高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇芆蒃罿肃节蒃蚈羆膈蒂螁膁蒇蒁袃羄莃蒀羅腿艿蕿蚅羂膅薈螇膈肁薇袀羀葿薇虿膆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂蚂螈肅芈蚂袀袈膄蚁薀肄肀蚀螂袆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆蚆蝿羃蒅螆袁腿莁螅羄羁芇螄蚃膇膃莀袆羀腿荿羈芅蒇荿蚈肈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒅蚄肅莀蒄螆袇承诺我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。专业班级学号学生签名高等数学上册试题答案及复习要点汇总（完整版）闭卷（）三四总分题号一二123456712五分值10157777777998阅卷人全名考生注意事项1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题每题2分，共10分_01AXAEXF2132LIM0FFX_39F141DXFX_COS5XY二、选择题每题3分，共15分1D2CB4AINSI1LX21D21A4SINCO2TTY得分评阅人年得分评阅人363221COSCYCXCXCXCXD2222COS1DCOS1COSBCOSADIN33125B4YYY2D1C0B1A02LIMXDTEX三、解答题每题7分，共49分62LIBAAXX解12BX2LIMXAX6102BA31LN2I0XX解L0X1LNIM0XX201IXX21得分评阅人得分评阅人COS3INDYXY解两边取对数得XCOSLNILXYICOS1TASILINXDXYDXXTANSICOLNSCOSIN442DX解TTXANSECSECDT2ANTDT1SEC2CTANXX2ROS42得分评阅人得分评阅人LN512DXXE解31LNDXEEEXD13LNX23E192321LN2146XY解XDYS212X212LN43得分评阅人得分评阅人LN721EYXYX解UDX1LNUCLNL1XEY21XEY四、综合题每题9分，共18分12XEF解X210F0XFXFX1221EXXEF241001XFXFX2E得分评阅人得分评阅人18624XEYY解02R421RXXECYYY42108642RXEBAY412XBA124BA3XEXY4XXEC42131五、证明题8分DXFDXF2020COSSIN11证证TT21LIM0XXCOSSIN0220DTFDXF10XXF01得分评阅人得分评阅人22X2大一上学期高数期末考试一、单项选择题本大题有4小题,每小题4分,共16分10SINCOXXF（A）02（B）01F（C）F（D）FX不可导2131（A）X与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）X与是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）X是比高阶的无穷小3若02XFTFTD，其中FX在区间上1,二阶可导且0F，则（）（A）函数必在处取得极大值；（B）函数X必在处取得极小值；（C）函数在0处没有极值，但点0,F为曲线YFX的拐点；（D）函数F在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4,210FDTFXFF（A）2X（B）2X（C）（D）二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5XXSIN2031LIM6,COFXFDCOS7LISCOSCS2221NNN82121ARIDXX三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9设函数Y由方程SIN1XYE确定，求YX以及0Y10D17X111320DXFXXEF12设函数F连续，10GFTD，且0LIMXA，为常数求GX并讨论X在处的连续性13求微分方程2LNYX满足19Y的解四、解答题（本大题10分）14已知上半平面内一曲线0Y，过点,1，且曲线上任一点MXY,0处切线斜率数值上等于此曲线与X轴、Y轴、直线X0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程五、解答题（本大题10分）15过坐标原点作曲线XYLN的切线，该切线与曲线LN及X轴围成平面图形D1求D的面积A；2求D绕直线XE旋转一周所得旋转体的体积V六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16设函数XF在0,1上连续且单调递减，证明对任意的,01Q，00QDQFDX17设函数XF在,上连续，且00XDF，0COSDXF证明在,内至少存在两个不同的点21,，使21（提示设XDFF0）解答一、单项选择题本大题有4小题,每小题4分,共16分1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）56E6CX2OS1783三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9解方程两边求导1COS0XYYCOSXYEY0,，0110解76UDU12DLN|2L|1|7C71|XXC11解012330FDEXD010X23COSSINE321412解由0F，知0G。100XTUFDGXFD0X02X020ALIMLI2XXXFUDFG0200LILIXXFU，GX在0处连续。13解NDY2LXDEXC21L39,0YC，1LN39Y四、解答题（本大题10分）14解由已知且02DXYY，将此方程关于求导得特征方程R解出特征根2,1R其通解为XXECY21代入初始条件0，得3,21C故所求曲线方程为XXEY3五、解答题（本大题10分）15解（1）根据题意，先设切点为LN,0X，切线方程1LN00XXY由于切线过原点，解出EX0，从而切线方程为EY1则平面图形面积1012DYAY（2）三角形绕直线XE一周所得圆锥体体积记为V1，则23E曲线YLN与X轴及直线XE所围成的图形绕直线XE一周所得旋转体体积为V21022DYVD绕直线XE旋转一周所得旋转体的体积3125621E六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16证明100QFDXFDX100QQQFXFDXF101QQFF1212,1120QFFFQ故有100QFXDFXD证毕。17证构造辅助函数XDTFXF0,0。其满足在,0上连续，在,0上可导。FX，且由题设，有000SINCOCOSS|DXFF，有0SINXDF，由积分中值定理，存在,，使I即综上可知,0,F在区间,0上分别应用罗尔定理，知存在,01和,2，使1及2F，即021F高等数学（上）试题及答案一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数，则（）XFLIM0XFA、0B、C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）ABCD1LNXLNX0COSX242X3、满足方程的是函数的（）0FFYA极大值点B极小值点C驻点D间断点4、下列无穷积分收敛的是（）A、B、C、D、0SINXDDXE02DX01DX015、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMBA、B、C、D、342二、填空题（每小题3分，本题共15分）1、。_LIM20XX2、当K时，在处连续0E2XKFX3、设,则XYLN_DY4、曲线在点（0，1）处的切线方程是EX5、若，为常数，则。CDF2SINXF三、计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限。XX2SIN4LM02、求极限1LI0XE3、求极限2COS102LIMXDT4、设，求LN5EYY5、设由已知，求XFTARCN1L22DX6、求不定积分X3SI27、求不定积分EDCO8、设，求01XEXF20D1XF四、应用题（本题7分）求曲线与所围成图形的面积A以及A饶轴旋转所产生的旋转体的体积。2XY2YY五、证明题（本题7分）若在0,1上连续，在0,1内可导，且，证明F01FF12F在0,1内至少有一点，使。1F参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）1、2、K13、4、5、6EX11YXF2COS二单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三计算题（本题共56分，每小题7分）1解7分XXSIN4LM08124SINLM2142SINL00XXX2解7分LILI1LI1LI0000XXXXXXXXEEEE3、解7分2COS102LIMXDTXEXX21SINL2COS04、解4分122XXY7分25、解（4分）TDXY21（7分）222314YTDXTTDX6、解（7分）CXDXX3COS2SIN213SIN127、解XXEECOSDS2分INDXX3分XESICOEX5分DCOSINXXX7分CXEXCOSI8、解2分0110120DDXFFFXF3分001XEX5分1001LNDXEX6分2LLN01X7LL1EE分四应用题（本题7分）解曲线与的交点为（1，1），12XY2Y分于是曲线与所围成图形的面积A为224分31302102XDXAA绕轴旋转所产生的旋转体的体积为Y7分10521042YDYV五、证明题（本题7分）证明设，2分XFXF显然在上连续，在内可导，1,21,2且，00F由零点定理知存在，使4分1,2X1X由，在上应用罗尔定理知，至少存在一点0F,1，使，即7分,1X01FF1F第一章函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。1、函数一、集合、常量与变量1、集合集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物A是集合M的一个元素，就记AM（读A属于M）；若事物A不是集合M的一个元素，就记AM或AM（读A不属于M）；集合有时也简称为集。注1若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2集合的表示方法等。中在点；为我校的学生；须有此性质。如中的元素必中，且，即有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，然数集，为全体自，写出，如元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法,0375642321,0,23DYXYXCXBXXAAIBIA3全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4集合间的基本关系若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就AXBX称A为B的子集，记为,或读B包含A。B显然RQZN若,同时,就称A、B相等,记为AB。5当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次如1,2,2,31,2,3。6不含任何元素的集称为空集,记为,如,空集是RXX,01212X任何集合的子集,即。7区间所有大于A、小于B的实数组成一个集合,称之为开区间,记为A,B,即A,B。BXA同理A,B为闭区间，和分别称为左X,BXAB,BXA闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。以上均成为有限区间，A、B分别称为左、右端点。对无穷区间有，RXXAX,在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。8邻域设A和为两个实数，且0集合称为点A的邻域，记为,AAUA为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，。,AXU同理我们称为A的去心邻域，或A的空心邻域。0,A9集合的内容很多，其它内容如集合的运算在此不作一一介绍了。2、常量与变量在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注1常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。2常量一般用A,B,C等字母表示，变量用X,Y,U,T等字母表示，常量A为一定值，在数轴上可用定点表示，变量X代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如表示可代表中的任一个数。,BAXX,BA二、函数的概念【例】正方形的边长与面积之间的关系为，显然当确定了，也就确定了。XS2XSXS这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义设和为两个变量，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则XYDD变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为数集称为该函FYXXFY数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。XY当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数XD0FXFY0值组成的集合称为函数的值域。,XFYWF注1函数通常还可用等表示。,TUSFYG2约定函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。【例1】的定义域为，值域为。XYSIN,1,【例2】的定义域为，值域为。10【例3】的定义域为，值域为。0112XXY1,2,0【例4】的定义域为，的定义域为，从而显然F,XH,0,。XHF3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不DYXFY止一个与之对应，就称为多值函数。如等。以后若不特别声明，只讨Y1,22XX论单值函数。4、函数的表示法有三种解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是当自变量在上取值，其函X1,0数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为。（这种函数称为2X21XFX0,1分段函数，在以后经常遇见，希望注意）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐DYXY标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时，便得到一个点集XD，我们称之为函数的图形。换言之，当在中变动时，点,XFYCXFD的轨迹就是的图形。X【例5】书上的几个例子。（同学们自己看）【例6】例3的图形如下图三、函数的几种特性1、函数的有界性设在上有定义，若对，使得，就称XFYD0,MDXMXF在上有界，否则称为无界。XFD注1、若对，使得，就称在上有上下界。在XMXFFXFXF上有界在上同时有上界和下界。F2、在上无界也可这样说对，总，使得。XD0DX0MXF0【例7】上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。2、函数的单调性设函数在区间上有定义，若对，当时总有XFIIX21、21X（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，21FXFFF就称在上严格单调递增。I（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，21XFFXFI21XFF就称在上严格单调递减。XI注1、此处的定义与书上有区别，希望注意2、2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。3、3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。【例8】符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。【例9】在上是严格单减函数。XY1,0【例10】例3中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在1,0,1上是严格单增的。1,03、函数的奇偶性设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，XFDDXX1若对，有恒成立，就称为偶函数。DXXF2若对，有恒成立，就称为奇函数。XFF【例11】，,是偶函数，是奇函数。2XYCOSY3XYXSINXYSG，是非奇非偶函数。32XYXIN【例11】是奇函数。1L2Y注1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。Y2、若是奇函数，且，则必有。XFD00F3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性设函数的定义域为，如果，使得对，有，且XFLDXL恒成立，就称为周期函数，称为的周期。XFLFXF【例12】分别为周期为的周期函数，为周期为1TGXYY,COS,SIN,2XY的函数。注1若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周LXFL4,32XF期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么）例如，设有最小正周期。1COSSIN22XY2周期函数在一每个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的1,LKALAK形状。四、反函数设的定义域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的XFDWYDXYXF可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，YXY称之为函数的反函数，而叫做直接函数。XFYF注1反函数的定义域为，值域为；D2由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还XFY作研究；3在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，YYXXY的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，XFYXY表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说若“的反函数为，那么也是的反函数，且后者较常用；XFYYXXXFY4反函数的图形与直接函数的图形是对称于（证明很简单，大家自YFXY己看书）；5有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。【例13】函数的反函数分别为或分别为32,XYBAXY31,YXABYX。31,ABXY1、2初等函数一、幂函数形如（为常数）的函数叫做幂函数。XY其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论（1）当为非负整数时，定义域为；,（2）当为负整数时，定义域为；0（3）当为其它有理数时，要视情况而定。【例1】的定义域为；31XY,的定义域为；432,0的定义域为。1XY,（4）当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总,过（1，1）点，当0时，还过（0，0）点。二、指数函数与对数函数1、指数函数形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总1,AYX,在轴上方，且过（0，1）点，X（1）当时，是单调增加的；AX（2）当时，是单调减少的；1AY以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，EYX,与关于轴对称。XAYXY2、对数函数指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，XAYAXYLOG1,0A其定义域为，由前面反函数的概念知的图形和的图形是关于对,0XYLOGXY称的，从此，不难得的图形，XYALOG的图形总在轴右方，且过（1，0）点XYALOG（1）当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；1XYAL,1（2）当1时，单调递减，且在（0，1）为正，上为负；0OG特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。AEXYLN三、三角函数与反三角函数1、三角函数三角函数主要是正弦函数,SINXY余弦函数CO正切函数,2102TANNXY余切函数,C正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个正割和余割，其图形在此不做讨论了。XYCOS1EXYSIN1C2、反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为反正弦函数1,SIARCY反余弦函数OX反正切函数,TANRCY反余切函数XA显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，XARCYSIN2,XYARCSIN叫做主值区间，显然，2,2ARCSINX同理将限制在上，得XRCYOS,0YRCOS将限制在上，得ATAN2XATN将限制在上，得XRCY,RCY从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。SIXRCTAOSXARCT四、复合函数和初等函数设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于UFY1DXU2D2W12D，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，2XX12W1UUFYY因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我2YX们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中UFYXUXFY为中间变量。U【例1】就是和复合而成；X2SIN2YSIN就是和复合而成。COYUCO2X注1并非任何两函数都可以复合的，例如和不能复合；ARSIN2和也不能复合。UY1X2复合可推广到三个或更多的函数上去，如就是复合成的。2TANLXXVUYLN,TAN23在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时FXFYXGY候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。F2、初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。【例2】等都是初等函数。XYXYXYXXSIN1ARCT,TANL,SI,21,22本教材讨论的主要都是初等函数。五、双曲函数和反双曲函数双曲正弦,2XESHXYX双曲余弦,2XECHXYX双曲正切,ESTX反双曲正弦,1LN2XARSHXY反双曲余弦1XC（多值函数取“”号为主值）L2XY反双曲正切,1LNXXARTH由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。1、3数列的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这样的话来定义定义数列是定义在自然数集上的函数，记为，由于全体自然数可以3,21,NFXN从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列，这就是最NX常见的数列表现形式了，有时也简记为或数列。数列中的每一数称为数列的项，NXN第项称为一般项或通项。NX【例1】书上用圆内接正边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列126N（多边形的面积数列）,2NA【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列，通项为。,1,13NN21【例3】,134,2,64N都是数列，其通项分别为。NN1,2,11注在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将依次在数轴上描出点的位置，我们NX能否发现点的位置的变化趋势呢显然，是无限接近于0的；是无限增大N1,2N2的；的项是在1与两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1N11。对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。我们来观察的情况。从图中不难发现随着的增大，无限制地接近1，亦即N1N1充分大时，与1可以任意地接近，即可以任意地小，换言之，当充分大时NN可以小于预先给定的无论多么小的正数。例如，取，由110，即从第101项开始，以后的项10NNN1都满足不等式，或者说，当时，有。,23,10X0NX10N10N同理，若取，由，即从第10001项开始，以011N后的项都满足不等式，或说，当时，,123,120XX0NX10N有。一般地，不论给定的正数多么小，总存在一个正整数，当时，NN有。这就充分体现了当越来越大时，无限接近1这一事实。这个数“1”称1NN为当时，的极限。NN1定义若对（不论多么小），总自然数，使得当时都有成立，00NNNAXN这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（ANXNXALIM）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。N【例4】证明数列收敛于1。,1,342N证明对，要使得，只须，所以取，当时，有0N1NNN，所以。N11LIMN注1是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，NXA但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它2,们也可代替）2是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关NNN系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，NAXN而不必求最小的。【例5】证明。1LIM2NAN证明对，因为,因为0NNANNA2221（此处不妨设，若，显然有）A0LIM2N所以要使得，只须就行了。12NA2即有所以取，当时，因为有2AN2ANNNNA2，所以。12N1LIM2N注3有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小），若放大NAXN后小于，那么必有。AXN【例3】设，证明的极限为0，即。1Q,12NQ0LIM1NQ证明若，结论是显然的，现设，对，（因为越小越好，不妨设），001要使得，即，只须两边放对数后，成立就行了。因1N1NLN1为，所以，所以。0Q0LQQNQLL取，所以当时，有成立。NLN1NN01N收敛数列的有关性质定理1（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。NX证明设和为的任意两个极限，下证。ABBA由极限的定义，对，必分别自然数，当时，有1021,N1NAXN当时，有2令，当时，（1），（2）同时成立。2NNBXNMX现考虑2ABAANNNN由于均为常数，所以的极限只能有一个。B,BX注本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。【例4】证明数列是发散的。1NNX证明（反证法）假设收敛，由唯一性，设，按定义，对自然数，当AXNLIM,21N时，考虑，而，N2AXN11AXNNNX总是一个“1”，一个“”，所以,所以矛盾，1NX1NX所以发散。NNX定理2（有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即对于数列，若正数，对一NNXM切，有。NMXN证明设，由定义对自然数当时，所以当时，ALIM,1,NN1AXNN，令，显然对一切，。XN1,21XANNX注本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但函1NN1数收敛。此点希望注意1、4函数的极限由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，因此，数列是函数的一种特性情NFX况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面一、自变量任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记）时，相应的函数X00X0X值的变化情况。XF二、当自变量的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记）时，相应的函数值XXX的变化情况。XF一、自变量趋向有限值时函数的极限0X与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限可理解为当时，0X0X（为某常数），即当时，与无限地接近，或说可任意小，亦AXF0XFAAXF即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当与充分接近时，可使得小于。X0F用数学的语言说，即定义1如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式00X的一切所对应的函数值满足，就称常数为函数当XXFAXFAF时的极限，记为0，或（当时）AXFNLIMXF0X注1“与充分接近”在定义中表现为，有，即。显然00X,0XU越小，与接