线性代数全套讲义

第一章行列式11二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组21212BXA方程2A11方程1A21得A11A22A12A21X2A11B2B1A21于是211类似地有A11A22A12A21X1B1A22A12B22112我们把A11A22A12A21称为二阶行列式并记为即21A21121在二阶行列式中横排称为行竖排称为列AIJ称为行列式的元素21A它是行列式中第I行第J列的元素从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线于是二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差这一计算法则称为对角线法则按对角线法则可得2121ABA2121若记则线性方程组的解可表为21AD211AB21BD211AX212AX例1求解二元线性方程组,321X解由于07423D12132因此741DX372X二、三阶行列式用消元法解三元线性方程组可得2323121BXAX312321321321321321AAABBXX2X3我们把表达式A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31称为三阶行列式记为32311即A11A22A33A12A23A31A13A21A3232311AA11A23A32A12A21A33A13A22A31对角线法则按对角线法则有B1A22A33A12A23B3A13B2A323231B1A23A32A12B2A33A13A22B3若记3231D3231133122AD32311BA则三元线性方程组的解为X12X3例2计算三阶行列式241D解按对角线法则有D1222134241142224234632482414例3求解方程0932X解方程左端的三阶行列式D3X24X189X2X212X25X6由X25X60解得X2或X3对角线法则只适用于二阶与三阶行列式为研究四阶及更高阶行列式下面先介绍有关全排列的知识然后引出N阶行列式的概念12全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数解百位上可以从1、2、3中任意选取一个共有3种选法百位数字确定后十位上的数字在剩余的两个数中选取共有两种选法百位和十位上的数字都确定后个位上的数字只能取剩下的一个数字即只有一种选法因此总共有3216种选法即可以组成6个没有重复数字的三位数这6个三位数是123231312132213321我们把N个不同的对象称为元素排成一列叫做这N个元素的全排列也简称排列N个不同元素的所有排列的总数通常用PN表示PN的计算公式PNNN1N2321N比如由ABC组成的所有排列为ABCACBBACBCACABCBAABB是排列吗以下我们只讨论N个自然数的全排列在N个自然数的全排列中排列123N称为标准排列在一个排列中如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同就说有1个逆序一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数为奇数的排列叫做奇排列逆序数为偶数的排列叫做偶排列逆序数的计算法在排列P1P2PN中如果PI的前面有TI个大于PI的数就说元素PI的逆序数是TI全体元素的逆序数之和TT1T2TN即是这个排列的逆序数例4求排列32514的逆序数解在排列32514中T10T21T30T43T513位于首位其逆序数为02的前面比2大的数有一个3故其逆序数为15的前面没有比5大的数故其逆序数为01的前面比1大的数有三个3、2、5故其逆序数为34的前面比4大的数有一个5故其逆序数为1于是排列32514的逆序数为T010315标准排列12345的逆序数是多少13N阶行列式的定义为推广行列式概念必须找出二阶、三阶行列式的展开式的共同特征观察展开式A11A22A33A12A23A31A13A21A3232311AA11A23A32A12A21A33A13A22A31可以得到如下规律1三阶行列式右边的每一项都恰是三个元素的乘积这三个元素位于不同的行、不同的列行列式右边任一项除正负号外可以写成321PA这里第一个下标行标排列成标准次序123而第二个下标列标排成其中P1P2P3它是1、2、3三个数的某个排列这样的排列共有6种对应行列式右边共含6项2各项的正负号与列标的排列对照带正号的三项列标排列是123231312带负号的三项列标排列是132213321经计算可知前三个排列都是偶排列而后三个排列都是奇排列因此各项所带的正负号可以表示为1T其中T为列标排列的逆序数总之三阶行列式可以写成32132311PTAA其中T为排列P1P2P3的逆序数表示对1、2、3三个数的所有排列P1P2P3取和仿此可以把行列式推广到一般情形定义由N2个数AIJIJ12N构成的代数和NPPT12称为N阶行列式记为NNNAAD212112简记为DETAIJ其中P1P2PN为自然数12N的一个排列T为这个排列的逆序数表示对所有排列P1P2PN取和在N阶行列式D中数AIJ为行列式D的IJ元特别规定一阶行列式|A|的值就是A注N阶行列式共有N项且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半在行列式中的行标的排列为123N表明N个元素取自不NPPA21同的行列标的排列为P1P2PN表明N个元素取自不同的列所以表示取自不同行不同列的N个元素的乘积如果P1P2PN为奇排NPPA21列则面冠以负号如果P1P2PN为偶排列则前面NA21NA21冠以正号例5证明N阶行列式NN2121NNN2121解第一式左端称为对角行列式其结果是显然的下面只证第二式若记IAINI1则依行列式定义11,22NNNAA1TA1NA2N1AN11T12N其中T为排列NN121的逆序数故T012N1主对角线以下上的元素都为0的行列式叫做上下三角行列式它的值与对角行列式一样例6证明下三角形行列式NNNNAAAD0021321321解我们要求出展开式中所有可能不为零的乘积项要使取自不同行不同列的N个元素的乘积不一定为零第一行只能取A11第二行只能取A22第三行只能取A33第N行只能取ANN这样的乘积项只有一个这就是A11A22A33ANN因为它的列标排列为标准排列其逆序数为0所以在它前面带有正号因此NNNNAAAD0021321321补充例题例1在6阶行列式DETAIJ中元素乘积A15A23A32A44A51A66前应取什么符号解因为列标排列532416的逆序数为T0121408为偶排列所以在该乘积项的前面应取正号例2用行列式定义计算行列式10D解为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0第1列只能取A21第3列只能取A43第4列只能取A14第2列只能取A32所以四个元素的乘积为A21A43A14A32A14A21A32A43其列标排列为4123它的逆序数为3是奇排列所以D13A14A21A32A43A14A21A32A43165线性变换的矩阵表示式上节例10中关系式TXAXXRN简单明了地表示出RN中的一个线性变换我们自然希望RN中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示为此考虑到1AE12AE2NAENE1E2EN为单位坐标向量即ITEII12N可见如果线性变换T有关系式TXAX那么矩阵A应以TEI为例向量反之如果一个线性变换T使TEIII12N那么T必有关系式TXTE1E2ENXTX1E1X2E2XNENX1TE1X2TE2XNTENTE1TE2TENX12NXAX总之RN中任何线性变换T都能用关系式TXAXXRN表示其中ATE1TE2TEN把上面的讨论推广到一般的线性空间我们有定义7设T是线性空间VN中的线性变换在VN中取定一个基12N如果这个基在变换T下的像用这个基线性表示为NNNAA21221TIA1I1A2I2ANINI12N记T12NT1T2TN上式可表示为T12N12NA其中NNAA21那么A就称为线性变换T在基12N下的矩阵显然矩阵A由基的像T1T2TN唯一确定如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基12N下的矩阵也就是给出了这个基在变换T下的像那么根据变换T保持线性关系的特性我们来推导变换T必须满足的关系式VN中的任意元素记为X11X22XNN12NX其中XX1X2XNT有TX11X22XNNX1T1X2T2XNTNT1T2TNX12NAX即T12NX12NAX这个关系式唯一地确定一个变换T可以验证所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换总之以A为矩阵的线性变换T由关系式T12NX12NAX唯一确定定义7和上面一段讨论表明在VN中取定一个基以后由线性变换T可唯一确定一个矩阵A由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T这样在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系由关系式T12NX12NAX可见与T在基12N下的坐标分别为XX1X2XNT与AXAX1X2XNT例11在PX3中取基P1X3P2X2P3XP41求微分运算D的矩阵解DP1P2P3P43X22X103P22P3P400,43即微分运算D的矩阵为0123A例12在R3中T表示将向量投影到XOY平面的线性变换即TXIYJZKXIYJ1取基为IJK求T的矩阵2取基为IJIJK求T的矩阵解1TIJKIJ001,即T的矩阵为01A2TTIJIJKIJIJ01,即T的矩阵为A由上例可见同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵一般地我们有定理3设线性空间VN中取定两个基12N12N由基12N到基12N的过渡矩阵为PVN中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B那么BP1AP证明按定理的假设有12N12NPP可逆及T12N12NAT12N12NB于是12NBT12NT12NPT12NP12NAP12NP1AP因为12N线性无关所以BP1AP例13设V2中的线性变换T在基12下的矩阵为21AA求T在基21下的矩阵解01,2即10P求得于是T在基21下的矩阵为122100AAAPB定义8线性变换T的像空间TVN的维数称为线性变换T的秩显然若A是T的矩阵则T的秩就是RA若T的秩为R则T的核SR的维数为NR15行列式的性质转置行列式记NNNAAD212112NNNTAD212121行列式DT称为行列式D的转置行列式性质1行列式D与它的转置行列式DT相等证记DDETAIJ的转置行列式NNNTB212112则BIJAJIIJ12N按定义NPPTNPPTTABD2121而由定理2有NPPTAD12故DTD由此性质可知行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立反之亦然性质2互换行列式的两行行列式变号证设行列式NNNBD212112是由行列式DDETAIJ对换IJ两行得到的即BKPAKPKIJBIPAJPBJPAIPP12N于是NJIPPTB1NJIIJTAA1NIJPJIPT1其中1IJN为标准排列T为排列P1PIPJPN的逆序数设排列P1PJPIPN的逆序数为T1则故TTDAADNIJPJIPT11以RI表示行列式的第I行以CI表示第I列交换IJ两行记作RIRJ交换IJ两列记作CICJ推论1如果行列式有两行列完全相同则此行列式等于零证把这两行互换有DD故D0性质3行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数K等于用数K乘此行列式即NNIIINNNIIINAKAAK2111221112第I行或列乘以K记作RIK或CIK推论行列式中某一行列的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面第I行或列提出公因子K记作RIK或CIK性质4行列式中如果有两行列元素成比例则行列式等于零性质5若行列式的某一行列的元素都是两个数之和例如第I行的元素都是两数之和NNNIIINAABBD211121则D等于下列两个行列式之和NNIIINNNIIINABAD2111221112NNIIINNNIIINNNIIIABAAABB21112212121性质6把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去行列式不变即NNIIINA21112NNNJIJIJINAAKK211121NNNJIJIJINNIIIAAKKA2111211以数K乘第J行加到第I行上记作RIKRJ例7计算351102423D解下一步C1C23510243下一步R2R1R45R11下一步R2R372160483下一步R34R2R48R248下一步R3R415023下一步R45R315023例8计算31D解下一步R1R2R3R431下一步R166下一步R2R1R3R1R4R131486206例9计算DCBACBAD36103624解下一步R4R3R3R2R2R1DCBACBAD361036242下一步R4R3R3R2CD0下一步R4R3BACBA3240CD例10证明DD1D2其中NNKNKKBCA0111KKA1NBD12证对D1作运算RIKRJ把D1化为下三角形行列式设为KKKPP01对D2作运算CIKCJ把D2化为下三角形行列式设为NNKNQQ11于是对D的前K行作运算RIKRJ再对后N列作运算CIKCJ把D化为下三角形行列式NNKNKKQCPD00111故DP11PKKQ11QNND1D2例11计算2N阶行列式DCBAN2其中未写出的元素为0解把D2N中的第2N行依次与2N1行、第2行对调作2N2次相邻对换再把第2N列依次与2N1列、第2列对调得DCBADCNN122根据例10的结果有D2ND2D2N1ADBCD2N1以此作递推公式即得D2NADBC2D2N2ADBCN1D2ADBCN例11计算2N阶行列式DCBADN2其中未写出的元素为0解把D2N中的第2N行依次与2N1行、第2行对调作2N2次相邻对换再把第2N列依次与2N1列、第2列对调得DCBADCNN221根据例10的结果有D2ND2D2N1ADBCD2N1以此作递推公式即得D2NADBC2D2N2ADBCN1D2ADBCN16行列式按行列展开在N阶行列式DDETAIJ中把元素AIJ所在的第I行和第J列划去后剩下来的N1阶行列式叫做元素AIJ的余子式记作MIJ记AIJ1IJMIJAIJ叫做元素AIJ的代数余子式例如行列式54325145243211AAD中元素A23的余子式为5431522514312AM元素A23的代数余子式为123M23M23引理在N阶行列式D中如果第I行元素除AIJ外都为零那么这行列式等于AIJ与它的代数余子式AIJ的乘积即DAIJAIJ简要证明NNJJIJNNJIJJNAAA0100212111NIIPPPIJTJI1121NIITIJ1121IJIJJIAAM1定理3行列式等于它的任一行列各元素与其对应的代数余子式乘积的和即DAI1AI1AI2AI2AINAINI12N或DA1JA1JA2JA2JANJANJJ12N简要证明因为NINNNNNINNNIAAAA0000121211212112121根据引理即得DAI1AI1AI2AI2AINAINI12N类似地可证DA1JA1JA2JA2JANJANJJ12N这个定理叫做行列式按行列展开法则例1计算行列式502134解将D按第三列展开应有DA13A13A23A23A33A33A43A43其中A133A231A331A430952363104323A852331041343A所以D31916311801024例2计算N阶范德蒙行列式1122NNNA解第N1行乘A1加到第N行第N2行乘A1加1122NNAD到第N1行第N3行乘A1加到第N2行按第一列展开212120NNAA21231212NNNAAA22331132NNNAAA2A1A3A1ANA1DN1于是DNA2A1A3A1ANA1DN1A2A1A3A1ANA1A3A2ANA2DN2A2A1A3A1ANA1A3A2ANA2ANAN1NJII例2计算N阶范德蒙行列式1212NNAD解第N1行乘A1加到第N行第N2行乘A1加1212NNAD到第N1行第N3行乘A1加到第N2行按第一列展开212120NNAA21231212NNNAAA22331132NNNAA122331132NNNAAA2A1A3A1ANA1DN1于是DNA2A1A3A1ANA1DN1A2A1A3A1ANA1A3A2ANA2DN2A2A1A3A1ANA1A3A2ANA2ANAN1NJII推论行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即AI1AJ1AI2AJ2AINAJN0IJ或A1IA1JA2IA2JANIANJ0IJ证明因为NIJINNIJINIJIJINNJIJIAAAA12211112211所以AJ1AJ1AJ2AJ2AJNAJNAJ1AI1AJ1AJ2AI2AJ2AJNAINAJN移项化简得AI1AJ1AI2AJ2AINAJN0综合结果或NKJKIJID10当当NKJIJID10当当相关结果INIINININNIIIIABABAABAA21121212NJJJNJNJNNJJNABABAB211,1,12,2,111INIINNBAAB21212NJJJNNABBAA21122例3设314250DD的IJ元的余子式和代数余子式依次记作MIJ和AIJ求A11A12A13A14及M11M21M31M41解下一步R4R3R3R131425014312A下一步按第三列展开0下一步C2C1125下一步按第三行展开0425M11M21M31M41A11A21A31A41下一步R4R33140下一步按第三行展开052下一步R12R33105补充题例1分别按第一行与第二列展开行列式1320D解按第一行展开D111101122113321802518按第二列展开D01121122313231101331531518例2计算502143D270131132514961122618249例3计算N阶行列式ABBABD000解按第一行展开得BABABAABBABDN0010000NNA117克拉默法则含有N个未知数N个方程的线性方程组的一般形式为NNNBXAXA2122121由它的系数组成的N阶行列式NNAAD2121称为N元线性方程组的系数行列式克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零即0212112NNNAAD那么方程组有唯一解X12XN其中DJJ12N是把系数行列式D中第J列的元素A1JA2JANJ对应地换为方程组的常数项B1B2BN后所得到的N阶行列式即NJNJNNJJNJAA1,1,12,2,2111证明以行列式D的第JJ12N列的代数余子式A1JA2JANJ分别乘以方程组的第1第2第N个方程然后相加得A11A1JA21A2JAN1ANJX1A12A1JA22A2JAN2ANJX2A1JA1JA2JA2JANJANJXJA1NA1JA2NA2JANNANJXNB1A1JB2A2JBNANJXJ的系数等于DXSSJ的系数等于零等号右端等于D的第J列元素以常数项B1B2BN替换后的行列式DJ即DXJDJJ12N如果方程组有解则其解必满足DXJDJ而当D0时方程组只有形如J12NXJ的解另一方面将J12N代入方程组容易验证它满足方程组DXJ所以J12N是方程组的解XJ综上所述当方程组的系数行列式D0时方程组有且仅有唯一解J12NDXJ例1解线性方程组067452938543214321XX解67412035D20127350273816405981D071226045938D27124于是得31DX42X13DX4X例2设曲线YA0A1XA2X2A3X3通过四点13、24、33、43求系数A0A1A2A3解把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组36414798202AA其系数行列式为4131214232433212111264127938D331186412792D3361492D因此得唯一解A03A22114即曲线方程为32XY定理4如果线性方程组的系数行列式D0则方程组一定有解且解是唯一的定理4如果线性方程组无解或有两个不同的解则它的系数行列式必为零线性方程组右端的常数项B1B2BN不全为零时线性方程组叫做非齐次线性方程组当B1B2BN全为零时线性方程组叫做齐次线性方程组对于齐次线性方程组0212121NNNXAXAX1X2XN0一定是它的解这个解叫做齐次线性方程组的零解如果一组不全为零的数是方程组的解则它叫做齐次线性方程组的非零解齐次线性方程组一定有零解但不一定有非零解定理5如果齐次线性方程组的系数行列式D0则齐次线性方程组没有非零解定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必为零例16问取何值时齐次线性方程组04262ZXY有非零解解若所给齐次线性方程组有非零解则其系数行列式D0而40265D5644446528由D0得2、5或8补充例题例1解线性方程组421331432XX解计算行列式D2012340D1240D24213D304D1123所以1X22D03X214D是所给方程组的解第二章矩阵21矩阵定义1由MN个数AIJI12MJ12N排成的M行N列的矩形数表称为MN矩阵记作MNMNA21其中AIJ称为矩阵的第I行第J列的元素一般情况下我们用大写字母ABC等表示矩阵MN矩阵A简记为AAIJMN或记作AMN若矩阵A的行数与列数都等于N则称A为N阶矩阵或称为N阶方阵N阶矩阵A也记作AN只有一行的矩阵AA1A2AN称为行矩阵或称为行向量行矩阵也记作AA1A2AN只有一列的矩阵NBB2称为列矩阵或称为列向量两个矩阵的行数相等、列数也相等就称它们是同型矩阵如果AAIJ与BBIJ是同型矩阵并且它们的对应元素相等即AIJBIJI12MJ12N则称矩阵A与矩阵B相等记作AB对角矩阵DIAGA1A2AN所有元素均为0的矩阵称为零矩阵记为O例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵343211A其AIJ为工厂向第I个店发送第J种产品的数量这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵421312BB其中BI1为第I种产品的单价BI2为第I种产品的单件重量例2四个城市间的单向航线如图所示若令市没有单向航线市到从条单向航线市有市到从JIAIJ0则图可用矩阵表示为01IJAA一般地若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示例3N个变量X1X2XN与M个变量Y1Y2YM之间的关系式NMMXAAY212表示一个从变量X1X2XN到变量Y1Y2YM的线性变换其中AIJ为常数线性变换的系数AIJ构成矩阵AAIJMN称为系数矩阵给定了线性变换它的系数所构成的矩阵也就确定了反之如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵则线性变换也就确定了在这个意上线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系线性变换NXY21叫做恒等变换它对应的一个N阶方阵10E这种方阵称为N阶单位矩阵简称单位阵线性变换NXY21对应的N阶方阵N021这种方阵称为对角矩阵简称对角阵对角阵也记作DIAG12N由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系因此可以利用矩阵来研究线性变换也可以利用线性变换来解释矩阵的涵义例如矩阵所对应的线性变换0101YX可看作是XOY平面上把向量变为向量的变换由于向OP01XYOP量是向量在X轴上的投影因此这是一个投影变换1OP又如矩阵对应的线性变换COSINICOSSINI1YXY把XOY平面上的向量变为向量设的长度为R辐角为OP1XOP即XRCOSYRSIN那么X1RCOSCOSSINSINRCOSY1RSINCOSCOSSINRSIN表明的长度也为R而辐解为因此这是把向量旋转角的旋转变1POP换22矩阵的运算一、矩阵的加法定义2设有两个MN矩阵AAIJ和BBIJ矩阵A与B的和记为AB规定为ABAIJBIJ即MNMMNBABA21221121例1设则402753A5123B948应该注意只有当两个矩阵是同型矩阵时这两个矩阵才能进行加法运算矩阵加法的运算规律设ABC都是MN矩阵则1ABBA2ABCABC设矩阵AAIJ记AAIJA称为矩阵A的负矩阵显然有AAO由此规定矩阵的减法为ABAB二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记为A或A规定为AAIJ即MNMNAA212112例2设则3210475A33210475960125数乘矩阵的运算规律设A、B都是MN矩阵、是数则1AA2AAA2ABAB矩阵的加法运算与数乘运算合起来统称为矩阵的线性运算例3设求3A2B321047584607512解3A2B3104275846075196312016840926975例4已知310275A8460751B且A2XB求X解522/51/0二、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换132121XAXY223132TB若想求出从T1、T2到Y1、Y2的线性变换可将2代入1便得323212311TBAATBA线性变换3可看成是先作线性变换2再作线性变换1的结果我们把线性变换3叫做线性变换1与2的乘积相应地把所对应的矩阵定义为1与2所对应的矩阵的乘积即322132121131221BABABAA一般地我们有定义4设AAIJ是一个MS矩阵BBIJ是一个SN矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB规定为MN矩阵CCIJ其中I12MJ12NSKJIJIJIJIJBABAC121MNJMIIJIJSNJSJMIISCCBA1122211按此定义一个1S的行矩阵与一个S1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵也就是一个数IJSKIJIJIJISJJIICBABABA121221,由此表明乘积ABC的IJ元CIJ就是A的第I行与B的第J列的乘积必须注意只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时两个矩阵才能相乘例3设求AB0123A12304B解7BA没有意义因为B的列数不等于A的行数例6设求AB及BA214A634解1821463B0显然ABBA可以看出乘法一般不满足交换律两个非零矩阵相乘可能是零矩阵从而不能从ABO推出AO或BO从AXYO不能推出XY例7设求AB及BA102解B3102BA3显然ABBA如果两矩阵A与B相乘有ABBA则称矩阵A与矩阵B可交换矩阵的乘法有下列性质设下列矩阵都可以进行有关运算1ABCABC2ABABAB其中为数3ABCACBC4CABCACB对于单位矩阵E容易验证EMAMNAMNAMNENAMN或简写成EAAEA可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1矩阵称为纯量阵由EAAAEA可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积并且当A为N阶方阵时有ENANANANEN这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的有了矩阵的乘法就可以定义矩阵的幂设A是N阶方阵定义A1AA2A1A1AK1AKA1其中K为正整数这就是说AK就是K个A连乘显然只有方阵它的幂才有意义矩阵的幂满足的运算规律AKLAKALAKLAKL其中K、L为正整数应注意一般来说ABKAKBK只有当A与B可交换时才有ABKAKBK类似地可知只有当A与B可交换时才有AB2A22ABB2ABABA2B2有了矩阵乘法这后线性变换NMMXAXAY2121可记作YAX其中AAIJNXX21MYY21四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫做A的转置矩阵记作AT例如矩阵的转置矩阵为13021023TA转置的运算规律1ATTA2ABTATBT3ATAT4ABTBTAT证明4设AAIJMSBBIJSN记ABCCIJMNBTATDDIJNMABT的第I行第J列的元素就是AB的第J行第I列的元素CJIAJ1B1IAJ2B2IAJSBSIBTAT的第I行第J列的元素是BT的第I行B1IB2IBSI与AT的第J列AJ1AJ2AJST的乘积DIJB1IAJ1B2IAJ2BSIAJSAJ1B1IAJ2B2IAJSBSI因此DIJCJII12NJ12M即ABTBTAT例9已知231010347B求ABT解方法一因为1037402413AB所以17T方法二10347213074TAB设A为N阶方阵如果满足ATA即AIJAJIIJ12N则称A为对称矩阵简称对称阵对称阵的特点是它的元素以对角线为对称轴对应相等例10设列矩阵XX1X2XNT满足XTX1E为N阶单位阵HE2XXT证明H是对称阵且HHTE证明因为HTE2XXTTET2XXTTE2XXTH所以H是对称阵HHTH2E2XXT2E4XXT4XXTXXTE4XXT4XXTXXTE4XXT4XXTE五、方阵的行列式定义6由N阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式记作|A|或DETA由A确定|A|的这个运算满足1|AT|A|2|A|N|A|3|AB|A|B|我们仅证明3设AAIJBBIJ记2N阶行列式BEOABDNN1100则D|A|B|而在D中以B1J乘第1列B2J乘第2列BNJ乘第N列都加到第NJ列上J12N有OECAD其中CCIJCIJB1JAI1B2JAI2BNJAIN故CAB再对D的行作RJRNJJ12N有于是D1N|E|C|1N1N|C|AB|因此|AB|A|B|方阵A的伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式AIJ所构成的如下方阵NNN212121称为矩阵A的伴随矩阵简称伴随阵例9试证AAAA|A|E证明设AAIJ记AABIJ因为JIAABJNIJIJIIJ0|21所以AABIJDIAG|A|A|A|A|E类似地有AA|A|E六、共轭矩阵当AAIJ为复矩阵时用表示AIJ的共轭复数记IJIJA称为A的共轭矩阵共轭矩阵满足的运算规律设A、B为复矩阵为复数且运算都是可行的1B2A3BA25逆矩阵给定一个线性变换NNNXAXAY21221它的系数矩阵是一个N阶矩阵AAIJ若记NXX21MYY21则此线性变换可记作YAX以A的伴随矩阵A左乘上式两端可得AYAAX即AY|A|X当|A|0时可解出X|1记上式可记作|1BXBYXBY表示一个从Y到X的线性变换称为线性变换YAX的逆变换由YAX和XBY可以得到一个从Y到Y的恒等变换YAXABY因此应有ABE由YAX和XBY也可以得到一个从X到X的恒等变换XBYBAX因此应有BAE综合起来有ABBAE从XX1X2XNT到YY1Y2YNT的线性变换可以记作YAX其中A是N阶矩阵如果线性变换YAX存在逆变换XBY则有恒等变换XBYBAX和YAXABY因此应有ABBAE以A的伴随矩阵A左乘YAX的两端可得AYAAX即AY|A|X当|A|0时可解出X|1于是|1B定义7对于N阶矩阵A如果存在N阶矩阵B使得ABBAE则矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的这是因为如果B和B1都是A的逆矩阵则有ABBAEAB1B1AE于是BBEBAB1ABB1EB1B1即BB1所以逆矩阵是唯一的A的逆阵记为A1即若ABBAE则BA1定理1若矩阵A可逆则|A|0证明设A可逆即有A1使AA1E故|A|A1|E|1所以|A|0对于N阶矩阵A当|A|0时称A是奇异矩阵否则称A为非奇异矩阵定理2若|A|0则矩阵A可逆且|1其中A为矩阵A的伴随矩阵证我们曾证明AAAA|A|E因为|A|0故有|1|所以按逆阵的定义即知A可逆且有|1综合起来矩阵A可逆|A|0若A可逆则|1A推论若ABEBAE则BA1证明因为|A|B|10故|A|0因而A1存在于是BEBA1ABA1ABA1EA1逆矩阵的性质1若A可逆则A1也可逆且A11A2若A可逆数0则A可逆且13若A、B为同阶可逆矩阵则AB亦可逆且AB1B1A1这是因为ABB1A1ABB1A1AEA1AA1E4若A可逆则AT也可逆且AT1A1T这是因为ATA1TA1ATETE当|A|0时还可定义A0EAKA1K其中K为正整数这样当|A|0为整数时有AAAAA例1求二阶矩阵的逆阵DCBA解|A|ADBC所以当|A|0时有ACBDA1|1提示A11DA12CA21BA22A例2求方阵的逆阵342解由|A|20得知A1存在因为256342311所以1253256341|1A提示2341A31413621622A351323例3