线性代数-07线性代数

信应考,考试作弊将带来严重后果2007线性代数试卷一、填空题（共20分）（1）设A是矩阵，是维列向量，则方程组无解的充分必要条件NMBMBAX是（2）已知可逆矩阵P使得，则1COSINA1207P（3）若向量组（0，4，T），（2，3，1），（T，2，3）的秩为2，则T（4）若A为2N阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则A（5）设A为N阶方阵，是的个特征根，则12,N1NIIEA二、选择题（共20分）（1）将矩阵的第I列乘C加到第J列相当于对ANMAA，乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵（2）若A为MN矩阵，是维非零列向量，。集合MIN,RA则,NMXRA，是维向量空间，B，是NR维向量空间MMC，是MR维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若N阶方阵A，B满足，则以下命题哪一个成立2A，B，RBC，D，DETTAN（4）若A是N阶正交矩阵，则以下命题那一个成立A，矩阵为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵11C，矩阵为正交矩阵，D，矩阵为正交矩阵（5）4N阶行列式的值为110A，1，B，1C，ND，N三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。51312310,2设，求矩阵A102,1AAB1B3计算行列式3519271864计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。3409219632A5设计算DETA120012NABABA四、证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组的一12,R0AX0AX个解，求证线性无关。,21R五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123131,4FXXX六、（8分）取何值时，方程组A有无数多个解并求通解123506XX七、（4分）设矩阵，都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。AB1AB2007年线性代数A参考答案一填空题每个四分0RANKARANKA|B或者RANKARANKA|B1COS207SIN207ICO2T413I340二选择题1D2D3C4都对5A三解答题1设向量在基下的坐标为，则123,123,TX11232,X（4分）31512X（6分）32X2（2分）10420102111EABBA则（6分）31382408940238109563102967201053（6分）（4）（4分）1351399028023864703,2,6,49,13,TTTARANK一个基（6分）（5）（601212102010001NINNIINNNIIABBABBAABBBNAAI原式分）四证明12312123,0,40,5RRRRKKKKAKKXK反证假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不1231231212300607010RRRRRAKKKKKK是的解故所以由（）得（）又，线性无关五、A,2分|01AE225010（5分）2,P（7分）12120445224141（8分）21231,FXY2Y23Y六，证明12121234054035065665322403AAAABRRRARA方程组的增广矩阵232463062013418ANKARNKABXAXC如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七111111111,2,ABEBABABA都是可逆矩阵有可逆也可逆3也是可逆矩阵是可逆矩阵4诚信应考,考试作弊将带来严重后果填空题（共20分）（1）设A是矩阵，是维列向量，则方程组有唯一解的充分必要NMBMBAX条件是（2）已知可逆矩阵P使得，则1COSINA1207207PP（3）若向量组（0，4，T），（2，3，1），（T，2，3）的秩R不为3，则R（4）若A为2N1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则A（5）设A为N阶方阵，是的个特征根，则12,N21NIIEA二、选择题（共20分）（1）将矩阵的第I列乘C相当于对ANMAA，左乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵（2）若A为MN矩阵，。集合则I,RA0,MMXARA，是维向量空间，B，是NR维向量空间MC，是MR维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若N阶方阵A，B满足，则以下命题哪一个成立24A，B，2RBC，D，都不对DETT（4）若A是N阶初等矩阵，则以下命题那一个成立A，矩阵为初等矩阵，B，矩阵为初等矩阵11AC，矩阵为初等矩阵，D，矩阵为初等矩阵（5）4N2阶行列式的值为10A，1，B，1C，ND，N_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。01312310,2设，求矩阵A102,21AAB1B3计算行列式3519271864计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。3409219630A5设计算DETA120012NABABA四、证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组的一12,R0AX0AX个解，求证线性无关。,R五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2212313,FXX六、（8分）取何值时，方程组无解A123506XAX七、（4分）设矩阵，都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。AB1AB2007年线性代数B参考答案一填空题每个四分（1）RANKARANKA|BN（2）COS072COS07（3）R2（4）1（5）0二选择题1D2C3D4A5B三解答题1设向量在基下的坐标为，则123,123,TX11232,X（4分）130（6分）2X2（2分）1102140ABE则14BA（6分）31382408940238109563102967201053（6分）（4）（4分）1351399028023864703,2,6,49,13,TTTARANK一个基（6分）（5）（601212102010001NINNIINNNIIABBABBAABBBNAAI原式分）四证明1231212,013,4,056RRRRKKKKAXKA反证假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不是的解故所以由1212307010RRKKKK（）得又，线性无关五、A,2分|10AE12001（5分）,2P（7分）10212（8分）1231,FXY3六，证明12121234054035065665322403AAAABRRRARA方程组的增广矩阵232463062013418ANKARNKABXAXC如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七111111111,2,ABEBABABA都是可逆矩阵有可逆也可逆3也是可逆矩阵是可逆矩阵4诚信应考,考试作弊将带来严重后果填空题（共20分）1设行列式，则方程的所有解是7298164332XXD0XD2已知矩阵，则矩阵分别等于11A201,A3设是N阶对称方阵的个特征值，是对应的特征向量，若,21ANN,21，则向量的夹角是21,4若方程组有解，则的值等于51544332211AXAX54321AA0若矩阵是N阶实矩阵，且，这里为零矩阵，则矩阵的所有特征值为AOATA二、选择题（共20分）1若矩阵和都是N阶正定矩阵，若N是任意自然数，则ABA，B，35RANK53BARAKC，D，不能确定2设有齐次线性方程组AX0和BX0，其中A，B为矩阵，现有四个命题NM（1）若AX0的解均是BX0的解，则RAKRN_（2）若，则AX0的解均是BX0的解BRANKAR（3）若AX0与BX0同解，则BRANKAR（4）若，则AX0与BX0同解RANKR以上命题中正确的是A，（1）（2），B，（1）（3）C，（2）（4），D，（3）（4）3若A，B是任意N阶方阵，则以下等式中一定成立的是A，B，2211AC，D，DETTDET4若N阶方阵，满足，则有,ABCNABIA，B，NDINCIC，D，5若A是N阶方阵，则A是N阶正交方阵的充分必要条件不是A，A的列向量构成的单位正交基B，R1DETAC，A的行向量构成的单位正交基D，NT1三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。4211,0,1322设A是三阶方阵且，求的值A3A3计算行列式00XX4设向量组。0,12,74,31,65,