数字信号第三版重点习题及答案

3判断下面的序列是否是周期的若是周期的，确定其周期。12解（1）因为,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T14。（2）因为,所以16,这是无理数，因此是非周期序列。5设系统分别用下面的差分方程描述，XN与YN分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）YNXN2XN13XN2（2）YN2XN3（3）YNXNN0N0为整常数（4）YNXN5设系统分别用下面的差分方程描述，XN与YN分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）YNXN2XN13XN2（2）YN2XN3（3）YNXNN0N0为整常数（4）YNN（5）YNX2N（6）YNXN2（7）YN为ANANX873COS81JE733142812NMX0（8）YNXNSINN解（1）令输入为XNN0则输出为YNXNN02XNN013XNN02YNN0XNN02XNN013NN02YN故该系统是非时变系统。因为YNTAX1NBX2NAX1NBX2N2AX1N1BX2N13AX1N2BX2N2TAX1NAX1N2AX1N13AX1N2TBX2NBX2N2BX2N13BX2N2所以TAX1NBX2NATX1NBTX2N故该系统是线性系统。（2）令输入为XNN0输出为YN2XNN03YNN02XNN03YN故该系统是非时变的。由于TAX1NBX2N2AX1N2BX2N3TAX1N2AX1N3TBX2N2BX2N3TAX1NBX2NATX1NBTX2N故该系统是非线性系统。3这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为XNN1输出为YNXNN1N0YNN1XNN1N0YN故延时器是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NN0BX2NN0ATX1NBTX2N故延时器是线性系统。（5）YNX2N令输入为XNN0，输出为YNX2NN0YNN0X2NN0YN故系统是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NBX2N2ATX1NBTX2NAX21NBX22N因此系统是非线性系统。（6）YNXN2令输入为XNN0，输出为YNXNN02YNN0XNN02YN故系统是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1N2BX2N2ATX1NBTX2N故系统是线性系统。（7）令输入为，输出为，0XN00NMYX因为0MYNY故该系统是时变系统。又因为1212120NMTAXNBAXBATXNB故系统是线性系统。（8）YNXNSINN令输入为XNN0输出为YNXNN0SINNYNN0XNN0SINNN0YN故系统不是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NSINNBX2NSINNATX1NBTX2N故系统是线性系统。6给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）；10NKYNX（2）YNXNXN1（3）；00NKYX（4）YNXNN0（5）。XYE解（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与N时刻的和N1N时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定XNMYN系统。（2）该系统是非因果系统，因为N时间的输出还和N时间以后（N1）时间）的输入有关。如果|XN|M,则|YN|XN|XN1|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果，因此系统是稳定的。XNM0021NKYXNM系统是非因果的，因为输出还和XN的将来值有关（4）假设N00，系统是因果系统，因为N时刻输出只和N时刻以后的输入有关。如果|XN|M,则|YN|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于XN的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。XNMXNXMYNEE12设系统用一阶差分方程YNAYN1XN描述，初始条件Y10，试分析该系统是否是线性非时变系统。解分析的方法是让系统输入分别为N、N1、NN1时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令XNN,这时系统的输出用Y1N表示。该情况在教材例141中已求出，系统的输出为11NAYNY1NANUN2令XNN1，这时系统的输出用Y2N表示。N0时，N1时，N2时，任意N时，最后得到3令XNNN1,系统的输出用Y3N表示。N0时，N1时，N2时，N3时，任意N时，最后得到第二章1设XEJ和YEJ分别是XN和YN的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换1XNN02XN3XN4XNYN5XNYN6NXN7X2N8X2N（9）解（1）122NAYN0022YA1AYAY122N12UY1133NNAY0033111AYA233223AY13NAUY为NX2/9NXJ00EFT令NNN0,即NNN0，则（2）（3）令NN，则（4）FTXNYNXEJYEJ下面证明上式成立令KNM,则,（5）或者（6）因为对该式两边求导，得到因此（7）令N2N，则EEFTJJJ000XNXNXNNEEEFTJJJXNXXXNJEFTJJNXXMYYNMNXYXJEFTEEFTJJJJJJYXMXKYYNMKNNNNYXYYXJJJEDE21FTJJDE21XYXJNJJJFTNYXNXXJJEEJFTEJDNXNXXJJDJFTJNXNNJE221EE12EFT21J21J21J21J2/JNXXXNXXXNJNNNN为或者（8）利用（5）题结果，令XNYN,则（9）令NN/2，则5设图所示的序列XN的FT用XEJ表示,不直接求出XEJ，完成下列运算或工作1234确定并画出傅里叶变换实部REXEJ的时间序列XAN；56解123（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分,即EE21FT21JJXNXNNXJDE21E21FTJJJJXXNXNNXXJE2/2/FTEE/FT2J2JXXNNE0JXJDEJ2JD|E|X|J6E730JNX42DJX21EE73JJNNXXNNJXEXRJE按照上式画出XEN的波形如题5解图所示。56因为因此7设（1）是实偶函数，XN（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里XN叶变换性质。解令JWJWNNXEXE（1）XN是实、偶函数，JJWNNXXE两边取共轭，得到JWJJNJWNNEXE因此JWJXE上式说明XN是实序列，具有共轭对称性质。JWXECOSINJWJNNEXXWJ由于XN是偶函数，XNSINWN是奇函数，那么21EXN282D73NJXXJFTEJ3162D732JNX,因此SIN0NXWCOSJWNXEXN该式说明是实函数，且是W的偶函数。JXE总结以上XN是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函JWXE数。（2）XN是实、奇函数。上面已推出，由于XN是实序列，具有共轭对称性质，即JWXEJJCOSINJWJWNNXEXEXJ由于XN是奇函数，上式中是奇函数，那么SCOS0NXN因此SIJWNXEXWN这说明是纯虚数，且是W的奇函数。J10若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式H1COSJWRHE求序列及其傅里叶变换。HNJWHE解/211COS2,201,1,0,2,COSJWJWJJWNREENEEJWJWNJWJNHEEFTHNHHHHE其它13已知，式中，以采样频率对02COSAXTFT01FHZ40SFHZ进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面AXTAXTXN各题（1）写出的傅里叶变换表示式；AXTAXJ（2）写出和的表达式；N（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。AXTXN解（1）0002COSJTJTAAJTJTJTXJXEDED上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成002AXJ（2）2COSNNXTTTTTN0COS,N0120,25SFRADTMF（3）0012AASKSSKXJXJKTK式中8/SSFRAD18已知，分别求1235ZXZ（1）收敛域对应的原序列；0XN（2）收敛域对应的原序列。2Z解11NCXNXDZJA1112335052NNNZFZZ（1）当收敛域时，内有极点05，0C,RE,2NXNSZC内有极点05,0,但0是一个N阶极点,改求C外极点留数,C外极点只有2,E,XSFZ最后得到212NNNU（2（当收敛域时，ZC内有极点05,2,0,NRE,05E,2XSFZSFZ3205NNC内有极点05,2,0,但极点0是一个N阶极点,改成求C外极点留0,N数,可是C外没有极点,因此,最后得到XN52NU0000002COSCOS22JWJWNJWJWNNNJJJNKXEXETEEKK式中05TRAD上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。28若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式HN21COS,1JWRAHEW求序列及其傅里叶变换。J解221COS105JJJWRWAAEHE12105JJRZZZ求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。HNEHN112NERCHNHZDJA21105NNRAZFZ因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取HEH。1AZ时，C内有极点,NA21051RE,2NNEAZHNSFZZAZN0时，C内有极点,0，A21105NRAZFZHZZ所以,E,E,EHNSAS又因为,E所以1,05,NEHA,20,ENNNAU01JWNJWJWHEAE第三章1计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义01NN为（2）；XN（4）；,0MRN（6）；2COSX（8）；0INNW（10）。XR解（2）1,0,11010NKNWNKXNNK（4）1,0,SIN1110NKMNEWKXKNJKMNNK10,01122221002NKMNKEEEKMJNJKMNJJNKJNNKMJ或且（6）KNNJMJNNNJNNKEEWKX22102102COS（8）解法1直接计算21SI008RJRWXNNJWNN1010802NNKNJJJNNKEEKX22102000011KNWJJKNWJJNNNNWJWJEE）（）（解法2由DFT的共轭对称性求解因为SINCOS0070RWJNRENXNNJWIMSI78X所以708KXJDFTJXT即217708NKKXK1121122220000KNWJJKNWJJKNWJJKNWJJEEEE结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法11,010NKNWKXN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解XK。因为NRXN所以1NRNNN等式两边进行DFT得到KWKXN故1,2,1NK当时，可直接计算得出X（0）0K211010NWNXNN这样，X（K）可写成如下形式1,2,1,NKWN解法2时，0K2110NKXN时，NWNKXWNKNNNKNKKKNNKK101143220所以，,KN即，1,2,10,NKWNKXN2已知下列，求XNIDFTXK（1）,2,0JJEKMNXKK其它（2）,2,0JJEMNXKK其它解（1）1,0,2COS21211220NNMNEEEWKXIDFTNXMNNJMNJNMNJMNJKN（2）NMNJMNNJWEENX2211,0,SINJNJMNN6设XN的长度为N，且XKDFTXN0KN1令HNXNNRMNNM为自然数HKDFTHNMN0KMN1求HK与XK的关系式。解HKDFTHN0KMN1令NNLN,L0,1,M1,N0,1,N1,则解HKDFTHN0KMN1令NNLN,L0,1,M1,N0,1,N1,则21J0ENLNMNKRLNHKXL2211JJJ00ERNKLLKMNMLNLX因为21J0EMLKL整数整数所以0KXM整数整数7证明若XN为实序列，XKDFTXNN，则XK为共轭对称序列，即XKX（NK；若XN实偶对称，即XNXNN，则XK也实偶对称；若XN实奇对称，即XNXNN，则XK为纯虚函数并奇对称。证1由教材32173220式知道，如果将XN表示为XNXRNJXIN则XKDFTXNXEPKXOPK其中，XEPKDFTXRN，是XK的共轭对称分量；XOPKDFTJXIN,是XK的共轭反对称分量。所以，如果XN为实序列，则XOPKDFTJXIN0，故XKDFTXNXEPK，即XKXNK。（2）由DFT的共轭对称性可知，如果XNXEPNXOPN且XKREXKJIMXK则REXKDFTXEPN,JIMXKDFTXOPN所以，当XNXNN时，等价于上式中XOPN0,XN中只有XEPN成分，所以XK只有实部，即XK为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即XKXNKXNK，所以XK实偶对称。同理，当XNXNN时，等价于XN只有XOPN成分（即XEPN0），故XK只有纯虚部，且由于XN为实序列，即XK共轭对称，XKXNKXNK,为纯虚奇函数。9已知XN长度为N，XKDFTXN，为自然数MNNXY100DFTKYKYMN求YK与XK的关系式。解1100MNNKNKNMNYYWXX整数12已知FNXNJYN，XN与YN均为长度为N的实序列。设FKDFTFNN0KN1（1）为BAWAKFKK,1J2FK1JN试求XKDFTXNN，YKDFTYNN以及XN和YN。解由DFT的共轭对称性可知XNXKFEPKJYNJYKFOPKKNKNBWAKF1J方法一（1）EP12NKAXFOJBYKK1010NKKNNNKNWAXNX10KNNMA，0NN11010NKKW由于0N,MN110NKMNW所以XNAN0NN1同理YNBN0NN1（2）FK1JNJ21NKNFKXYJ210NNWNYK10XKN方法二令KNKNBWBAKA1J,1只要证明AK为共轭对称的，BK为共轭反对称，则就会有AKFEPKXK,BKFOPKJYK因为，共轭对称11KAAWAKNANKN，共轭反对称JJBBBBKNKN所以EP1KNAXKFAKBWKBJY1J1OP由方法一知XNIDFTXKANRNNYNIDFTYKBNRNN13已知序列XNANUN，00时，|Z1|1，HZ满足因果稳定条件。对T1和T05，画出HEJ曲线如题6解图实线和虚线所示。题6解图由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。反之，T越大，极点离单位圆越远，选择性越差，而且频率混叠越严重，附近衰减越小，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。7假设某模拟滤波器HAS是一个低通滤波器，又知，数字滤波器HZ的通带中心位109ESTZ于下面哪种情况并说明原因。（1）0（低通）。（2）（高通）。（3）除0或以外的某一频率（带通）。解方法一按题意可写出A1|ZSHZ故JJECOS12JJJTINZSA1|ZSHZ|COT2即原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于，故答案为2。方法二找出对应于0的数字频率的对应值即可。令Z1，对应于EJ1，应有0，则A1A|SHH对应的不是模拟低通中心频率，所以，答案（1）即0（低通）不对。令Z1，对应于EJ1，应有，则A1A|0SHH即将0映射到处，所以答案为2。方法三直接根据双线性变换法设计公式及模拟滤波器由低通到高通频率变换公式求解。双线性变换设计公式为1A2|ZSTHZ当T2时，这时，如果HAS为低通，AH则HZ亦为低通。如果将HAS变换为高通滤波器则可将HAHS用双线性变换法变成数字高通；HAH1A1A|ZZSSHZH这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器通带中心位于，故答案（2）正确。A1ZHAHA1HS9设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于02RAD时，容许幅度误差在1DB之内；频率在03到之间的阻带衰减大于10DB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T1MS。解本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下P02RAD,P1DBS03RAD,S10DB采用脉冲响应不变法转换，所以，相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为PPSS0210RAD/,1B30T1求滤波器阶数N及归一化系统函数GPPSS0101SPSPLG69352LG016947KNN取N5。查教材61节的表621第157页，可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为4004132139J5818KKGPPP将GP部分分式展开4A0KAHP其中，系数为A001382J04253,A108091J11135,A218947A308091J11135,A401382J042532去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数HAS。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按教材（6220）式求3DB截止频率C为SC110120CS44CA00756RAD/S|NKKSPKABHGP其中,BKCAK,SKCPK。3用脉冲响应不变法将HAS转换成数字滤波器的系统函数HZ34310MS10EKKSTKSKBHZZ我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在的频率混叠失真，使设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见。当N较大时，部分分式展开求解系数AK或BK相当困难,所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计,见第10题。10要求同题9试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。解已知条件如下数字滤波器指标P02RAD,P1DBS03RAD,S10DB采用双线性变换法，所以要进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标（为了计算方便，取T1S）PPPSSS2TANT0164983RAD/,1B50,0DT1求相应模拟滤波器阶数NSPLGKN其中，KSP与题9相同（因为P、S相同），即SPS01650168243LG92,4168NN为2查教材表621,得4321264631GPSSSS3去归一化，求出HASPC1101028C4CA43234CC43206987RAD/S|6520701095ANSPHSGSS4用双线性变换法将HAS转换成HZ1A2441413CC2214CC13114C|66382ZSTHZZZZ请读者按T1MS进行设计，比较设计结果。1已知FIR滤波器的单位脉冲响应为（1）HN长度N6H0H515H1H42H2H33（2）HN长度N7H0H63H1H52H2H41H30试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。解（1）由所给HN的取值可知，HN满足HNHN1N，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性521N由于N6为偶数情况2，所以幅度特性关于点奇对称。（2）由题中HN值可知，HN满足HNHN1N，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性3212N由于7为奇数情况3，所以幅度特性关于0,2三点奇对称。3设FIR滤波器的系统函数为901290143ZZZH求出该滤波器的单位脉冲响应HN，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。解对FIR数字滤波器，其系统函数为1043219090NNNZZZHZH所以其单位脉冲响应为1,2,1由HN的取值可知HN满足HNHN1NN5所以,该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数HEJ为10JJGJEEENNMHHE90E129014J3JJJ2JJJJ2JE2JECOS810幅度特性函数为102CS2GH相位特性函数为2N4用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过/8RAD。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数HDEJ为|0ECJJDCAH（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应HDN；（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应HN表达式，确定与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解（1）CJJDDC1EED22SINNNHH（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长21A度。因为要求过渡带宽度RAD,所以要求8N48,求解得到N32。加矩形窗函数,得到HNSINCDNRARNHNNAA其它021,0SIC（3）N取奇数时，幅度特性函数HG关于0,2三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，HG关于奇对称，即HG0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过/10RAD。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数HDEJ为其它0|EJJDCAH（1）求出该理想高通的单位脉冲响应HDN；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应HN表达式，确定与N的关系；（3）N的取值有什么限制为什么解（1）直接用IFTHDEJ计算JJDDE2NHNHCCJJEDNCCJ1ED2NJCCJJJJENNASINSIN1CAAICHDN表达式中第2项正好是截止频率为C的理想SINCA低通滤波器的单位脉冲响应。而N对应于一个线性相位全通滤波器HDAPEJEJ即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示HN的长度，则HNHDNRNNSINCNRN为了满足线性相位条件HNHN1N要求满足12（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），HEJ0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求。N应满足N410,即N40。取N41。6理想带通特性为|0|ECCCJJDBHA（1）求出该理想带通的单位脉冲响应HDN；（2）写出用升余弦窗设计的滤波器的HN表达式，确定N与之间的关系；（3）要求过渡带宽度不超过/16RAD。N的取值是否有限制为什么解（1）JDDE2NHNHCCJJDBAMANBSINSINCC上式第一项和第二项分别为截止频率CB和C的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面HDN的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。（2）HNHDNWNCCSINSIN20546COS1NBANR为了满足线性相位条件，与N应满足实质上，即使不要求具有线性相位，与N也应满足该关系，只有这样，才能截取HDN的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。（3）N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N，所以要求，即要求N816N128。7试完成下面两题（1）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为HN和HEJ，另一个滤波器的单位脉冲响应为H1N，它与HN的关系是H1N1NHN。试证明滤波器H1N是一个高通滤波器。（2）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为HN和HEJ，截止频率为C,另一个滤波器的单位脉冲响应为H2N，它与HN的关系是H2N2HNCOS0N，且C0C。试证明滤波器H2N是一个带通滤波器。解（1）由题意可知E21COSJJ1NHNHNHNHN对H1N进行傅里叶变换,得到MNNNMHHHJJJJ1J1E2EEE2JJNNNE1JJH上式说明H1EJ就是HEJ平移的结果。由于HEJ为低通滤波器，通带位于以0为中心的附近邻域，因而H1EJ的通带位于以为中心的附近，即H1N是一个高通滤波器。这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为C,）设计一个截止频率为C的低通滤波器HLPN。对HLPN乘以COSN即可得到高通滤波器HHPNCOSN1NHLPN。2与1同样道理，代入H2N2HNCOS0N,可得2EEJJJ200HH因为低通滤波器HEJ通带中心位于2K，且H2EJ为HEJ左右平移0，所以H2EJ的通带中心位于2K0处，所以H2N具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。8题8图中H1N和H2N是偶对称序列，N8，设H1KDFTH1NK0，1，N1H2KDFTH2NK0，1，N1（1）试确定H1K与H2K的具体关系式。|H1K|H2K|是否成立为什么（2）用H1N和H2N分别构成的低通滤波器是否具有线性相位群延时为多少解（1）题8图可以看出H2N与H1N是循环移位关系H2NH1N48R8N由DFT的循环移位性质可得1EJ1482KHKKHWK|2由题8图可知，H1N和H2N均满足线性相位条件H1NH1N1NH2NH2N1N所以，用H1N和H2N构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FTH1N和H2N也可以得到同样的结论。设JG11J11EFTEHNHHJ22J2271N所以，群延时为27D1129对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。（1）阻带衰减为20DB，过渡带宽度为1KHZ，采样频率为12KHZ；（2）阻带衰减为50DB，过渡带宽