线性代数-02-03学年第二学期线性代数（b）重修课考试试卷答案

北方交通大学20022003学年第二学期线性代数（B）重修课考试试卷答案一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中14阶行列式_10应填32已知向量组，41，5432，6543，7654，则该向量组的秩是_应填23已知线性方程组031213XA无解，则_A应填14设是阶矩阵，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵若有特征值，则AN0AENA必有特征值是_E2应填125设矩阵4，432A，432B，其中都是4维列向量，且已知行列式，则行列式32，A1BA_应填40二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，则必有ANAK0K1【】K；B1NKCNKD1AK应选2设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】A0A必有一列元素全为0；必有两列元素成比例；B必有一列向量是其余列向量的线性组合；C任意列向量是其余列向量的线性组合D应选3已知，963421TQ为3阶非零矩阵，且满足，则【】POP时，的秩必为1；时，的秩必为2；A6TBTP时，的秩必为2；时，的秩必为1CD6应选D4阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【】NNA充分必要条件；充分而非必要条件；AB必要而非充分条件；既非充分也非必要条件CD应选B5已知向量组线性无关，则向量组【】4321，向量组线性无关；A14321，向量组线性无关；B，向量组线性无关；C14321，向量组线性无关D，应选三（本题满分10分）已知，10A且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵IAB2B解由，得，而且2IA0101因此矩阵可逆，且，1021A所以，由，得，因此，IBA10210101四（本题满分10分）问为何值时，线性方程组3246321X有解，并求出解的一般形式解将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵A（第1行乘以、后分别加到第2、3行）34210324160A46（第2行乘以后加到第3行）0所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为当时，其增广矩阵的秩为，因此AR1A3R此时原线性方程组无解当时，故线性方程组有解此时，上面的阶梯矩阵为12R0121因此，原线性方程组的通解为1231X其中是任意实数3X写成基础解系的形式，有，012321KX其中是任意实数K五（本题满分10分）设4阶矩阵，1025A求的逆矩阵A1解记矩阵，1251A122则矩阵21AO这是一个分块对角矩阵，因此，121而，5211A，31212所以，3102501A六（本题满分15分）已知，其中PBA，10120P求及5解先求出14021P因为，两端右乘，得PBA11602140210121PBA同样，511111PBPB15PB1A1602七（本题满分15分）已知向量组（）；321，（）；4，（）5321，如果各向量组的秩分别为，证明向量组R4R（）45321，的秩为4解因为，所以向量组线性无关，而3R321，4，线性相关，所以，存在数，使得321，（）3214设有数，使得4321KK，0454321KK将（）式代入上式并化简，得54343242141KK由于，所以向量组线性无关因此，由上式，得4R53，04322411KK解此方程组，得，因此，向量组04321KK45321，线性无关，即此向量组的秩为4八（本题满分10分）已知是矩阵的一个特征向量12135BAA试确定参数、及特征向量所对应的特征值；A问是否相似于对角阵说明理由解由于是矩阵的一个特征向量，所以有12135BAA0I1231成立即有02135BA解得