高中数列知识大总结(绝对全) 2

第一课时数列知识要点数列通项与前项和的关系NANS1NINAS1321221NANN热身1数列1，3，6，10，的一个通项公式为2数列的通项公式为,则数列各项中最小项是NANAN2833数列的前项和,，则14SA典例精析题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式7，77，777，7777，,6385,1432点拨联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用求数列通项211NSANN例2已知数列的前项和，分别求其通项公式3NS082NNNA点拨本例的关键是应用求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足211NSANN1A的一般性通项公式。“2N三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式NA14,2121AN2，,01012NNNA,1NA点拨在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若,1NFAN,1NFANA，求用待定系数法或迭代法。QPANN1N总结提高1给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一2由求时，要分1和两种情况NSAN23数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。4给出与的递推关系，要求，常用思路是一是利用（）转化为NNANNAS12的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求。ANSNA课堂演练1若数列的前项的，那么这个数列的通项公式为（）NA32NAS2已知数列满足，（），则（）N0111NNN20A3已知数列满足NA,1，2312和求证明1NA数列3，5，7，9，11，的一个通项公式是（）已知数列中，NA21则的值为（），（NN14A3设，则的大小关系是12NNNA与11若数列满足，NA2,01NNNA，则的值为（）761202、填空题1已知数列中，,NA321A，NNA21272已知中，前项和与的关系是，求SNS1A62等差数列知识要点1等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用表示。D2递推关系与通项公式MNADDNAMN11变式推广通项公式递推关系由此联想到点所在直线的斜率。,为常数）即特征KNFADAN,1是数列成,为常数，（MKNA等差数列的充要条件。等差中项若成等差数列，则称的等差中项，CBA,BC与且；成等差数列是的充2,A2要条件。前项和公式N；21ASN211DNASN变式12211211NSADNADNN,2212为常数即特征BANSFDAN是数列成等差数列的充要条件。A5等差数列的基本性质N,NQPM其中反QPNMAA，则若之，不成立。DMNAN2仍成等差数列。NNNSS23,判断或证明一个数列是等差数列的方法定义法是等）常数）（NDAN1NA差数列中项法是等差数221NN（N列通项公式法是等差数,为常数BKANNA列前项和公式法是等,2为常数BASNN差数列课前热身1等差数列中，NA,39741A（63852,则）2等差数列中，NA31,120910864的值为则3等差数列的前项和为，当变化NANSDA，1时，若是一个定值，那么下列各数182中也是定值的是（）8201513SCSBA4计算机执行以下程序初始值0X，XS，则进行，否则从继续进行201打印停止那么，语句打印出的数值为895设，分别为等差数列与的前NSTNABN项和19524SBAN，则54解51402291091119BABATS典例精析一、等差数列的判定与基本运算例1已知数列前项和NANSN92求证为等差数列；记数列的前A项和为，求的表达式。NTN点拨根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。二、公式的应用例2设等差数列的首项及公差都为整数，NA1D前项和为NS若，求数列的通项公980141SA，NA式若，求所有可能761411，的数列的通项公式NA点拨准确灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式，提高运算能力。N总结提高1在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，DNMAN在五个量中的三个量可求出SDA，1其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。33已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设外，还可设DA2，；四个数成等差数列时，可设为DA，MM33，4在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。课堂演练1设是等差数列的前项和，若NSNA（）12663，则在等差数列中，NA132A，则等于（）3等差数列654A中，则前项的和N12910S，最大。4已知等差数列的前10项和为100，前100项NA和为10，则前110项和为某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少解设捕捞年后的总盈利为万元，则N设等差数列的前项和为，已知NANS012133S，求出公差的范围，D指出中哪一个值最大，并说1221，明理由。课外练习一、选择题1已知数列是等差数列，其前10NA10A项的和，则其公差等于）701SD2已知等差数列的前项和为，等差数列NNS的前项和为，且NNT，则使为整数的539NSNNBA所有的值的个数有（）3，设等差数列的前项和为，若NANS等于B987639AS，则，A63B45C36D273已知等差数列中，NA等于（1249716A，则，）二、填空题4设为等差数列的前项和，NSN97103S，则，5已知等差数列的前项和为，若NAN185212AS，则三、解答题6等差数列的前项和记为，已知NANS503210，求通项；若242，求NN7甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运M动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，甲、乙开始运动后几M分钟相遇如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走M5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇故第一次相遇是在开始运动后7分钟。10已知数列中，前和NA，31N21NS求证数列是等差数列N求数列的通项公式A63等比数列知识要点1定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。0Q，（2递推关系与通项公式MNNQA推广通项公式递推关系113等比中项若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是CB,BCA与ACBACB2，注成等比数列的必要而不充分条件。4前项和公式111QAQANSN5等比数列的基本性质，,NPM其中反之不真QNAAPNM，则若2AQMNN，为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。N仍成等比数列。，时，NNNSSQ23216等比数列与等比数列的转化是等差数列是等比数列；NA10CCNA，是正项等比数列是等差数列；LOGNC，既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。NNA7等比数列的判定法定义法为等比数列；（常数）QAN1N中项法为等比数列；0221NNAN通项公式法为等比数列；前项和法为常数）QK,AN为等比数列。为常数）（QKSNN,1NA课前热身1如果1，9成等比数列，那么（）CBA,2在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（）N206574A31310422NF设）（等于，则FN4已知数列是等比数列，且NAMMSS3201，则，5在数列中，若，则通项131NANN，NA典例精析一、等比数列的基本运算与判定运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量，的方程是求解等比数列问题1Q的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前项和公式时，应充分讨论公比是否等于1；N应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用恒成立，也可用恒成立，若判定一个数不是等比数列则只需（常数）QAN1221NNA举出反例即可，也可以用反证法。二、性质运用例2在等比数列中，N143612NAAA，求，NA若NTT求,LGLG21总结提高1方程思想，即等比数列中5个量，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列NA1NQNAS方程组求解。2“错位相减法”求和是解决由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列求和的常用方法。NNBNBA3对于已知数列递推公式与的混合关系式，利用公式，再引入辅助数列，NANS21SANN转化为等比数列问题求解。4分类讨论思想当0，1或0，01时，为递减数列；1的等比数列，若的两根，则Q03842054X是方程和2098A5数列的前项和21，数列满足（）。NANSANBNNBA113，N求证为等比数列；求数列的前项和。NBNT1在正数等比数列中，是方程的两个根，则的值为（）NA191602X60540A2已知等比数列的公比为（为实数），前项和为，且成等差数列，则等于（QNNS93S，3Q）3设等差数列的公差不为零，9，若的等比中项，则等于（）NAD1ADKKA21与是K4已知等比数列的前项和（）SN，则35在等比数列中，N_,6326515A则，三、解答题8有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。64数列求和知识要点求数列前项和的基本方法N直接用等差、等比数列的求和公式求和；112211QANSDNNN公比含字母时一定要讨论。为无穷递缩等比数列时，NAQAS1错位相减法求和如为等差数列，为等NANB比数列，求的和。NB21分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。合并求和如求的和。222197810裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。常见拆项11212121NNNNN公式法求和2131261NKNN倒序相加法求和其它求和法如归纳猜想法、奇偶法等。2直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。求一般数列的前项和，无通法可循，为此平N时要注意掌握某些特殊数列前项和的求法。数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。课前热身1设数列22321211NDCBASSNNN的值为（）则，项和为的前，2已知数列的前项和NA210975350311）（，则DCBASNSNN等于（1374N）131322NDNCBA4数列是等差数列，A20650S项和，则前典例精析一、错位相减法求和例1求和NNAA321点拨若数列是等差数列，是等比数列，NANB则求数列的前项和时，可采用错位B相减法；当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；当将与相减合并同类项时，注意错NSQ位及未合并项的正负号。二、裂项相消法求和例2数列满足8，NA1（）024NA，且N求数列的通项公式；N设14NABN（）求TNNNBBT21N故的最大整数值为5。M点拨若数列的通项能转化为NA的形式，常采用裂项相消法求和。1FNF使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。数学门诊已知为数列的前项和，且NSNAN，232求证数列为等比数列；N1数列的前,21,84,132,N项和为（）N2121244NNDNCBA233445（1）（2）等于（）321636NDNCBA课外练习数列的前项和为，若NANS等于（）51SNA，则3016DCBA化简的结1221NNNS果是合适。答案，时，时，解令DSNSCBANN4211已知等差数列的前项和是，NAN已知奇函数24162809171605，则，DCBAS二、填空题3设等比数列的公比与前项和分别为和NAQ，且1，NSQ102108SS，则6数列满足NANN，则数列的前项和为12B又B三、解答题8设数列满足NA（）33121NAANN求数列的通项公式；NN设，求数列的前项和NABNBNS9已知数列满足NA321NA求数列的通项公式；N65数列的综合应用知识要点一、数列综合问题中应用的数学思想1用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；2用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；3用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；4数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。二、解决问题的主要思路有1把综合问题分解成几个简单的问题2把综合问题转化为熟悉的数学问题3通过观察，探索问题的一般规律性4建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。课前热身某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（）A63B65C67D71根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量（万件）近似的满足NS按此预测，在本年度内，需求量超过15万件的月份是（），1252190NNSA5月，6月B6月，7月C7月，8月D8月，9月过圆内一点5，3有条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项，最大XYX2KNA1弦长为M末项，若公差，则最大值为（）KA32,1DA5B6C7D8某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为典例精析1、数列模型实际应用问题例2某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30，从2008年开始，每年将出现这样的局面即原有沙漠面积的16将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4又被沙化。设全县面积为1，2007年底绿化面积为，经过年绿化面积为，求证103AN1NA2541NNA至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60点拨解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。数学门诊从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业51的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加。41设第年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为，写出、的表达式。NNANBNAB至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入总结提高1数列模型应用问题的求解策略认真审题，准确理解题意；依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式，前项和公式以及性质求解，或通过探索、N归纳构造递推数列求解。验证、反思结果与实际是否相符。2数列综合问题的求解策略数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题。课堂演练一张报纸，