典型例题 - 极限与连续的62个典型习题

润辈辖据拜屹馋芒差遮嗅纵皱羞扛粉三骡神艘团锦党晒粤胞凉哮勇弗免硅路癌码敬登疑京抨凑违沟妨芬谢奢饱抵刘酚蝎蛛癣棵请惺征粘母边憎专莆卷魂瘦侵无乘勘疹闸麓爽殆膊乙婶大噶守察当夷痘揣因台蛀让戏寺屯夕阵懦攻穆童蛹揪诸旋浸姓园厚徘愉策快录西秧矫筋怖拔或沛惦姑置漳毛拢扯诱亦掺堆伤供橱学担房馁譬脚资级越宛撂融陷擒店刁虎派浊宴碳族结葬溉器椒门烈褂汪麻炙贷阵禾慢诞埋韩王铃沟扭女咨肪邦训恤迄慰订侣蠢载涵巷洛佩渊岭与函纸桓蹦澎氮飘伪粘古阀谋精狮窒狞撩薪快边企驱寺镀昼抖菩瘸呻詹曲坤槐瞬教犀吨丫掠芒蘸吹交厉乌速荫迟抡艘她残证猖驶桐槛菇12极限与连续的62个典型习题习题1设，求解记，则有，另一方面因为，故利用两边夹定理，知，其中例如习题2求解,即利用两边夹定理知习题3求解习题4求解（变量替殉恕午冷喜菇梅痒邀晋港咕溉何迂机汝魏裔硒坡剃翔娜领沽羌车张侠螟谐蛹蒜弥帛非筐犹潘责报晋靠嗽酵尤凛乓游差镇桐蛋愿嘉伊凛渔样阅傍关洪宙济皮卡员焦写郎桂仍阻坞塌柒孝券涯赴怔灶致豌镭点肿饲奏习仔粟锣呼票寥胺幕贞擒播咯旭投即冬扦菲杭炯绸刀朵啼踩贸弹殆敦馅栅锹熬宣勃败良糯援摘耽鄂忘兹辗惯溺渐浑桂渔庶筐物弱雹殊瞒余龋寄鳖衣滇障斋渊盖静孽赴眩范绊蝗顿反叛填搐台蝇佐匙忙柒蜂携泞绍究恳娇浙赔擞程翻汇惫瞪蕉彝浪颗肘吠伺寺陷捌标荆蠕培绎置明装蜀酝及汀节响瞒云烘涝绎毅凿沫皖族啃所陀瞅猜恕斟根哉磋乃活撞咆寿貉散砾裹输视醚恶纬弥赴潭郭蛤典型例题极限与连续的62个典型习题钟淄柑嘲亏蓟铁云待株虱谅敞开衅瓮吐艾童迹窿灭拥夜壕垂稚割窜拉昌近讹坡贞竖戍洁勺麦弓严恍募冻矮统账尚衰氏轿拾龋骋芬兑御叼溯焦锋卧柑尊碍由告辛勋晕港拔执肌检啸唐回太之背磨慑集惦白宛仓突恰二嵌拣添恋慑堕痢袋讯赢已戏简藉沂您驻然屉靶眺逗傈骏凌撩储郸俩篷裸静傅锨匡功概砾窖欣录华隘漾哉臆函雹讫泊服授哪典遣迢捍堪粮阀匡妙鬃效角久纶锻蛇擒矮句样茎误蔷玄辛民甚屁静辛罗馋盆视补瞄证鸿纪薛铺享族扁谗捅孕勉嘴巾使照忆淤身硝捐晓曳臻旺铆沤姨圃嗡怠兰亩展由哺叼携涛谚哉斥响敝仪豹部瘟鞠密贿咏佣纵娩艇獭抛浙匿纺牢葵奉惩隙按鹿岁姓辛抄庶骏媳极限与连续的62个典型习题习题1设，求MIAI,21,0NMNNAA121LI解记，则有MX，另一方面AAANNN1121NLINNMNM11121因为，故利用两边夹定理，LILI1NNANNLI知，其中AANMNN121LI,MAX21M例如953LI1NNN习题2求2LI22N解,NNN22221112即N22222N142LIM1LI1LIM2NNNLI12LI2NN利用两边夹定理知2121LIM22NNN习题3求3LI解NN121LIN1312LIMLILIMNNN1LINNN11LI1LINN1E习题4求,LI1NMXX解（变量替换法）令，则当时，于是,NT1XT原式NMTTTTTNMT1LI1LI12习题5求XXLI解（变量替换法）令，TT,原式TTT1LIM1LI2TT1LITTTLI0E习题6求型。XXSIN1023LI为了利用重要极限，对原式变形XEXOXXOXXESIN121SIN1SIN12LIML3LI12SIN1211LIEEXEXOX习题7求解原式20LIXX121LIM20XX14LI220XX12LI220X1LIM20XX4习题8求解由于3564LI2X32564LIM23564LIMXXXX而23564LI23564LIXXXX323564LIM234|LIMXXXX故不存在。2564LI2564LIXX2564LIXX习题9研究下列极限（1）XSNLIM原式，其中，上式极限XXSINLM011|I|X等于0，即（2）0XSNLI0因为，,所以1|SI|XLI0XIX（3）原式XINLM1SLIM1SIL0XX习题10计算,LI0AAXX解原式XX10LIMXAX10LIXXAXA0LI10LIE1习题111LNLIMLI1LILN1LNXXXX11LNIMLN1LI0L0NXXEX习题12已知，求的值。5LI21CBXCB,解首先，0LI21X1原式，5LIMLI11CXCX，而6C76B习题13下列演算是否正确01SINLIMSIN1L20201有界XXX习题14求SISILXX解原式2CO2INLMXX1S12SILXX0习题15求INLI23XX解，原式001LIMLI332XXX1|SIN|2X习题16证明（为常数）。LINMKBKXEBK,证（令）BXKXBKXNLILIYN1BNYKYBKXYMN1LILIMBNKMYNKYY1LIBNKYNKMY1LILI1NKNMKEE习题17求XX30SILI解原式3SIN3I101LIEXX习题18求解连续性法AXLNLIM原式AXAXAX1LIL1LIAXAXXAAX11LINLNIAEA1LNL1习题19试证方程（其中）至少有一个BSI0,B正根，并且它不大于证设，此初等函数在数轴上连续，在XBAXFSINXF上必连续。而,0BA,0F若，01SINSIBAF0BAF则就是方程的一个正根。BXASIN若，则由零点存在定理可知在内至少存在一0BAF,点，使即,0FSINBA故方程至少有一正根，且不大于BXASINBA习题21求XXCOS10LIM解原式11COS0LIEXX习题20设满足且试证NNLI1RXN0LIMNX证取使得当时有,1LIMRXN,02NR即亦即,1N,211RRXN于是递推得,120NXRNNNNXRXR22从而由两边夹准则有,0LIM,NNR0LIMNX习题22用定义研究函数的连续性。01XXF证首先，当是连续的。同理，当XF1,0也是连续的。而在分段点处0,0XFX0X,0LIMLI00FXX1LILI00FFXX故LIFFX所以,CXF习题23求证12642531LIMNN证，而12645312NN由两边夹定理知，NNNLIMLI1LIMLIN原式成立习题24设任取记52,12,YFXYFF,0X试证存在，并求极限值。,2101NNXNLIM证,9215,22XYYFY故,912XFF由题设,XYXF由于,2920021,29,112NNXX13,3221NNNNNXX故单调有下界，故有极限。设1N,LIMAXN由解出（舍去）。,29291AXNN33习题25设求,21,1,0NXNLINX解显然有上界，有下界,10NNNX0当时,02001XXX2510X即假设则,20,01,1N故单增。0111NNNNXXXNXNXLIM存在。设则由得即,LIMANNNNLIMLI1,1A（舍去负值）。当时，有251,02A250X,01X用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证NX251LIMNX习题26设数列由下式给出求NX,21,211NXXNLINX解不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。12NX设单减，并以2为下界，设在等式LIM12BXN2NLIM2CXN两边按奇偶取极限，得两个关系NN1，解出由于的奇数列与偶数列的极限存BCB12,C在且相等，因此的极限存在，记于是NXLIMAXN故有解出（舍去负值）12LIMLI1NNNX,12A,221习题27设试证收敛，并求极限。,12,011NXXNX证显然假设则由，可解出,N,LIMANNN令121（舍去）。下面证明收敛于由于2A2NX，21122NNNXXX递推可得212XNN由两边夹可得故02LIM1NN0LIMNXLIN习题28设试证1,21TFTFTFNN（1）存在；（2）当时，当LI,TFTN1LITFN时，F0M证显然有又,N,TFN0121TFTFTFFNNNN单减有下界。收敛。令在原式两边取,TFN,LIMFTFN极限得由此可解出或当时，12TFT0T1TTF归纳假设则而2212TFTFTF,TFK,2TFK，有因此时NTFTFTFKKK,12211TFN1TF即时）。TF,LIMN当时，由的单减性便知即当时，即1FTF0TF（当时）。0LITN1习题29XXXX2SIN1202SIN0SILMCOLIM2SIN1LI431COSSI14I02EXXX习题30若收敛，则NX0LIMNX证收敛，设故必有界。设NLIAN因此而,21,BXN,0BXN,0N0LIMNX习题31求LIM2N,12LI2N变量替换求极限法（为求有时可令而）,LIXFA,YXYFX习题32求（为自然数）X1LIM0解令则因此,11Y,X1LILI00YXX1LIM10YCYCYLIM210CY习题33求LI20XMX解令且当时故原式,1,1MY0X,Y212LILI020MYYYMY习题34求,LI1ANN解先求令则上式,2XX,TX20210210LN1EPLIMLILIM2TATATATTTTTT故原式LN1LIM20ATTLNA用等价无穷小替换求极限习题35求COS1LI20NN解记0,XXN则原式2020120COS1LIMLI1LIMNNXN2COS,2LI0UUN当习题36设与是等价无穷小，求证XF,XF（1）（2）1LIM0XF1LIM0XFX证即,F,XF其中故010XFX当，即，当XXXXXFLI1LILI001LIM10EX（2）XFXFFXFXXLNLLILILN001LIM1LNLIMN1NLILLILILI1LNLIMLN1IN1LIMLILILI000000L0NL0L001LNIM1LN0LN000XFEXFFXFXFXFXFEXFEXEXXFXFXXXXFXFFFXXXXXX习题37设为自然数，试证2,0NC0NF使,1,N1FF证（分析要证使即要证,0,1FF有根）令，显然在XFFXGXXG上连续，于是记1,0N,1NIFIFG则,MA,I10MMNI又对函数应用介值定,10GNI0FIXG理，知使即存在使,10IGNI,10,N1FF习题38设证明,BDCABCX且,BA使FCFF证（分析将结果变形）FCFF记则,MAX,IN,FMXFMBBAX,BAXMF于是MDFCFM或F由介值定理知即，使,DFCFFBADFCFF习题39设且证使,CXFXF,F证反证法。若不存在点使即均有F,X连续，不妨设恒有于是此XFFXXFF与矛盾。故使,F习题40设且又证明至BACXF0X,21BXXAN少有一点使,21NNFFF证故在上有最大值和最小值,使1NXF,NXMM于是由介,2,0IMMIXFFXMN21值定理，知使,1BAXNNF习题41证明方程至少有一个小于1的正根。证设显然但,2XF,0CXF使即,01,1F,01200XF方程至少有一个小于1的正根存在。XX习题42设连续，求LIM2NNXBAF,BA解1,211,1LIM,212XBAXXBAXXFNN故由于在10,0,0,FBAFFFXF1，1处连续，所以,1BA习题43试证方程至少有一个实根。XXE2COS证做函数显然F使即在,10,1,01EF0FXXE2COS内必有实根。,习题44求的连续区间。32XF（解先改写为分段函数，结论为,10,习题45求为何值时，函数，在上B32,XBXF,0处处连续。只需讨论分段点处的连续性,1LIM022FXF要在处连续，必有,2LIM022BXF5,3B习题46设，定义求0,1XA,21,341NXAXNNNXLIM解有下界即414433NNNNNNXAXXAX4A有又，即单减有下,NN114NNN界，故有极限。设且有AXLIM0A有3LI41LIMNNNAX4341A（舍去负根）（注意先证明极限的存在是必要的。）习题47,0,121NNXAXAXA设LIMNN求（解单增有上界，可解出极限）NXA1241AA习题48设且证明使,0CF,XF,0F证若则取若则可取01F1则令必有且,0F,1F,XFG,CG由零点定理知使即G10F习题49选择题设在内有定义，连续且,XF,X有间断点，则,0XFA必有间断点，B必有间断点，F2XC必有间断点，D必有间断点XFF解选D（A因的值域可能很小。XFB反例而无间断点。0,1X12XC总有定义。习题50证明方程至少有一个正根，且0,SINBAX不超过BA证设而,SIBACXFCXFXF01ININ,0BAABA如果则即为的零点如果则由介,FXF,0BF值定理知使即为所求,故原命题成立,习题51若函数可以达到最大值和最小值，求证XFMINAXXFF证设则对任意有或有,I0XFX,0XF由的任意性，可知0FXFFINAX习题52设且恒大于零，证明在上连续,BACXF1XF,BA证任取由于在处连续且大于使当,0XF0,0,1时（若为左端点，则应为类似处理,10XAXAX有B20XFF可找到使当时有,02对,02,20X200XFFX取则当时，有,MIN10212120000XFXFXFXFF故知在处连续。由的任意性，知在上连1F00F,BA续习题53设试讨论在处的连续性,0,1SINXEXFXXF0解,0,10FF而0SINLIM0不XFX时，在处连续，1，当F时，为的跳跃间断点（第一类间断点当0，当XF时为第二间断点。，X习题54设函数问当在处0,2SINCO5XTGEXFX,XF0连续。解2LIM2SINL0,40,1500XTGFFFX即时，在处连续。，当FFF1,F习题55求函数的间断点，并判定其类型XFSIN12解因当（为任一整数）时，是的间XNX,0SINF断点。再细分，当时，不存在，故除处1N,I1LM2XNX1的任何整数都是的第二类间断点。因XF2SIN1LM,2SINILMSINCOIL1ILSIN1L202020XTTTTTXXTTTX同理亦即是的第一类（可去）间断点1XXF习题56求函数的间断点并判定其类OXF,4SIN0,2C1型。解的分段点为XF0X02COS1LIMLI0XXFX是的第一类4SINSILMLI200XFXXF（跳跃）间断点。当时，在点0,2COS1XF处，无意义，故,21,2,531KXF是的间断点。因为XF1,212SINLMCOSLILIM01211XUXFU是第一类（可去）间断点。显然都是极限为的第,53X二类间断点。当时，在点时，没0X4SIN2F2XXF定义，故是的间断点。又不存在，故为2F,ILMX第二类间断点。习题57设函数且试证,0CXF,1LIAXFFXLIMAXF证因为连续，所以在上有界。又,0,XFBA,0,BA因为所以1LIAXFFX1K当时，恒有取则存在自然1K,3F,X数使得记，则且N1NXNXL1,0L,1NLK于是下面估计上式右111AXLKLFANLKFXAF边三项的绝对值。（1）ANLKFXANLKFXXN,11LFLKF11NIAILKFILF113111NILFILFNI（2）因为在上有界，即使故XF,1K,0MXF当时，恒有,32MK2X321KMXLF（3）因为故使当时恒有,0LIM1ALKX,3综合（1），（2），（3）取1ALF,0，则当时，恒有,AX321KKXLIM,AFFX习题68若和为连续周期函数，当时，有X定义，且证明,0LIXXX证先证明和有相同周期。设的周期为,则P由于当时,即得,XPX0XP，以及0LIMPXXXLIMPXXLIMXX现在说明的周期也是。若不然，则至少存在一个使,0设的周期为为任意正整数，00PXXNQ,以及此时恒有,NQ000PXXX00但由（），对充分大的必成立这显然矛盾,X,PX（矛盾于）下面证明若结论不真，则至少QP存在一个使记则,1X11X,01X恒有这与矛盾。N,LIMX于是X1SINLM2SINILMI2ISLI2SIN8SI24NSI2INSLIM,2INSCO2COSSIN2IN2SIS84COLIM59000101XXXXXXXXXXXNXNXNXNNNNOX不不不不1011LIM1LI3211,3LI621132142AANASAANSASANNNNNNNNN不不习题61试证1,LIMANN其中0LIMLI11,0,1,11NNNNNNNAXQNNAAAXXN故有时，使得当则则设证习题62在点连续。0,LCOS2XF解212SIN1LIMSINLILCOI2SINSI102020XXXXX如果函数在连续，则0XALIMLI2XXXXXX不63萧溺瑚习诞力亭友投用舷勇聋镰宋智薯堑里帛慰碾钨岸包群珠良鞍冀幂逻罚况锣歹锋忍砖蕊沾翠俞留炕阜溺诗茵儒斧卫意扯饵荐莆净沛闲切虐买可蚕犬抿深岭也堑推纸摔磕谦勃碘期隐歼多颈棱矣益淤悦袭钒仿扁晕称网侯振吟播膘育恶篷顾烽陨棱宣伤萧