中值定理的分析性质研究[文献综述]

（2016届）毕业论文（设计）文献综述题目中值定理的分析性质研究学院数理与信息工程学院专业信息与计算科学班级信计122学号201259295202姓名董晨文指导教师舒伟仁开题日期2015年12月23日一、前言部分长期以来，线性代数与矩阵理论一直是许多数学分支的基本工具。同时，它们自身也具有丰富的研究课题，相信每一个从事数学甚至其他自然科学的学者都不会怀疑矩阵的重要性。它和微积分可以算是数学的两块基石，大致可以说，整个近代数学的大厦是建立在这两大基石之上的。与微积分不同，矩阵理论在不断地发展，矩阵论不仅在各数学学科，同时也在许多自然科学领域的分析和研究中发挥着重要作用，在系统与控制理论中更是如此。此外，矩阵还是数值计算的基础，在计算机时代，它起着一种不可替代的核心作用。但是，矩阵也不是万能的，目前常用的一般矩阵乘积是基于线性代数变换，它必须要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，受到了矩阵行数和列数的限制。因而，从本质上讲不适合于非线性计算和分析。实际上，标准的线性代数和矩阵分析技术在非线性计算和分析中已显得力不从心,探究矩阵的特殊乘积，是解决多线性及非线性问题的关键，在非线性与多线性计算和分析中有着非常重要的意义和广泛的应用前景。从线性代数知道，矩阵是是处理1维或2维数组的有力工具，特别是在考虑线性映射或线性函数时，矩阵是处理这些问题的完美手段。当我们考虑2维数组时，用矩阵表示的双线性型或二次型是最有力的工具。但在考虑高维数组时，矩阵形式并不方便，一般多线性映射也很难用矩阵表示，而考虑非线性问题时，多线性映射是很重要的，因为多项式就可以由多线性映射组成。因此这里引入三种矩阵特殊乘积，分别是KRONECKER积、HADAMARD积，以及矩阵的半张量积，它们都克服了矩阵普通乘积行数和列数的限制，使得多线性映射很容易用矩阵处理，而多线性映射可以逼近一般非线性映射，与目前非线性及多线性计算和分析中常用的其他方法相比，极大地简化了所需的工作。1、矩阵的KRONECKER积是任意两个矩阵之间的乘积运算，最初起源于群论，物理上用来研究粒子理论，现在它已成功地应用到矩阵论的各个领域。它在实、复运算上没有区别，因此以复矩阵进行阐述。它的定义是设，则称如下的MNIJAACPQIJBBC分块矩阵11212212NMPNQMNBAAAB为与的KRONECKER积（克罗内克积），也称为直积或张量积，简称为K积，简记为AB。即是一个块的分块矩阵，最后是一个矩阵。IJMPNQABAABMNMPNQ由上述定义有PMQNIJBAC显然，与是同阶矩阵，但一般地，即矩阵的KRONECKERABB积不满足交换律。不过对于单位矩阵，有。MINMNMNIII2、HADAMARD乘法远比矩阵普通乘法简单，其基本概念为设，,MNIJIJAABBC用表示和的对应元素相乘而得到的矩阵AB11212212NMNMMNABABABC称为和的HADAMARD积（阿达马积），也称为SCHUR积（舒尔积），记为。ABHADAMARD积的可相乘条件是只要两个矩阵有相同的行数和相同的列数。显然，如此乘积与通常矩阵乘积不同，它是可交换的，即AB3、矩阵的半张量积是一种新的矩阵乘法，它将普通矩阵乘法推广到前阵列数与后阵行数不等的情况。它可以定义为设，且，即是的,MNPQMNPPN和最小公倍数，定义的半张量积为AB和NPAIBI我们将上式称为矩阵左半张量积,通常说矩阵半张量积均指左半张量积。容易看出，上式是普通矩阵乘法的推广，因为当时，它就是普通矩阵乘法。其实，这种推广可P以有很多。如混合半张量积NPABII或NPABIB还有一个有几何意义的推广NPII同时，半张量积是一种能让每个数组变量自动找到它所对应的数据的层次的指针的运算规则，它的一般定义如下设是一个维行向量，是一个维列向量，将分割成个等长的块TNPXPTP，它们每一个都是维行向量，定义半张量积为1,P11PINTXR设是一个行向量，是一个列向量，那么，12,SXX12,TTYY的半张量积为Y和T,NXR设，如果的因子或者的因子，利用、两式可,MNPQABMN是P是定义111212212QMMMQROWCLROWACLBROWACLBALBLL通过以上阐述，我们对于KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积三种矩阵特殊乘积有了一定的了解。在论文中我主要就这三个方面进行展开，就它们各自的基本概念、性质、应用等方面的相关知识进行研究、收集、整理和罗列，论述其在多线性和非线性计算和分析中发挥的重要作用。二、主题部分在公元前100年出版的九章算术一书被用来求解线性方程组，这里使用的方阵实际上就是矩阵。一言以蔽之，矩阵是那样的初等和自然，所以在历史的长河中，许许多多数学家都研究过它。粗略地描述一下矩阵理论在实际应用中的作用矩阵理论可称为高等算术，几乎每一个工程应用都涉及到矩阵，这是因为要处理带有许多部件的复杂系统，必须有一种数学工具，它能将这些部件结合在一起，而矩阵的方法正好可以达到这一目的。在电网络、结构理论、力学系统、经济学研究等中均可找到矩阵理论的精彩应用。当然，矩阵也不是万能的，随着科学和技术的发展，多线性及非线性成为科学研究及技术开发中亟待解决的关键问题。但标准的线性代数和矩阵分析技术在非线性计算和分析中已显得力不从心，目前常用的一般矩阵乘积是基于线性代数变换，因而，从本质上讲不适合于非线性计算和分析。而矩阵的特殊乘积KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积正好可以克服矩阵普通乘积行数与列数的限制，使得多线性映射很容易用矩阵处理，而多线性映射可以逼近一般非线性映射。因此，矩阵的特殊乘积是解决多线性及非线性问题的关键，在非线性计算和分析中有着非常重要的意义和广泛的应用前景。其中，矩阵的KRONECKER积是任意两个矩阵之间的乘积运算，最初起源于群论，物理上用来研究粒子理论，现在它已成功地应用到矩阵论的各个领域。ANDREWS与KANE证明，KRONECKER积表示可以导致多种离散酉变换的有效计算机实现，并且KRONECKER积可以利用矩阵分解定义。FINO与ALGAZI证明，一大类离散酉变换都可以利用广义KRONECKER积（具有矩阵置换）即元素重排的递推公式产生。另外，KRONECKER积还可用于快速酉变换的设计、数理统计、线性系统理论、信号处理与系统理论中的随机静态分析、随机向量和随机向量过程分析、滤波器组和HADAMARD变换的分析等。KRONECKER积最直接的应用是求解矩阵方程组，最具代表性的应用莫过于在信号处理与系统理论中的多变元时间序列的高阶统计量理论与方法的应用。可以这样说，KRONECKER积乃是多变元时间序列的高阶统计量分析的基本数学工具之一。正是由于KRONECKER积的使用才使得多变元时间序列的高阶累积量、高阶谱（多谱）和描述输入、输出于多信道系统冲激响应三者关系的数学公式变得非常的简洁，直观上与单变元情况下的对应表示极其相似。如今已有众多文献研究、介绍KRONECKER积及其应用。文献1主要介绍了柯西中值定理“中值点“的分析性质，给出文献2详细并侧重的描述了KRONECKER积在各种类型的线性矩阵方程中的应用。如矩阵方程等，利用KRONECKER积和矩阵的拉直（向量AXBCXBCA、化）可出上述矩阵方程的可解性及其解法。文献3由的次多项式，给出了的广义KRONECKER积，YX,PPJIJIYXAYXF0,YXF,并得到的特征值的分别，推广了已知的一些结果。BAF,文献4从KRONECKER积的基本性质、KRONECKER积的特征值、KRONECKER积的三个方面介绍KRONECKER积的基本性质，并用它来求解线性矩阵方程和微分方程。文献5、6也详细论述了KRONECKER积的相关概念以及它在矩阵方程和矩阵微分运算中的应用。文献7总结了KRONECKER乘积的性质，综述了对KRONECKER乘积在图像处理中的最新进展和应用，分析了矩阵的KRONECKER乘积分解问题和目前发展，评述了近20年KRONECKER乘积在图像处理中存在的问题。文献8主要研究矩阵的KRONECKER积的几个性质，特别是不变性，最后还给出实数域上两个方阵的KRONECKER积正定的一个充分条件。文献9给出了块KRONECKER积与KRONECKER积的关系，并得到关于部分置换矩阵的几个性质。然后利用这关系得到一些关于块KRONECKER积的矩阵不等式。文献10对拒阵KRONECKER积分解进行研究，通过拒阵的秩，行展开等方法，给出了将一个矩阵分解为两个矩阵KRONECKER积的若干条件。文献11在已有的KRONECKER积性质的基础上给出了正规矩阵、对角矩阵、HERMITE矩阵、相合矩阵、非负矩阵、M矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等特殊矩阵的KRONECKER积的性质，还得到了KRONECKER积的奇异值分解的运算方法。另外，证明了KRONECKER积的指数矩阵函数的运算性质与乘积矩阵的KRONECKER积幂的运算性质，最后还推出了KRONECKER积的微分运算法则。HADAMARD积远比矩阵普通乘积简单，但目前主要还是数学家的一个纯理论课题，未被广泛地了解。众多国内外研究表明HADAMARD积出现在广泛而多样的方方面面之中，诸如周期函数卷积的三角矩阵、积分方程核的积、偏微分方程中的弱极小原理，概率论中的特征函数、组合论中的结合方案研究、算子理论中关于无限矩阵的HADAMARD积等。尤其在非线性计算和分析中具有十分重要的作用，是描述非线性数值计算问题强有力的工具。文献12讨论了矩阵HADAMARD乘积的一些性质，分别用秩1分解法和KRONECKER乘积法给出了的证明。RANKRANKABB文献13研究了矩阵HADAMARD乘积的元素和的性质，得到一系列新的结果。发现两个矩阵不同,是因为它们之间存在夹角和大小的差异。找到了矩阵垂直的充要条件，矩阵HADAMARD乘积的元素和与此矩阵的行列式的关系。HADAMARD矩阵在光谱学，编码理论及量子计算等方面均有应用。文献14考察HADAMARD矩阵的有关性质，并用于讨论量子计算中的有关问题。本文论及的HADAMARD矩阵特指由SYLVESTER方法构造的阶的矩阵。2N文献15给出了HADAMARD矩阵的定义、性质以及HADAMARD矩阵的定理及构造，同时介绍了邻接矩阵得出了阶HADAMARD矩阵又是图的邻接矩阵。48、文献16利用矩阵HADAMARD乘积，提出了一类新型控制模型。这种模型可以很好地描述包括系统关联直接调节与传统反馈控制在内的系统关联结构补偿问题。在该模型下，控制设计问题可归结为一个包含HADAMARD矩阵乘积的双线性矩阵不等式可解性问题。这种新的控制模型在许多实际领域，尤其是在应急控制中的阻隔控制问题的研究中将具有十分重要的作用。文献1719描述了HADAMARD积的相关定义和HADAMARD积的推广。以下文献是对KRONECKER积和HADAMARD积的共同描述文献20通过一个关于KRONECKER积矩阵不等式，并得到一些矩阵不等式，SCHUR积作为一个基本工具，推导出一些关于KRONECKER积和HADAMARD积的不等式。文献21简要描述了HADAMARD积和KRONECKER积的定义及性质。文献22从克罗内克（KRONECKER）积、阿达马（HADAMARD）积、反积与非负矩阵的阿达马积、克罗内克积应用举例四个方面简要介绍了矩阵的KRONECKER积和HADAMARD积相关概念和应用。文献23全面系统的阐述了矩阵的特殊求和与乘积矩阵的直和、直积（HADAMARD积）与KRONECKER积，特别地，还重点介绍了HADAMARD积在盲信号分离中的应用和KRONECKER积在多信道信号处理中的应用。文献24详细介绍了KRONECKER积和HADAMARD积的基本概念、性质、结论等相关理论，并描述了FAN积及其有关非负矩阵的HADAMARD积的相关定理与证明，使得读者对于KRONECKER积和HADAMARD积有了一个较深的了解。矩阵的半张量积是一种统一的高维数组乘法，并且它与普通矩阵乘法相容。高维数据在计算机内不必排成立方阵或更高维空间阵的形式，它实际上是用“指针”、“指针的指针”、“指针的指针的指针”等来标识数据的层次结构。半张量积就是这样一种能让每个数组变量自动找到它所对应的数据的层次的指针的运算规则，从而有效地处理多维数组的问题。任意两个矩阵的半张量积，当两矩阵满足等维数条件时，这种乘法与普通乘法一致；当两矩阵满足倍维数条件时，将矩阵乘法推广到任意两个矩阵。文献25和文献26两本书，比较系统全面地介绍了矩阵的半张量积的理论与应用，作为一种新型的矩阵乘积，书中指出半张量积具有重大的发展前景与生命力，它将普通矩阵乘积推广到任意两个矩阵，同时又保持了普通矩阵乘积的主要性质，可应用于多个应用领域，几乎处处可用。矩阵的半张量积首次是陈代展在文献27中提出，初步结果被收集在文献28中，进一步的结果和若干不同的应用发表在文献2932。矩阵的半张量积作为一个计算机时代的新的数学工具，可望在许多相关领域得到新的应用。由于其构造可以看出，当问题涉及有限集或有限基底的线性结构时，它常常会成为有力工具。例如布尔函数与布尔微积分及其在编码、线路设计等中的应用，布尔矩阵、多线性映射，泛代数、图与超图的矩阵表示，系统生物学，动态博弈等。具体应用可参见文献3337。其中文献33综述了矩阵半张量积方法在布尔网络的分析与控制中得到的一系列结果。内容包括布尔网络的拓扑结构，布尔控制网络的能控、能观性与实现，布尔网络的稳定性和布尔控制网络的镇定，布尔控制网络的干扰解耦，布尔控制网络的辨识，以及布尔网络的最优控制等。文献37希望分析矩阵半张量积的基本原理，从其合理性说明它产生的必然性和存在的意义。同时，与已有的综述不同，这里不具体介绍半张量积在哪些问题中得到哪些应用，而是从原理出发，说明它可能在哪些类型的相关科学问题中得到应用。这使读者能够更主动地去开发它可能的潜在应用。而文献3840是我所翻译的三篇外文，分别与矩阵的KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积相关，描述了各自在某一领域的应用，帮助我更好地理解这3种矩阵特殊乘积。总而言之，随着科学技术地不断发展，矩阵的特殊乘积越来越受到人们的重视，也越来越多的人研究KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积，它们在实际应用中也发挥了越来越重要的作用。三、总结部分通过阅读并学习大量关于三种矩阵特殊乘积KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积的文献，理解了矩阵特殊乘积的相关概念以及其在实际的广泛应用。但众多文献并没有系统的介绍KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积，因此，本课题的研究旨在通过应用更多数学方程及方法，更好的归纳和总结3种矩阵特殊乘积的概念、性质和应用，从而以更好的角度去研究矩阵特殊乘积在非线性和多线性问题中的应用。我们应更加重视和关注KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积等矩阵特殊乘积的发展，希望通过此篇论文的研究，能引起更多学者的注意和参与，推动矩阵特殊乘积得推广和应用。四、参考文献1马全中，刘兆君柯西中值定理“中间点的分析刻划J中国煤炭经济学院报,1996，27477。2戴华矩阵论M北京科学出版社,20013陈邦考矩阵KRONECKER积的推广J大学数学,2004,041021044李新,何传江矩阵理论及其应用M重庆重庆大学出版社,20055黄廷祝,钟守铭,李正良矩阵理论M北京高等教育出版社,20036董增福矩阵分析教程M哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,20037许君一,孙伟,齐东旭矩阵KRONECKER乘积及其应用J计算机辅助设计与图形学学报,2003,043773888晏林矩阵KRONECKER乘积的几个性质J云南师范大学学报自然科学版,2000,0613149胥德平,何淦瞳矩阵块KRONECKER积的性质及一些不等式J贵州大学学报自然科学版,2004,0433734110林大华矩阵KRONECKER积分解J闽江学院学报,2006,02192111杜鹃,范啸涛,冯思臣特殊矩阵的KRONECKER积J四川师范大学学报自然科学版,2009,01565912薛长峰矩阵的HADAMARD乘积J盐城工学院学报自然科学报,2003,03383913武传东,薛善增矩阵HADAMARD乘积的一些性质J盐城工学院学报自然科学报,2007,01272814李武明HADAMARD矩阵的若干性质及应用J商丘师范学院学,2004,02616215董继学,张虹关于HADAMARD矩阵的几个结论J黑龙江工程学院学报,2005,02606216刘新金,邹云基于HADAMARD积的协调控制模型J南京理工大学,2008,464917贾正华HADAMARD乘积矩阵的一些性质J工科数学,1998,0315015418许向阳广义判断矩阵HADAMARD积的若干性质J株洲工学院学报,2002,04262719金能关于HADAMARD乘积矩阵的一些性质的注记J,工科数学,2001,03757720任林源,楼琅关于KRONECKER积和HADAMARD积的一些矩阵不等式J宝鸡文理学院学报自然科学版,2003,0425725821周杰矩阵分析及应用M成都四川大学出版社,200822方保镕,周继东,李医民矩阵论M北京清华大学出版社,200423张贤达矩阵分析与应用M北京清华大学出版社,200424陈景良,陈向晖特殊矩阵M北京清华大学出版社,200125程代展,齐洪胜矩阵的半张量积理论与应用M北京科学出版社,200726程代展,齐洪胜矩阵的半张量积理论与应用（第二版M北京科学出版社,201127LIF,SUNJCONTROLLABILITYOFBOOLEANCONTROLNETWORKSWITHTIMEDELAYINSTATESJAUTOMATICA,2011,47360360728LASCHOVD,MARGALIOTMAMAXIMUMPRINCIPLEFORSINGLEINPUTBOOLEANCONTROLNETWORKSJIEEETRANSAUTCONTR,2011,56491391729LIF,SUNJ,WUQOBSERVABILITYOFBOOLEANCONTROLNETWORKSWITHSTATETIMEDELAYSJIEEETRANSNEURALNETWORKS,2011,22694895430XUEA,MEISANEWTRANSIENTSTABILITYMARGINBASEDONDYNAMICSECURITYREGIONANDITSAPPLICATIONSJSCIENCEINCHINA,SERI