中考数学总复习 第15讲 直角三角形（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 北师大版

第15讲直角三角形考纲要求备考指津1了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，主要考查以下几个方面1由直角三角形的三边关系来求解有关线段的长度；2由给定的线段长确定三角形的形状；3运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题考点一直角三角形的性质1直角三角形的两锐角互余2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方考点二直角三角形的判定1有一个角等于90的三角形是直角三角形2有两角互余的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形1如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE_2下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是A3,4,5B6,8,10C，2，D5,12,1335一、勾股定理【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6CM，BC8CM，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长解设CDX，由折叠得ACDAEDAEAC6CM，AEDC90，DECDX在RTABC中，AC6CM，BC8CM，AB10CMAC2BC26282EBABAE1064CM，BDBCCD8XCM，在RTDEB中，由勾股定理得DE2BE2DB2X2428X2，解得X3CMCD的长为3CM勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6M，8M，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8M为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长二、勾股定理的逆定理【例2】如图，四边形ABCD中，A90，AB3，AD4，CD13，CB12，求四边形ABCD的面积解在RTABD中，BD5，AD2AB24232在BCD中，CD13，CB12，BD5，CB2BD2CD2DBC90S四边形ABCDSABDSDBCABADBCBD341256303612121212题目中如果知道一个三角形的三边时，首先要根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，是直角三角形，就可以利用直角三角形的性质，使问题易于解决三、勾股定理的实际应用【例3】如图所示，铁路上A，B两站视为直线上两点相距14KM，C，D为两村庄可看为两个点，DAAB于A，CBAB于B，已知DA8KM，CB6KM，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少KM处分析因为DAAB于A，CBAB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解设E站应建在距A站XKM处，根据勾股定理有82X26214X2，解之得X6所以E站应建在距A站6KM处勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它能建立三条边之间的等量关系，为列方程提供依据12012广东广州在RTABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是ABCD36512259433422011安徽如图，四边形ABCD中，BADADC90，ABAD2，CD，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为2232A1B2C3D432011黑龙江哈尔滨如图，在RTABC中，ACB90，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE2，CD2，则BE的长为_542011山东日照如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA1求证DE平分BDC；2若点M在DE上，且DCDM，求证MEBD1满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是AB2C2A2BABC345CCABDABC1213152一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是A5B25C5或25D无法确定773如图，在RTABC中，ACB90，CDAB于点D已知BC8，AC6，则线段CD的长为A10B5CD2451254直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是CEBCABCD24773724135如图，已知ABC中，AB5CM，BC12CM，AC13CM，那么AC边上的中线BD的长为_CM6将一副直角三角板如图所示放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为_7图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RTABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长图乙中的实线是_图甲图乙8如图，已知ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACBDCE90，D为AB边上一点求证1ACEBCD；2AD2AE2DE29在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B1在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；2当三角尺沿AC方向平移到图所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E，此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；3当三角尺在2的基础上沿AC方向继续平移到图所示的位置点F在线段AC上，且点F与点C不重合时，2中的猜想是否仍然成立不用说明理由参考答案基础自主导学自主测试142C规律方法探究变式训练解在RTABC中，AC8，BC6，由勾股定理得，AB10，扩充部分为RTACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况AC2BC21如图1，当ABAD10时，可求得CDCB6，故ABD的周长为32M2如图2，当ABBD10时，可求得CD4，由勾股定理得AD4，AC2CD25故ABD的周长为204M53如图3，当AB为底时，设ADBDX，则CDX6，由勾股定理得X6282X2，则X，故ABD的周长为M253803图1图2图3知能优化训练中考回顾1A2B3424证明1在等腰直角ABC中，CADCBD15BADABD451530BDADBDCADCDCADCB45由BDMABDBAD303060，EDCDACDCA154560，BDMEDCDE平分BDC2如图，连接MCDCDM，且MDC60，MDC是等边三角形，即CMCD又EMC180DMC18060120，ADC180MDC18060120，EMCADC又CECA，DACCEM15ADCEMCMEADDB模拟预测1D2C3C4C5656757768证明1ACBDCE90，ACEBCDCECD，CACB，ACEBCD2由1得CAEB，CAEBAC90AD2AE2DE29解1BFCG；证明在ABF和ACG中，F