新课标人教a版高中数学必修2全套教案

高中数学教案（人教A版必修全套）【必修2教案全套】目录第一章空间几何体111空间几何体的结构1111柱、锥、台、球的结构特征1112简单组合体的结构特征12121中心投影与平行投影17122空间几何体的三视图17123空间几何体的直观图2713空间几何体的表面积与体积35131柱体、锥体、台体的表面积与体积35第二章点、直线、平面之间的位置关系55212空间中直线与直线之间的位置关系64213空间中直线与平面之间的位置关系7122直线、平面平行的判定及其性质80221直线与平面平行的判定80223直线与平面平行的性质86222平面与平面平行的判定94224平面与平面平行的性质9423直线、平面垂直的判定及其性质100231直线与平面垂直的判定100232平面与平面垂直的判定108233直线与平面垂直的性质117234平面与平面垂直的性质122第三章直线与方程13131直线的倾斜角与斜率131311倾斜角与斜率131312两条直线平行与垂直的判定13632直线的方程139321直线的点斜式方程139322直线的两点式方程144323直线的一般式方程14933直线的交点坐标与距离公式153331两条直线的交点坐标153332两点间的距离157333点到直线的距离160334两条平行直线间的距离160第四章圆与方程16441圆的方程164411圆的标准方程164412圆的一般方程17142直线、圆的位置关系178421直线与圆的位置关系178422圆与圆的位置关系192423直线与圆的方程的应用19743空间直角坐标系204431空间直角坐标系204432空间两点间的距离公式210第一章空间几何体本章教材分析柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质本章中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积因此，在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练由于受有关线面位置关系知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，少问为什么，多强调感性认识要准确把握这方面的要求，防止拔高教学重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的重要作用为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生的实际,合理地进行取舍本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）111柱、锥、台、球的结构特征约1课时112简单组合体的结构特征约1课时121中心投影与平行投影122空间几何体的三视图约1课时123空间几何体的直观图约1课时131柱体、锥体、台体的表面积与体积约1课时132球的体积和表面积约1课时本章复习约1课时11空间几何体的结构111柱、锥、台、球的结构特征整体设计教学分析本节教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律值得注意的是由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受三维目标1掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力2能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想重点难点教学重点柱、锥、台、球的结构特征教学难点归纳柱、锥、台、球的结构特征课时安排1课时教学过程导入新课思路1从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢引出课题柱、锥、台、球的结构特征思路2在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流教师对学生的活动及时给予评价引出课题柱、锥、台、球的结构特征推进新课新知探究提出问题1观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么图12你能给出多面体和旋转体的定义吗活动让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示1根据围成几何体的面是否都是平面来分类2根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体讨论结果1通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同样的特点组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体2多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点按围成多面体的面数分为四面体、五面体、六面体、，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥棱柱、棱锥、棱台均是多面体旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体提出问题1与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征2请给出棱柱的定义3与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征4请给出棱锥的定义5利用同样的方法给出棱台的定义活动学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示对于1、3，可根据围成多面体的各个面的关系来分析对于2,利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱对于4,利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥对于5,利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台讨论结果1特点是有两个面平行，其余的面都是平行四边形像这样的几何体称为棱柱2定义两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点表示法用表示底面各顶点的字母表示棱柱分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱3其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥4定义有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱表示法用顶点和底面各顶点的字母表示分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥5定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点表示法用表示底面各顶点的字母表示棱台分类按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台提出问题1与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征2请给出圆柱的定义3其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征4请给出圆锥的定义5类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义6用同样的方法给出球的定义讨论结果1静态的观点有两个平行的平面，其他的面是曲面；动态的观点矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体像这样的旋转体称为圆柱2定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线表示圆柱用表示轴的字母表示规定圆柱和棱柱统称为柱体3静态的观点有一平面，其他的面是曲面；动态的观点直角三角形绕其一直角边旋转形成的面围成的旋转体像这样的旋转体称为圆锥4定义以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线表示圆锥用表示轴的字母表示规定圆锥和棱锥统称为锥体5定义以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线表示圆台用表示轴的字母表示规定圆台和棱台统称为台体6定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径表示用表示球心的字母表示知识总结1棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示结构特征棱柱棱锥棱台定义两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台底面两底面是全等的多边形多边形两底面是相似的多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两底面是全等的多边形与底面是相似的多边形与两底面是相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球底面两底面是平行且半径相等的圆圆两底面是平行但半径不相等的圆无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无平行于底面的截面与两底面是平行且半径相等的圆平行于底面且半径不相等的圆与两底面是平行且半径不相等的圆球的任何截面都是圆轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆3简单几何体的分类球圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体简单几何体应用示例思路1例1下列几何体是棱柱的有（）图2A5个B4个C3个D2个活动判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意棱柱的结构特征有三方面有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱很明显，几何体均不符合，仅有符合答案D点评本题主要考查棱柱的结构特征本题容易错认为几何体也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述变式训练1下列几个命题中，两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱其中正确的有_个（）A1B2C3D4分析中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以是错误的；中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；很明显是正确的答案A2下列命题中正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点答案D3下列命题中正确的是（）A以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径分析以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以B不正确；圆锥仅有一个底面，所以C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以D不正确很明显A正确答案A思路2例1（2007宁夏模拟，理6）长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（）ABCD3023活动解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想解如图3，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，BB11图3如图4所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,图4则有AC1，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；265226如图5所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是；323图5如图6所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,图6则有AC1，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是524252由于，336所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为23答案C点评本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想求表面上最短距离可把图形展成平面图形变式训练1图7是边长为1M的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线图7图8分析制作实物模型略通过正方体的展开图8可以发现,AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点具体爬行路线如图9中的粗线所示,我们要注512意的是爬行路线并不唯一解爬行路线如图916所示图92（2006江西高考，理15）如图10所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_图10分析将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如图11所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是图11中ADDA1延长A1F至M，使得A1FFM，连接DM，则A1DDM，如图12所示图11图12则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是图12中线段AM的长在图12中,AA1M是直角三角形，则AM1022218M答案10知能训练1（2007广东中山二模，文2）如图13，观察四个几何体，其中判断正确的是（）图13A（1）是棱台B（2）是圆台C（3）是棱锥D（4）不是棱柱分析图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；图（2）上下两个面不平行，所以（2）不是圆台；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；很明显（3）是棱锥答案C2下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）A圆柱B圆锥C球D圆台分析圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，所以A、B、D均不正确答案C3（2007山东菏泽二模，文13）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中ABC_图14分析如图15所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则ABC90图15答案904（2007山东东营三模，文13）有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是_图16分析正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、O、P、D，因此只能是标有“P”与“D”的面是同一个面，P与D是一个字母；翻转图，使S面调整到正前面，使P转成D，则O为正下面，所以H的反面是O答案O5圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392CM2，母线与轴的夹角是45，求这个圆台的高、母线长和底面半径分析这类题目应该选取轴截面研究几何关系解圆台的轴截面如图17，图17设圆台上、下底面半径分别为XCM和3XCM，延长AA1交OO1的延长线于S在RTSOA中，ASO45，则SAO45所以SOAO3X所以OO12X又（6X2X）2X392，解得X7，21所以圆台的高OO114CM，母线长LOO1CM，而底面半径分别为7CM和21CM,24即圆台的高14CM，母线长CM，底面半径分别为7CM和21CM46（2005全国高中数学竞赛浙江预赛，4）正方体的截平面不可能是钝角三角形直角三角形菱形正五边形正六边形下述选项正确的是（）ABCD分析正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）答案B拓展提升1有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗分析如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱图18由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征有两个面互相平行；其余各面都是四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗剖析如图19所示，将正方体ABCDA1B1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和CB1C1D1，得如图20所示的几何体图19图20图20所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征有一个面是多边形；其余各面都是三角形；这些三角形面有一个公共顶点这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征课堂小结本节课学习了柱体、锥体、台体、球体的结构特征作业1如图21，甲所示为一几何体的展开图图211沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体试用文字描述并画出示意图2需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6CM的正方体请在图乙棱长为6CM的正方体ABCDA1B1C1D1中指出这几个几何体的名称答案1有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图22甲所示图222需要3个这样的几何体，如图22乙所示分别为四棱锥A1CDD1C1，A1ABCD，A1BCC1B12如图23，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置29图23分析把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离,即确定了P点的位置解如图24所示，把正三棱锥展开后，设CPX,图24根据已知可得方程22（3X229解得X2所以P点的位置在离C点距离为2的地方设计感想本节教学设计，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求降低逻辑推理，通过直观感受和操作确认来设计在使用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾112简单组合体的结构特征整体设计教学分析立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征三维目标1掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力2能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想重点难点描述简单组合体的结构特征课时安排1课时教学过程导入新课思路1在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗我们的教学楼的形状是柱体吗钢笔、圆珠笔呢这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢教师指出课题简单几何体的结构特征思路2现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是简单几何体的结构特征推进新课新知探究提出问题请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的图1观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体它们之间具有怎样的关系活动让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示略图1中的三个组合体分别代表了不同形式学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示讨论结果由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成图1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体常见的组合体有三种多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合其基本形式实质上有两种一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1（2）所示的组合体常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征1长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径应用示例思路1例1请描述如图2所示的组合体的结构特征图2活动回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断解图2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体点评本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力变式训练如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线L旋转180，想象并说出它形成的几何体的结构特征图3答案一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球例2连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体并画图表示该几何体活动先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可连接相应点后,得出图形如图41，再作出判断12图4解如图41，正方体ABCDA1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱该多面体的图形如图4（2）所示点评本题中的八面体，事实上是正八面体八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线变式训练连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体答案六面体（正方体）思路2例1已知如图5所示，梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征图5图6活动让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征解如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体点评本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体变式训练如图7所示，已知梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征图7图8答案如图8所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体例2如图9（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别图9活动让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生解图9（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图9（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体点评考查空间想象能力和组合体的概念变式训练如图10，说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成图10答案图10（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图10（2）中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体知能训练1（2005湖南数学竞赛，9）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A64B66C68D70分析由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数答案B2图11是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成图11答案奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放着一个球拓展提升1请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形活动静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状探究本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案（1）截面可以是三角形等边三角形、等腰三角形、一般三角形（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形（3）截面可以是四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行（4）截面不能是直角梯形（5）截面可以是五边形截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形（6）截面可以是六边形截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等（7）截面六边形可以是等角（均为120）的六边形，即正六边形截面图形如图12中各图所示图12课堂小结本节课学习了简单组合体的概念和结构特征作业习题11A组第3题；B组第2题设计感想本节教学设计依据课程标准的要求利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构在教学时，尽量多给学生一些图片，以便学生形成直观感知，初步获得感性认识12空间几何体的三视图和直观图121中心投影与平行投影122空间几何体的三视图整体设计教学分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识主要内容是画出空间几何体的三视图比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”教科书从复习初中学过的正方体、长方体的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形三维目标1掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识重点难点教学重点画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征教学难点识别三视图所表示的几何体课时安排1课时教学过程导入新课思路1能否熟练画出上节所学习的几何体工程师如何制作工程设计图纸我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图教师指出课题投影和三视图思路2“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗教师点出课题投影和三视图推进新课新知探究提出问题如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的图1通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同图2图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别图3活动教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片从投影的形成过程来定义从投影方向上来区别这三种投影根据投影线与投影面是否垂直来区别观察图3并归纳总结它们各自的特点讨论结果这种现象我们把它称为是投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影图2（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图知识归纳投影的分类如图4所示图4提出问题在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的一般地，怎样排列三视图正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗讨论结果三视图包含正视图、侧视图和俯视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图三视图的位置关系一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边如图5所示图5投影规律（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度（2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图长对正；主、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等画组合体的三视图时要注意的问题（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出（4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应由三视图还原为实物图时要注意的问题我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图应用示例思路1例1画出圆柱和圆锥的三视图活动学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成解图6（1）是圆柱的三视图，图6（2）是圆锥的三视图12图6点评本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的实物图）和画图（三视图）相结合变式训练说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体12图7答案图7（1）是正六棱锥；图7（2）是两个相同的圆台组成的组合体例2试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图活动引导学生认识这种容器的结构特征矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱图8图9解三视图如图9所示点评本题主要考查简单组合体的三视图对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图变式训练画出图10所示的几何体的三视图图10图11答案三视图如图11所示思路2例1（2007安徽淮南高三第一次模拟，文16）如图12甲所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的_甲乙图12活动要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的分析在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图12乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图12乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图12乙（3）答案（1）（2）（3）点评本题主要考查平行投影和空间想象能力画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成变式训练如图131所示，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的各个面上的投影可能是图132的_12图13分析四边形BFDE在正方体ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是B答案BC例2（2007广东惠州第二次调研，文2）如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）甲乙丙图14长方体圆锥三棱锥圆柱ABCD分析由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥答案A点评本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体变式训练1图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状图15图16分析由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体答案上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体该几何体的形状如图16所示2（2007山东高考，理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）图17ABCD分析正方体的三视图都是正方形，所以不符合题意，排除A、B、C答案D点评虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题知能训练1下列各项不属于三视图的是（）A正视图B侧视图C后视图D俯视图分析根据三视图的规定，后视图不属于三视图答案C2两条相交直线的平行投影是（）A两条相交直线B一条直线C两条平行直线D两条相交直线或一条直线图18分析借助于长方体模型来判断，如图18所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD答案D3甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图19所示甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（）图19A甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边分析由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图20所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边图20答案D4（2007广东汕头模拟，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（）A棱锥B棱柱C圆锥D圆柱分析由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥答案C5（2007山东青岛高三期末统考，文5）某几何体的三视图如图21所示，那么这个几何体是（）图21A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台分析由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥答案B6（2007山东济宁期末统考，文5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图22所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）图22A8B7C6D5分析由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体答案C7画出图23所示正四棱锥的三视图图23分析正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱答案正四棱锥的三视图如图24图24拓展提升问题用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图25所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数1你能确定哪些字母表示的数2该几何体可能有多少种不同的形状图25分析解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视