高等数学-华南理工大学高等数学统考试卷下1994

1994高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（12分）1与三点决定的平面垂直的单位向量3,1,3,21MA,372设正向一周，则12YXLLXDYE2答2,0XEQP2XPQDXXXXLXDEDYEDYYE112104222223级数的收敛半径12NNR二、计算下列各题（本大题分4小题，共21分）1计算二次积分02DR解382002DR2设是连结点的折线，计算曲线积分L,1,CBALDSYX2解,01XYXBYX3,1023ABBCLDSYDSDSY222XXX3221222862939632213221XDD3求微分方程满足的的特解XY0Y解,2DXYEXC2,LN2LN将代入得；特解1,0Y1,C4设，而，其中二阶可导，求2UFXZXYUFYXZ222FYFFF112UFFXUFYFXUFYXZ三、证明下列各题（共10分）1求证BABA2证明2AB2设与函数都是方程的解，试证明1XY221XQYPXYP函数是其对应的齐次方程的解。证明由已知1121PXYXYQ2P两式相减112120XYXYXY即满足，是对应的齐次方程的解21Y四、根据题目要求解答下列各题（共10分）1写出方程的待定特解的形式。（一次，）XY30解不是特21210,0,3,XRRRFXPE征根，为方程的待定特解的形式YAXB2判断的敛散性123N解发散,LIM判断级数的敛散性112532NN解，3211NNU122LIMLI311NNNU收敛,0五、若幂级数的收敛域为，写出幂级数的收敛域，并说1NXA4,12NXA明理由。解在处收敛，即，故当内，绝对收敛，而1NX41NA4X1NX级数，当时得，故当时级数1122NNXAA1N2收敛。12NX又因当时发散，故当时41NXA42X1122NNXAXA综上所述，的收敛域为12N,六、计算，其中积分区域是由DXYZXI22与确定1,2ZZYX0解DDDICOS2COS140COS2S1402SININSIN2476COS23SICO21S4040七、（1）计算二重积分，其中是第一象限中由直线和曲线DXDYE2XY围成的区域。3XY解DXXXDEDEDYEDYE1010102232212211201022EDXEXXX（2）设连续，求,YFFXBBADYFI,0AAAAAXXBBXBBABXFBFDDXI00,FAF八、计算其中是四面体的界面。2,1DSXY0,1YXZYX解,0,04321ZZZ1111222000XYXXDDSDDYDYA100LNL21112220001ZXZZDDSDDXDYYX，同理100LNLNZ32LN1SYA对4,XYZXYDSXY4223LN112XYDDSA所以原式3LN九、已知物体的散热速率和它的周围介质的温度差成正比，假设周围DTT0T介质保持,如一物体由冷却到须经过20分钟，问需要经过CT20C1060多少时间方可使此物体的温度从开始时降到C3解,2,20KTKTDTKKDTCETT由于01,80,2KTTCTE由0LN26,当时（分钟）3120L83,LN6KTTET十、求点到曲面的距离0,102XYZ解设曲面上的点22,1DYZ求在条件下的最小值22UXYZXZ代入。得2Z2UXY10,0XYYZU由于驻点惟一，有实际问题可知即为所要求的22101D十一、判别级数是否收敛如果是收敛的，