大学数学竞赛-大学生数学竞赛训练-极限

大学生数学竞赛训练一（极限）一、计算2340SINL18LMXXTDTE解因为33311SIN666XXX原式34320054IL1SINL8LMLM566XXTDTXX又因为3323322SINL16XX4466X所以。2340SINL118LM5XXTDTE二、计算34322LNLIXXEX解因为34322343221011LIM1LIMXTXTTTTXX343220LITTTTT324320111LIMTTTTT32LNLI11XXEX323LIMLXXEX3231LIMLNLXXXEX323LIL10XX所以。34322LN1LIM12XXEX三、计算221031LINNXXTDXE解设，则2101NNSTT2102SI2NNTTT因为，所以3121333XEXXX2210034SINLIMLIM23XNNXXXTTDDEX。22000312SINCOSLILILI888XXX四、计算20302SINLIMARCT1ARCTTTXXTDY解因为2LNARCT2LIRTNIM1XXXXXE22422ARCTNLARCTLIMNARCTILI11XXXXT422LIXTTT，所以222000SINSINSINTTTYTXDYDXYD22203302ILIMLIMARCT1ARCT1ARCTNTTTXTXTTYE220750SINSINLIL7TTTYDTT五、设数列定义如下NX110,1,2NNXX证明极限。LIMN证明方法一、考虑函数，因为，当时，。10,1FXX12FX1X0FX由此可得时，在上的最大值为，且在是递增2F,4FF,2的。所以211043X324122110NNXXNN111NN由于，01NX，所以数列是单调110NNNXXXNX有界的，由单调有界准则可得存在。显然，。LIMLIM1现证明，用反证法证明，设，且，LIMNXLINXA0取，因为，所以存在整数，当时有14ALIM,LI0NNXAX0NN11,44NA3,NXX121111NNNNNNXXXXXX11N111121NNNNNXXXXX112NKKNKNA由此可得正项级数收敛；NX另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发111NX1NX散，这是一个矛盾，所以。LIMNX方法二、考虑函数，因为，当时，。10,1FX12FX1X0FX由此可得时，在上的最大值为，且在是递增2F,4FF,2的。所以211043X324122110NNXXNN111NN由夹逼准则可得，又因为LIM0LINNXX1110NNNNNXXXX所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理N。2111LIMLILILIMLILIM1NNNNNNNXXXXX六、设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，FX,A,ABFX如果，证明LI1XFXALIMXFA证明对于任取的，因为，所以存在01FFX0X当时，有1XX13FXF取，令，则有1,NXLXN01L1FXFLFFXAAX1111FLNFLFLLNXX因为1133AFXLFLA21133AFXLNFLNA所以13FLNA由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有,ABFX20X2X