概率辨误初探

本文获2010江苏省教育学会论文评比一等奖概率辨误初探概率是高中数学相对独立的内容,不论是内容还是思想方法,都与其他章节有较大的不同,笔者在教学过程中发现学生在概率应用方面还存在许多误区下面就学生们在解题中常见错误分类辨析如下类型一概念混淆概率试题主要考查基本概念和基本公式，等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件的概率；事件在次独立重复试验中恰发生次的概率及离NK散型随机变量分布列和数学期望等内容中容易混淆的概念主要有以下几个1“非等可能”与“等可能”例1（古典概型）掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，12共11种基本事件，所以概率为P剖析以上11种基本事件并不是等可能的，如点数和为2的只有1，1，而点数和为6的有1，5、2，4、3，3、4，2、5，1共5种事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为35例2（几何概型）如图1，在等腰中，过直角顶点在ABCRTC内部任作一条射线与线段交于点，求的概率CMABM图1图2错解在上取，在内作射线看作在线段上任ABCABCAC取一点，过、作射线，则概率为MM2/剖析如图2，在内部任作射线，则射线落在内的概率是一B定的，但的值是变化的ABHKIDFE,正解在内的射线是均匀分布的，所以射线在任何位置都CCMMACBCEIMBCACDFHK是等可能的，在上取，则,故满足条件的概率为ABC/567/A4390567变式如果将“在内部任作一条射线”改为“在线段上取点ABMAB”，则解法就改变了，答案为此类题目容易与长度几何概型混淆，要特M2别留意2“互斥”与“对立”例3把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事件D以上均不对错解A剖析本题错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别1两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；2互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；3两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生正解事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C3“互斥”与“独立”例4甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好8070都命中2次的概率是多少错解设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则所求事件为，BA8250372082323CPP剖析本题错误原因是把相互独立同时发生的事件当成了互斥事件正解设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是B1690372082323BPAP点评互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的4“条件概率”与“积事件的概率”|PBAPAB例5袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率错解记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以2|3C剖析本题错误在于与的含义没有弄清,表示在|PBBAP样本空间S中,A与B同时发生的概率；而表示在缩减的样本空间SA中，|PBA作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率正解46|1095CA对策纵观新课程下的概率统计试题，大多都是从课本上习题改编，或者是由教材例题、习题的组合加工而成，充分体现了教材的基础作用因此我们在教学、复习阶段应把握课标，夯实基础，以课本的例、习题为素材加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，做到“以不变应万变”类型二数学思想方法应用不灵活概率是普通高中数学课程标准（实验）引入后的内容，在高中教学中，它以融入大量的数学思想方法著称，如分类讨论、等价转化思想、整体思想、补集思想、数形结合、数学建模思想等，因此熟练应用常见的数学思想方法是很有必要的1等价转化思想例6分别在区间和内任取一实数，依次记为和，则的1,62,4MN概率为（）AB13CD435剖析本题很多学生无从下手，主要原因是不明白题意，不懂得等价转化正解和可能取值情况如图3MN所示，满足情况的是图中的阴影部分，图3故答案选DMN162402数形结合思想例7如果事件A、B互斥，那么（）A是必然事件B是必然事件C与一定不互斥D与一定互斥图4剖析互斥，对立，必然，独立，这些概念一直都是学生容易混淆的，面对抽象的字母，我们可以借集合图形来解答正解如图4，用集合的观点发现不一定是全集，故不一定BABA是必然事件，从而可以检验出正确的选项是B3补集思想例8设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、70、若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两605人命中目标的概率；错解记“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,“至少有一人命中目标”为事件所以D815067CBPD剖析本题错误在于没有理解至少一人命中目标、至多0人命中目标、恰有2人命中目标的实际意义正解1利用逆向思维考虑它的对立事件，至多0个人命中目标E全都没有命中目标，再由概率公式可得1PD正解2D至少一个命中目标，可按常规思路分类成恰有一人命中目标、恰有2人命中目标、恰有3人命中目标的和事件对策概率与统计的思维方式有很多自身特点，与确定性数学思维方式有很大的差异，因此在教学过程中要注意引导学生善于转变思维方式，从多种不同角度、多种途径进行思考，用不同的知识解决问题，鼓励解题策略的多样性一些比较复杂的概率问题，一般可以通过数形结合，分类讨论，等价转化，互补思想，方程思想等把它转成熟悉常见的题型类型三知识点交汇处命题，常常无从下手考试说明要求对数学能力的考查，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用概率与统计为人们处理现实数据、分析把握随机事件提供了强有力的工具，跟它相关的实际背景丰富，形式多样，具有较强的综合性而学生恰恰在这些方面的能力是比较欠缺的1概率与函数方程结合，怎么选择主元例9一个口袋中装有大小相同的个红球（5且）和5个白球，NNN一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖摸一次中奖的概率为记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为试问当NPPF等于多少时，的值最大PF解答一次摸奖从个球中任取两个，有种方法它们是等可能的，5N25NC其中两个球的颜色不同的方法有种，一次摸奖中奖概率15NCP15204NCN设每次摸奖中奖的概率为P，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是PF123236,PCP01P1剖析问题是求的值，所以学生很自然把关于的解析式代入就解不NN下去了本题中的范围是0,1，根据的值我们可以确定正解接式，,故在上113129PPPFPF0,3为增函数，在上为减函数，当时取得最大值，即F,3F，解得或（舍去），则当时，三次摸奖1450NP20N120N（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大2概率与排列组合，怎么选择切入口例10小球在图5所示的通道由上到下随地滑动，A最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口”落出的概率为（）3ABCD图515143638剖析本题考查概率与排列组合知识，从到出口3一共要走4步，这4A步当中必须是2步向左两步向右才能从出口3出来A45正解，选D831624CP3比较新颖的背景，怎么入手例11（2007安徽高考）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以表示笼内还剩下的果蝇的只数（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）剖析本题主要考查等可能事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力普通高中数学课程标准（实验）对此部分的要求在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性解答（1）的分布列为0123456P72865828128（）数学期望为（）所求的概率51342PE对策常见的概率应用背景有射击问题、摸球问题、产品抽查、选拔淘汰、学科竞赛等，因此在教学过程中要注意整合知识、加强联系，提高学生处理综合题的能力参考文献1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（实验）M北京人民教育出版社，20032严士健，张奠宙，王尚志普通高中数学课程标准解读M南京江苏教育出版社，2