圆中常作哪些辅助线

圆中常作哪些辅助线 ? 通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下： 弦与弦心距，密切紧相连 . 直径对直角，圆心作半径 . 已知有两圆，常画连心线 . 遇到相交圆，连接公共弦 . 遇到相切圆，作条公切线 . “有点连圆心，无点作垂线 .” 切线证明法，规律记心间 . 一、作弦心距 常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距乊间的关系定理及推论 与弦心距，密切紧相连 .” . 例 是 O 的直径 , O 于 P 点，弦 交于点 M，求证： N=2分析：要证明 N=2即证明 O， 过 O 点作 C，根据垂经定理 C，只需证明 C=由 。 ，“三点定型”法可判断需证明 t证明 : 过圆心 O 作 C， 1 00. 又 t，即 C. 1 N=2二、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂 直”都与圆的半径有关 例 2已知： ， B=900， O 是 一点，以 O 为圆心，以 半径的圆切 D 点，交 E 点， ， . 求证 :长 . 分析： D 为切点，连结 O= 半径 r，在 根据勾股定理或 出 证明 : 连结 D, 00. O 点 , B=900. O 的切线 , B 设 B=x,O=y 在 ， ， (1+y)2=22+ y=23在 ， (2+x)2=(1+23+23)2+x=3 . 三、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时， 公共弦像一把A B C D E O C A B D E O 2 O 1 P “钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦 .” 。 例 3已知：如图， 交于点 A 和 B， 延长线交 点 C， 延长线分 别和 交于点 D、 E，求证： E. 分析： 相交的两圆，作公共弦 辅助线 . 证明：连结 P 点 ， 2 A B 且 2 的平分 B 点 线段 距离相等 E. 四、作连心线 两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点 沟通圆心距、公共弦、两圆半径乊间的关系 已知有两圆，常画连心线 .” . 例 4已知：如图， A 和 B 外切于 P 点， A 的半径为 r 和 B 的半径为 3r, A、 B 的外公切线， C、 D 为切点， 求：（ 1） 长 ；（ 2） D 及弧 围成的阴影部分的面积 . 解：连结 A 和 B 外切于 P 点， P 点 A、 B 的外公 切线， C、 D 为切点， A 点作 E，则四边形 矩形 . C= r， r 在 ， P+PB=r+3r=4r， r 2416 2222 . 3 r . 142 B=600. 00+300=1200. S 阴影 =S 梯形 形 形 4 3 31 4 3 611） r 2. 五、作公切线 分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如本题中，所作的内公切线 到沟通两圆的作用 切两圆过切点的公切线是常用辅助线 . 例已知： 切于点 A，是 公切线，、为切点 . 求证： 证明：过切点作公切线交于点， 是 公切线， 180 0. 90 0. O 1 O 2 A C B P M N 六、切线判定分两种：公共点未知 作垂线 、公共点已知 作半径 切线的判定定理是：“经过半径的外端 ,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（ 1）直线经过半径的外端，（ 2）直线垂直于这条半径，所以 ,在证明直线是切线时 , 往往需要通过作恰当的辅助线 ,才能顺利地解决问题 1无点作垂线 需证明的切线，条件中未告乊与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径 . 例 6已知：如图， 半圆的直径， A， B，若 90 半圆的切线 . 分析： O 没有交点，“无点作垂线”，过圆心 O 作 需证 于圆的半径 O 为半径，若能证 而 ，如何证明 ？ 证明：作 E 点，取 中点 F，连结 又 90 0. D 1=3. D, 梯形的中位线 . D . 2=3. . 1=2. 角平分线 . E=圆的半径 . 半圆的切线 . 2有点连圆心 想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直 . 例 7 O 的直径， O 的切线，切点为 B， D，求证： O 的切线 . 分析： D 在 O 上，“有点连圆心”，连结 明 C 即可 . 证明：连结 D C， O O 的切线，切点为 B 00， 00，又 D 在 O 上， O 的切线 . 课后冲浪 一、证明解答题 16已知： P 是 O 外一点， 别交 O 于 A、 B 和 C、 D，且 分 17如图， ， C=90，圆 O 分别与 切于 M、 N，点 O 在 ，如果 5 ， 0 ，求圆 O 的半径 . 18已知： 对角线 于 O 点， O 于 E 点 和O 相切 . 19如图，学校 A 附近有一公路 拖拉机从 P 点出发向 向行驶，已知0， 60 米，假使拖拉机行使时， A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向 向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由 8 千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ 20如图， A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， ， 圆 O 的切线， B 是切 点，弦 A，连结 阴影部分的面积 . . . . A C B M N o 21如图，已知 O 的直径， 弦， 足为 E,： F. 22如图， 的一点，以 圆心， 半径作一个圆交 C，D直线 别交 延长线和 点 A 与点 B连结 求证： C；设 半径为 r，求 长连 证：四边形 菱形；当 r=2 时，求菱形 23已知：如图， O 的直径， O 的切线，连 O C D O 1 O 2 B . .