201410教师基本功比赛试题(笔试)及答案

2014年高中数学教师基本功比赛试题（笔试）用时120分钟满分140分一、填空题本大题共12小题，每小题5分，共计60分把答案填写在答题纸相应位置上1奇函数的定义域为R若为偶函数，且，则FX2FX1F78F大纲文改编2设，R，则的取值范围是随意编的题AB2AB1,|3已知双曲线C的离心率为2，焦点为，点A在C上，若，则1F212|FA大纲理改编12COSAF784若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段X的极坐标方程为江西理改编0YX1SINCO25已知，变量，满足约束条件且的最小值为，则|1AXY,YAXZXAY5A全文改编36三棱锥中，为的两个三等分点，为的中点，记三棱锥的PABCDEPBFPCEADF体积为，三棱锥的体积为，则山东理改编1V2V1167正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为3，底面边长为，则该球的表面积为大纲理改编168若函数在区间是减函数，则的取值范围是COS2INFXAX,62A大纲理,29在中，分别表示角，所对边的长若，且ABCBABC2，则面积的最大值为全理SINSINBC310已知若是的最小值，则的取值范围为2,01XAFFXFA上海理改编1,011菱形的边长为，点，分别在边，上，ABCD2120BADEFBCD3BE若，则的值为4天津文改编F6E12已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上，（O为坐标原点），2YX1AB则ABO与面积之和的最小值是四川理改编3二、解答题本大题共5小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤13（本小题满分16分）已知函数，若存在唯一的零点，且，FX321AFX0X求实数的取值范围全文理小题A解当时，由图象易知不合题意2分0FX231当时，4分6A2XA当时，在区间上是增函数，AFX,0且，在存在零点，不合题意8分12F1FFX1,0当时，在上是减函数，0FX,20FA故在上存在唯一的零点；12分F,0X又在上是减函数，在上是增函数，X2A2,A为使在上无零点，令得，解得F,0F2810A2A综上可知，满足题意的实数的取值范围是16分,解2考察，两个函数图象，3GXA21HX当时，由图象可知存在使，不合题意；0A000GXH当时，由图象可知存在使，此时只需当时，即，可得X321AX231AX2A或令，应有，可得10T30T解3因不是原方程的解，可将原方程变为，X231XA存在唯一的解，且，由图象可得0XA或令，应有，存在唯一的解，且，可得1TX3T0X2A14（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护OA区规划要求新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80M经测量，点A位于点O正北方向60M处，点C位于点O正东方向170M处（OC为河岸），34TANBCO（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大解法一江苏高考题（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为轴，X建立平面直角坐标系由条件知，60,A,17C直线BC的斜率34TANBKBC又因为，所以直线AB的斜率AABK设点B的坐标为，,B则，34170AKC4306AKAB解得，82所以152B因此新桥BC的长为150M（2）设保护区的边界圆M的半径为M，MRDO60由条件知，直线BC的方程为，即17034XY834YX由于圆M与直线BC相切，故点到直线BC的距离是，,R即568034|2DDR因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80M，所以即解得,806DR,8065,3D351D故当时，最大，即圆面积最大13所以当OM10M时，圆形保护区的面积最大解法二（1）如图，廷长OA，CB交于点FB东北AM60MO170MCBXYAM60MO170MC因为，所以，34TANFCO54SINFCO53COSFC因为OA60，OC170，所以，680TA，从而850COS3A因为，所以OCA54SINCOSFCOAB又因为，所以，B0C从而因此新桥BC的长为150M150F（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，则，且MD是圆M的半径，CD并设MDM，OMMRD60因为，所以OAFCOCOSSIN故由（1）知，所以5380IDRDF53680DR因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80M，所以即解得,806DR,8065,3D351D故当时，最大，即圆面积最大13所以当OM10M时，圆形保护区的面积最大15（本小题满分16分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球MN，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中浙江理小题3,N,2I（1）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，比较，的大小；I1,2IP1P2（2）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，求的分布列及数学期望II,I解（1）P1，2分MMN22NMN122MN2（MN）P2，4分332NC2313则P1P2，于是6分0612P（第18题）B东北AM60MO170MCDF（2）的分布列为9分1112PNMMN的分布列为12分22123P2NMC1NMC2MNCE112，14分NMNMMN2MNMNE212316分316（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足，N，且NANS2134NAN315S（1）求，的值及的表达式；广东文理合并改编2NS（2）求证对一切正整数，有12113NAAA解（1）由得，2134NSN2134NSS整理得2分12由可得，进而得4分35281猜想一般结论为N6分NS利用数学归纳法可以证明当时，等式成立132假设当时等式成立，即，那么，当时，有KKS1NK212432KSK这就是说当时，等式也成立1N由两步可知，对任意N总有10分NS或，20415323ASA73于是，8125231猜想NN由，得（），214SAN1421NANS2相减得（）6AN再利用数学归纳法证明N21NA，成立假设当时成立，31A52K也可以验证对N成立，61NN假设当N时成立，K（2）由（1）易得N12分NAN，2224310KK2243KK14分22134KAK1211NAA13333原不等式成立16分或当时，对N，3161A2NK因为，12112KKK所以12NAAA1217532632311NN17（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C若点在椭圆XOY24XYA上，点在直线上，且北京文理揉合并改编CBYAB（1）求线段AB长度的最小值；（2）试判断是否存在常数使得成立，并证明你的结论|解设点A，B的坐标分别为，其中0,XY,2T0X因为，所以，即，解得2分OOBUR0Y02YTX（1）因为，所以204XY22200|ABXTY220YX2004YX6分22200044220084因为，且当时等号成立，所以，22008XX20X2|8AB故线段AB长度的最小值为8分（2）当时，代入椭圆C的方程得，0XT20TY2