2014-2015学年高二数学教案：11《平面直角坐标系》（新人教a版选修4-4）

一平面直角坐标系课标解读1回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用2了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换3能够建立适当的直角坐标系解决数学问题1平面直角坐标系1平面直角坐标系的作用使平面上的点与坐标有序实数对、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合2坐标法根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系3坐标法解决几何问题的“三步曲”第一步建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换设点PX，Y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ERROR的作用下，点PX，Y对应到点PX，Y，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换1在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示2在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧PX，Y是变换后的点的坐标，PX，Y是变换前的点的坐标1如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系【提示】如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为X轴，以端点或中点为原点建系原则使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上2如何确定坐标平面内点的坐标【提示】如图，过点P分别作X轴、Y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标X与N的纵坐标Y对应的有序实数对X，Y即为点P的坐标3如何理解点的坐标的伸缩变换【提示】在平面直角坐标系中，变换将点PX，Y变换到PX，Y当1时，是横向拉伸变换，当01时，是纵向拉伸变换，当0|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2A4，焦距2C2的椭圆去除落在直线AB上的两点以AB所在直线为X轴，线段AB的中垂线为Y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为1Y0X24Y23易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则C、D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S2KM232因为修建农艺园的可能范围在椭圆1Y0内，故暂不需要加固水沟的长就X24Y23是直线LYX1被椭圆截得的弦长，如图33因此，由ERROR13X28X320，那么弦长|X1X2|1K2，故暂不加固的部分长KM133281324321348134813已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换ERROR1求点A，2经过变换所得的点A的坐标；132点B经过变换后得到点B3，求点B的坐标；123求直线LY6X经过变换后所得直线L的方程；4求双曲线CX21经过变换后所得曲线C的焦点坐标Y264【思路探究】1由伸缩变换ERROR求得X，Y，即用X，Y表示X，Y；234将求得的X，Y代入原方程得X，Y间的关系【自主解答】1设点AX，Y由伸缩变换ERROR得到ERROR又已知点A，213于是X31，Y211312变换后点A的坐标为1，12设BX，Y，由伸缩变换ERROR得到ERROR由于B3，12于是X31，Y21，1312B1,1为所求3设直线L上任意一点PX，Y，由上述可知，将ERROR代入Y6X得2Y6X，13所以YX，即YX为所求4设曲线C上任意一点PX，Y，将ERROR代入X21，Y264得1，X294Y264化简得1，X29Y216曲线C的方程为1X29Y216A29，B216，C225，因此曲线C的焦点F15,0，F25,01解答本题的关键1是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；2是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解2伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换ERROR，则点的坐标与曲线的方程的关系为联系类型变换前变换后点PX，YX，Y曲线CFX，Y0FX，Y011若将例题中第4题改为如果曲线C经过变换后得到的曲线的方程为X218Y，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程请说明理由【解】设曲线C上任意一点MX，Y，经过变换后对应点MX，Y由ERROR得ERROR又MX，Y在曲线X218Y上，X218Y将代入式得3X218Y12即X2Y为曲线C的方程可见仍是抛物线，其中P，抛物线X2Y的焦点为F0，准线方程为Y121414由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆X2Y21变换为椭圆X291Y24【思路探究】区分原方程和变换后的方程设伸缩变换公式代入变换后的曲待定系数法线方程与原曲线方程比较系数【自主解答】将变换后的椭圆的方程1改写为1，X29Y24X29Y24设伸缩变换为ERROR代入上式得1，即2X22Y212X292Y2432与X2Y21比较系数，得ERRORERROR所以伸缩变换为ERROR因此，先使圆X2Y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆Y21，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆X291X29Y241求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得2解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上或下标的未知数的方程形式在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线Y2SIN变换为正弦曲线YSINX4X【解】将变换后的曲线的方程YSINX改写为YSINX，设伸缩变换为ERROR代入YSINX，YSINX，即YSINX1比较与原曲线方程的系数，知ERRORERROR所以伸缩变换为ERROR即先使曲线Y2SIN的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，得X414到曲线Y2SINX；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得正弦曲线YSINX12教材第8页习题11，第5题在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换ERROR后，曲线C变为曲线X29Y29，求曲线C的方程，并画出图象2013郑州调研在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换ERROR后，曲线C变为曲线4Y21，求曲线C的方程并画出图形X216【命题意图】本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换【解】设MX，Y是曲线C上任意一点，变换后的点为MX，Y由ERROR且MX，Y在曲线4Y21上，X216得1，4X2164Y216X2Y24因此曲线C的方程为X2Y24，表示以O0,0为圆心，以2为半径的圆如图所示1点P1,2关于点A1，2的对称点坐标为A3,6B3，6C2，4D2,4【解析】设对称点的坐标为X，Y，则X12，且Y24，X3，且Y6【答案】B2如何由正弦曲线YSINX经伸缩变换得到YSINX的图象1212A将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的1212B将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍12C将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】YSINXYSINXYSINX故选D横坐标伸长为原来的2倍12纵坐标压缩为原来的121212【答案】D3将点P2,2变换为点P6,1的伸缩变换公式为AERRORBERRORCERRORDERROR【解析】将ERROR与ERROR代入到公式ERROR中，有ERRORERROR【答案】C4将圆X2Y21经过伸缩变换ERROR后的曲线方程为_【解析】由ERROR得ERROR代入到X2Y21，得1X216Y29变换后的曲线方程为1X216Y29【答案】1X216Y29时间40分钟，满分60分一、选择题每小题5分，共20分1动点P到直线XY40的距离等于它到点M2,2的距离，则点P的轨迹是A直线B椭圆C双曲线D抛物线【解析】M2,2在直线XY40上，点P的轨迹是过M与直线XY40垂直的直线【答案】A2若ABC三个顶点的坐标分别是A1,2，B2,3，C3,1，则ABC的形状为A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形【解析】|AB|，2123222|BC|，3221325|AC|，3121225|BC|AC|AB|，ABC为等腰三角形【答案】A3在同一平面直角坐标系中，将曲线YCOS2X按伸缩变换ERROR后为13AYCOSXBY3COSX12CY2COSXDYCOS3X1312【解析】由ERROR得ERROR代入YCOS2X，13得COSXY313YCOSX，即曲线YCOSX【答案】A4将直线XY1变换为直线2X3Y6的一个伸缩变换为AERRORBERRORCERRORDERROR【解析】设伸缩变换为ERROR由X，Y在直线2X3Y6上，2X3Y6，则2X3Y6因此XY1，与XY1比较，321且1，故3且232所求的变换为ERROR【答案】A二、填空题每小题5分，共10分5若点P2012,2013经过伸缩变换ERROR后的点在曲线XYK上，则K_【解析】P2012,2013经过伸缩变换ERROR得ERROR代入XYK，得KXY1【答案】16ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是_【解析】取B、C所在直线为X轴，线段BC的中垂线为Y轴，建立平面直角坐标系，则B2,0、C2,0、D0,0设AX，Y，则|AD|注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程X2Y2X2Y29Y0【答案】以BC的中点为圆心，半径为3的圆除去直线BC与圆的两个交点三、解答题每小题10分，共30分7在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换ERROR后的图形1X2Y21；21X29Y28【解】由伸缩变换ERROR得ERROR1将代入X2Y21得9X24Y21，因此，经过伸缩变换ERROR后，双曲线X2Y21变成双曲线9X24Y21，如图1所示2将代入1得X21，因此，经过伸缩变换ERROR后，椭圆X29Y28Y221变成椭圆X21，如图2所示X29Y24Y228台风中心从A地以20KM/H的速度向东北方向移动，离台风中心30KM内的地区为危险区，城市B在A地正东40KM处求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，建立平面直角坐标系，则B40,0，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为X402Y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区台风中心移动的轨迹为直线YX，与圆B相交于点M，N，点B到直线YX的距离D204022求得|MN|220KM，故1，302D2|MN|20所以城市B处于危险区的时间为1H9图111学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图111，航天器运行按顺时针方向的轨迹方程为1，变轨即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线后X2100Y225返回的轨迹是以Y轴为对称轴，M0，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D8,0，观647测点A4,0，B6,0同时跟踪航天器1求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；2试问当航天器在X轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令【解】1设曲线方程为YAX2647因为D8,0在抛物线上，A17曲线方程为YX2176472设变轨点为CX，Y根据题意可知ERROR得4Y27Y360，解得Y4或Y不合题意94Y4得X6或X6不合题意，舍去C点的坐标为6,4|AC|2，|BC|45所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令5教师备选10已知A1,0，B1,0，圆CX32Y424，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2|PB|2取得最小值与最大值若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由【解】假设圆C上分别存在一点P使|PA|2|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2|PB|22|PO|2|AO|22|PO|22，可见，当|PO|分别