导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数YFX,如果自变量X在X处有增量，那么函数Y相应地有0X增量F（X）F（X），比值叫做函数YF（X）在X到XY0Y0之间的平均变化率，即。如果当时，0XXFF00有极限，我们就说函数YFX在点X处可导，并把这个极限叫XY0做F（X）在点X处的导数，记作F（X）或Y|。00X即F（X）。00LIMXY0LIXFF0说明（1）函数F（X）在点X处可导，是指时，有极限。如果00XXY不存在极限，就说函数在点X处不可导，或说无导数。XY0（2）是自变量X在X处的改变量，时，而是函数值的00Y改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数YF（X）在点X处的导数的步骤0求函数的增量F（X）F（X）；Y0求平均变化率；F0取极限，得导数FX。0XYLIM例设FXX|X|,则F0解析0|LIM|LILIM0LIM0000XXXFXFFXF002导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点0P（X，F（X）处的切线的斜率。也就是说，曲线YF（X）在点00P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。0相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。00例在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐X834标为整数的点的个数是A3B2C1D0解析切线的斜率为832/XYK又切线的倾斜角小于，即40故18302X解得383X或故没有坐标为整数的点3导数的物理意义如果物体运动的规律是SS（T），那么该物体在时刻T的瞬间速度V（T）。S如果物体运动的速度随时间的变化的规律是VV（T），则该物体在时刻T的加速度AV（T）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ST）STOASTOSTOSTOBCD答A。练习已知质点M按规律做直线运动（位移单位CM，时32TS间单位S）。（1）当T2，时，求；01TTS（2）当T2，时，求；（3）求质点M在T2时的瞬时速度。答案（1）802（2）8002；（3）8SCMSCMSC二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNX1LGLOAAXE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2X21XLN1XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX解析A错，X21XB正确，LOG2XLNC错，3X3XLN3D错，X2COSX2XCOSXX2SINX例2设F0XSINX，F1XF0X，F2XF1X，FN1XFNX，NN，则F2005XASINXBSINXCCOSXDCOSX解析F0XSINX，F1XF0XCOSX，F2XF1XSINX，F3XF2XCOSX，F4XF3XSINX，循环了则F2005XF1XCOSX2导数的运算法则法则1两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差，即VU法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即UVV若C为常数,则即常数与函数的积的导0CUC数等于常数乘以函数的导数法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方（V0）。VU2例设FX、GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当X0时,0且G30则不等式FXGX0的解集是XGFXFA3,03,B3,00,3C,33,D,30,3解析当X0时,0，即XGFXF0/XGF当X0时，FXGX为增函数，又GX是偶函数且G30，G30，F3G30故当时，FXGX0，又FXGX是奇函数，3X当X0时，FXGX为减函数，且F3G30故当时，FXGX00X故选D3复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）SIN25XY321XXY（3）（4）CO1I解1,SINSIN23225XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SI1SI2XXY（4），XXX121122Y三、导数的应用1函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（A，B）可导，如果，则XFYFX0在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减XFF0XXF函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。FXXF例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,0,解析由0，当时，0，/F故的极小值、极大值分别为，X31FF、而1073FF、故函数在3，0上的最大值、最小值分别是3、3XF17。经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数XFYXF的导函数），下面四个图象中的图象大致是XFXFY解析由函数的图象可知XFY当时，0，此时增1XFXXF当时，0，0，0，此时增1F故选C例2设恰有三个单调区间，试确定A的取值范围，并求XAF3其单调区间。解132XF若，对恒成立，此时只有一个单调区0AF,XXF间，矛盾若，也只有一个单调区01XF,XXF间，矛盾若，此时恰有三个0A|31|31AXAXFXF单调区间且单调减区间为和，单调增区间0A|31,A,|为|31,|A例3已知函数的图象过点P（0,2）,且在点MDAXBXF23处的切线方程为1,F076Y（）求函数的解析式；XFY（）求函数的单调区间解（）由的图象经过P（0，2），知D2，XF所以,23CBF2XX由在处的切线方程是，知1,FM076YX1,076FF即3,03211623CBCBCB解得即故所求的解析式是223XXF（）01,0366322XXF即令解得当1,21,1FXX时或当0FX时故内是增函数，2,323在F在内是减函数，在内是增函数1,1例4设函数，已知是奇函数。32FXBCXRGXFX（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C解（），。从而32FXCX23FXBC2GXFBBC是32BC一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；0GC3B（）由（）知，从而，由此可知，36X236GX和是函数是单调递增区间；是函数,2,2是单调递减区间；GX在时，取得极大值，极大值为，4在时，取得极小值，极小值为。例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。CBXA2332（1）求A、B的值。（2）若对，都有恒成立，求C的取值范围。2,1XCXF1解（1）由题意F/（X）的两个根分别为1和BA2332由韦达定理，得1，31则，2AB（2）由（1），有F（X），F/（X）CX232X当时，当时，当时，3,X0/1,0/,1，0/F当时，有极大值，2XXFC27CFCF2,当，的最大值为,1对，都有恒成立，2XCXF1C1解得或,0C,2例6已知是函数的一个极值点，其中1X321FXMXN，,MNR（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；FX（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒1,YFX大于3，求的取值范围M解I因为是函数的一个极值点,2361FXMXN1FX所以,即，所以0036NM（II）由（I）知，236FXMX231MX当时，有，当变化时，与的变0M21XFXF化如下表X2,121,M1,F00000X调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，0MFX2,1M在单调递增，在上单调递减21,1,（III）由已知得，即3FX220XX又所以即0M20M21,1,XX设，其函数开口向上，由题意知式恒2GX成立，所以解之得2100GM又43M所以0即的取值范围为M4,03例7（2009天津理20）已知函数其223,XFXAER中AR（1）当时，求曲线处的切线的斜率；0A1,YFXF在点WWWKS5UCOM（2）当时，求函数的单调区间与极值。23FXWWWKS5UCOM本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。解（I）31202EFEXXFEXFA，故，时，当31,FY处的切线的斜率为在点所以曲线（II）WWWKS5UCOM422XEAXX2320AAF知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1），则当变化时，的变化情况如A若322XXF，下表X2，A