证： ； 第 4 页（共 20 页） （ 2）若直线 y= a 与函数 y=|f（ x） |的图象从左到右依 次交于 A， B， C， D 四点，若线段构成钝角三角形，求 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|2x 0， B=x| 1 x 2，则（ B=（ ） A x| 1 x 0 B x|0 x 2 C x| 1 x 0 D x| 1 x 0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 A 以及它的补集，然后求解交集即可 【解答】 解：集合 A=x|2x 0=x|x 0 或 x 2， B=x| 1 x 2，则 x|0 x 2 （ B=x|0 x 2 故选： B 2若 2，则 ） A B C 2 D 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由已知可得 ，两边平方，整理可得： 5+4 ，解得： ，可求 用同角三角函数基本关系式即可求值 【解答】 解： 2， ， 两边平方得： +4 理可得： 5+4 ，解得： ， 解得： （ ） + = ， = = 故选： A 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） 第 6 页（共 20 页） A B 2 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直 该几何体的侧面 面积 = = 故选： D 4命题： “ R， 0 或 否定是（ ） A x R， 0 且 x x R， 0 或 x R， x +1 0 且 R， x +1 0 或 考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题： “ R， 0 或 否定为： x R， 0 且 x 故选： A 5设 x，满足 f（ a） f（ b） f（ c） 0（ 0 a b c），若函数 f（ x）存在零点 （ ） A a B a C c D c 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 确定函数为增函数，进而可得 f（ a）、 f（ b）、 f（ c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案 【解答】 解： y=2x 在（ 0， +）上 是增函数， y=x 在（ 0， +）上是减函数， 第 7 页（共 20 页） 可得 x 在（ 0， +）上是增函数， 由 0 a b c，且 f（ a） f（ b） f（ c） 0， f（ a）、 f（ b）、 f（ c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的 即 f（ a） 0， 0 f（ b） f（ c）；或 f（ a） f（ b） f（ c） 0 由于实数 函数 y=f（ x）的一个零点， 当 f（ a） 0， 0 f（ b） f（ c）时， a b，此时 B 成 立 当 f（ a） f（ b） f（ c） 0 时， c a 综上可得， B 成立 故选： B 6设点 P 为有公共焦点 椭圆 M 和双曲线 的一个交点，且 ，椭圆M 的离心率为 曲线 的离心率为 ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为： =1， =1（ 0， i=1， 2）， c 0设 |m， |n可得 m+n=2n m=2于 1，在 ，由余弦定理可得：（ 2c） 2=m2+2，结合 简整理即可得出 【解答】 解：如图所示， 设椭圆与双曲线的标准方程分别为： =1， =1（ 0， b1，i=1， 2）， c 0 设 |m， |n 则 m+n=2n m=2 解得 m=n=a1+ 由 ，在 ， 由余弦定理可得：（ 2c） 2=m2+2， 4 2+（ a1+2 （ a1+ 化为 5c2= + =5 第 8 页（共 20 页） ， 故选： C 7在 ， C 是直角， ， ， 内切圆交 点 D， E，点 P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若 =x +y ，则 x+y 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 求出内切圆半径，根据三点共线原理得出 x+y 分别对于 1， 2， 4， 8 时 P 点的轨迹，从而判断出答案 【解答】 解：设圆心为 O，半径为 r，则 3 r+4 r=5，解得 r=1 连结 当 x+y=1 时， P 在线段 ，排除 A； 在 取点 M，在 取点 N，使得 结 = + 则点 P 在线段 时， + =1，故 x+y=2 同理，当 x+y=4 或 x+y=8 时， P 点不在三角形内部排除 C， D 故选： B 第 9 页（共 20 页） 8记 各项均为正数的等差数列 前 n 项和，若 1，则（ ） A Sm+n B Sm+n C Sm+n D Sm+n 【考点】 等差数列的性质 【分析】 举出符合条件的数列，采用验证得答案 【解答】 解：由 各项均为正数的等差数列 前 n 项和， 可采用取特殊数列方法验证排除，如：数列 1， 2， 3， 4， 5， 6， 取 m=1， n=1，则 2=3， 4=10， Sm+n=， 20 36= =Sm+ n 故选： B 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分，共 36 分 . 9设 a， b，则 ea+5 （其中 e 为自然对数的底数） 【考点】 对数的运算性质 【分析】 直接利用导数的运算法则化简求解即可 【解答】 解： a， b，则 ea+eb=+3=5 故答案为： 5 10设函数 f（ x） = x+1）； g（ x） = ，则 g（ 2） = 函数y=g（ x） +1 的零点是 1 e 【考点】 函数零点的判定定理；函数的值 【分析】 g（ 2） =f（ 2），令 g（ x） = 1，对 x 进行讨论，列方程组解出 x 即可 【解答】 解： 当 x 0 时， g（ x） =f（ x）， g（ 2） =f（ 2） = 令 y=g（ x） +1=0 得 g（ x） = 1， 或 ， 第 10 页（共 20 页） 解得 x=1 e 故答案为： 1 e 11设实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=2x+y，则 z 的最大值等于 2 ， z 的最 小值等于 0 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线 y= 2x+z 过 O 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 0； 当直线过 A（ 1， 0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 2 故答案为： 2， 0 12设直线 m+1） x（ m 3） y 8=0（ m R），则直线 过定点 （ 2， 2） ；若过原点作直线 当直线 距离最大时，直线 方程为 x+y=0 【考点】 恒过定点的直线；点到直线的距离公式 【分析】 直线 m+1） x（ m 3） y 8=0（ m R），化为： m（ x y） +（ x+3y 8） =0，可得 ，解出可得直线 过定点（ 2， 2）过原点作直线 设 程为：（ m+1） x（ m 3） y=0，经过两点（ 0， 0）与（ 2， 2）的直线方程为： y=x则当直线 距离最大时， 直线 y=x 垂直即可得出 【解答】 解： 直线 m+1） x（ m 3） y 8=0（ m R），化为： m（ x y） +（ x+3y 8） =0，可得 ，解得 x=y=2， 则直线 过定点（ 2， 2） 过原点作直线 设 程为：（ m+1） x（ m 3） y=0， 则经过两点（ 0， 0）与（ 2， 2）的直线方程为： y=x 则当直线 距离最大时， 直线 y=x 垂直 第 11 页（共 20 页） 直线 方程为 x+y=0 故答案分别为：（ 2， 2）； x+y=0 13如图， 等腰直角三角形， C， 0，且 将 C 的边翻折，设点 A 在平面 的射影为点 M，若点 M 在 部（含边界），则点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 时，直线 成的角的余弦值等于 【考点】 异面直线及其所成的角；轨迹方程 【分析】 点 A 的射影 M 的轨迹为 中位线，可得其长度；当点 M 位于线段 时，取 点为 N， 点为 P，可得 其补角即为直线 成的角，由已知数据和余弦定理可得 【解答】 解：由题意可得点 A 的射影 M 的轨迹为 中位线，其长度为 ； 当 点 M 位于线段 时， 平面 点为 N， 点为 P， 其补角即为直线 成的角， 则由中位线可得 ， ， 又 边 中线，故 ， 在 ，由余弦定理可得 = ， 故答案为： ； 第 12 页（共 20 页） 14设 x 0， y 0，且（ x ） 2= ，则当 x+ 取最小值时， = 12 【考点】 基本不等式 【分析】 当 x+ 取最小值时，（ x+ ） 2 取最小值，变形可得（ x+ ） 2= + 由基本不等式和等号成立的条件可得 【解答】 解： x 0， y 0， 当 x+ 取最小值时，（ x+ ） 2 取最小值， （ x+ ） 2=+ ，（ x ） 2= ， = + ， （ x+ ） 2= + 2 =16， x+ 4， 当且仅当 = 即 x=2y 时取等号， + =16， + =16， =16 =12， 故答案为： 12 第 13 页（共 20 页） 15已知 ， 是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集 M=K|= ，当 M 时，若对于任意的 r 2，不等式 | | c| |恒成立，则实数 c 的最小值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 = + ，可得 A， B， C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得 平分线，由角平分线的性质定理可得 = =r，可得 K 的轨迹为圆，求得圆的直径与 关系，即可得到所求最值 【解答】 解：由 = + ， 可得 A， B， C 共线， 由 = ， 可得 | | | 即有 则 平分线， 由角平分线的性质定理可得 = =r， 即有 K 的轨迹为圆心在 的圆， 由 |r|可得 | ， 由 |r|可得 | ， 可得 | + = |= | 由 r 在 r 2 递增，可得 r 2 = ， 即有 | | 即 ，由题意可得 c ， 第 14 页（共 20 页） 故 c 的最小值为 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分 明过程或演算步骤 .） 16在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ， ， （ 1）求 C； （ 2）若 ，求 a， b， c 【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公 式化简整理求的 值，进而求得 C （ 2）根据 求得 值，进而利用题设中 和正弦定理联立方程组，求得 a， b 和 c 【解答】 解：（ 1）由 得 则有 = 得 即 、 （ 2）由 推出 ；而 ， 即得 ， 则有 解得 17如图，在三棱柱 ， 平面 面 平 面 （ 1）求证： 第 15 页（共 20 页） （ 2）设直线 平面 成的角为 ，二面角 A 的大小为 ，试比较 和 的大小关系，并证明你的结论 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）过点 A 在平面 作 D，推导出 面 而 侧面 此能证明 （ 2）连结 出 直线 平面 成的角， 二面角 A 的平面角，从而 ， ，由此能求出 【解答】 证明：（ 1）过点 A 在平面 作 D， 面 面 1B， 面 面 平面 D=A， 侧面 解：（ 2）连结 （ 1）知 直线 平面 成的角， 又 二面角 A 的平面角， 设 ， ， 在 ， 在 ， ， ， 18设数列 足 ， =（ n N*） （ 1）证明： 3； 第 16 页（共 20 页） （ 2）设数列 的前 n 项和为 明： 3 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）数列 足 ， =（ n N*）可得 0，变形 =1，利用基本不等式的性质即可证明； （ 2）由（ 1）可得 an 可得 可得当 n 2 时， =2 即可证明 【解答】 证明：（ 1） 数列 足 ， =（ n N*） 0， =+1 +1=3，当且仅当 时取等号， 3 （ 2）由（ 1）可得 an 当 n 2 时， =2 2 =2 =3 1， 3 19设点 A， B 分别是 x， y 轴上的两个动点， 若 = （ 0） （ ）求点 C 的轨迹 ； （ ）过点 D 作轨迹 的两条切 线，切点分别为 P， Q，过点 D 作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交 点 K，问是否存在实数 t，使得 + = 恒成立，并说明理由 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ ）由题意可知， C 在线段 延长线上，设出 A（ m， 0）， B（ 0， n），可得m2+，再设 C（ x， y），由向量等式把 m， n 用含有 x， y 的代数式表示，代入 m2+可得点 C 的轨迹 ； 第 17 页（共 20 页） （ ）分别设出 E， F， K 的横坐标分别为： D（ s， t），可得直线 方程为： ，再设直线 m 的方程： y=kx+b，得到 t=ks+b，进一步求得 立直线方程与椭圆 m 的方程，利用根与系数的关系得到 xE+得为定值 2 得答案 【解答】 解：（ ）由题意可知， C 在线段 延长线上， 设 A（ m， 0）， B（ 0， n），则 m2+， 再设 C（ x， y）， 由 = （ 0），得（ x m， y） =（ m， n）， ，得 ， 代入 m2+，得 ； （ ）设 E