电动力学答案

电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律11根据算符的微分性与矢量性推导下列公式BABAABABBARRRRRRRRRRAAAAARRRRR212解1BABAABABBAVVVVVVVVVV首先算符是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题将作用于BAVV和又是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式BACBCABACVVVVVVVVV可得上式其中右边前两项是作用于AV后两项是作用于BV2根据第一个公式令AVBV可得证2设U是空间坐标XYZ的函数证明DUADUUADUADUUAUDUDFUFRRRR证明1UDUDFEZUDUDFEYUDUDFEDUDFEZUFEYUFEXUFUFZYXXUZYXRRRRRR2DUADUZUDZUADYUDUUADXUDUUADZUZAYUAXUAUAZYXZYXRRRRRRRR3ZXYYZXXYZZYUXZYXEYAXAEXAZAEZAYAUAUAAZYXEEEUARRRRRRRRRRRRRRRR电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律2DUADUEYUDUADXUDUADEXUDUADZUDUADEZUDUADYUDUADZXYYZXXYZRRRRRRRRRR3设222ZZYYXXR为源点X到场点X的距离R的方向规定为从源点指向场点1证明下列结果并体会对源变数求微商ZEYEXEZYXRRR与对场变数求微商ZEYEXEZYXRRR的关系00,0,11,3333RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR最后一式在人R0点不成立见第二章第五节2求均为常矢量及其中及000,SINSIN,EKARKERKERARARRRRRRRRRRRRRRRRR证明3ZZZYYYXXXRR0ZZYYXXZYXEEERZYXRRRRZYXZYXZZYYXXEZZEYYEXXEZEYEXEAEAEARAVRVVVVVVVRVZYXZYXEZZEYYEXXZAYAXAVRVAEAEAEAZZYYXXVVVVARARRARARAVVVRVVVVVVAARARRAVRVVVVVARARAVVVVVSINSINSIN000ERKERKRKERRRRRRRRR电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律30SINSINSINEERKZERKYERKXZYXRRRRRRRRRCOSCOS0EKRKEEKEKEKRKZZYYXXRRRRRRRRRR000SINSINSINERKERKRKERRRRRRRRR4应用高斯定理证明SVFSDFDVRRR应用斯托克斯STOKES定理证明LSLDSDRR证明1由高斯定理SVGSDGDVRRR即SZZYYXXVZYXDSGDSGDSGDVZGYGXG而DVKFYFXJFXFZIFZFYDVFXYZXYZVRRRRDVIFJFZKFIFYJFKFXYXXZZYRRRRRR又KSDFDSFJDSFDSFIDSFDSFFSDYSXXYXZZXZYYZSRRRRRZYXYXZXZYDSIFJFDSKFIFDSJFKFRRRRRR若令IFJFHKFIFHJFKFHYXZXZYZYXRRRRRR,则上式就是SVHSDDVHRRR,高斯定理则证毕2由斯托克斯公式有SLSDFLDFRRRRLZZYYXXLDLFDLFDLFLDFRRSZXYYZXXYZSDSFYFXDSFXFZDSFZFYSDFRR而LZKYJXILDLDLDLLDR电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律4SYXXZZYSKDSXDSYJDSZDSXIDSYDSZSDRRRRZYXDSIYJXDSKXIZDSJZKYRRRRRR若令KZJYIXFFF,则证毕5已知一个电荷系统的偶极矩定义为,VDVXTXTPRRR利用电荷守恒定律0TJR证明PR的变化率为VDVTXJDTPD,RRR证明VVDVXJDVXTTPRRRRRVXVXDVJXJDVJXJXDVXJTPRRRRRSXSDJXDVJRR若0,0,SJSDJXSRRR则同理,DVJTDVJTZZYYRR即VDVTXJDTPD,RRR6若MR是常矢量证明除R0点以外矢量3RRMARRR的旋度等于标量3RRMRR的梯度的负值即AR其中R为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明MRMRRMRMRMRRMAVVVVVVVV111113电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律50,1RRMVRMMRRMRMRRM11113VVVVVVRMMR11VVAV7有一内外半径分别为R1和R2的空心介质球介质的电容率为使介质内均匀带静止自由电荷F求1空间各点的电场2极化体电荷和极化面电荷分布解1DVSDDFSRR,R2RR1FRRRD3443132即,3123313RRRRRRREFRR由,342313200RRRRQSDEFFSRR,32303132RRRRRREFRR01时ERRRRR1时2212RRJSDJRHLDHFSFLRRRRRJRRRRRRJBFFRRV221221222当RR2时22122RRJRHFRJRRRBFRRR2212202212212000RRRRJHHMJFMMRRRRR,112100RRRJHF0R且0000COSRRRRE外外0是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识可解得COSRRAN1NNNN0N外PB由于00COS外RER即0021210210COSCOSCOSCOSCOSAREPRBRBRBPRARARNNNNNNNN外故而有10,10,0100NBNAEAANNCOSBCOS21000RBRRE外电动力学习题解答参考第二章静电场3又020100000COSBCOS,00RBRRERRRR即外外故而又有0COSCOS201000000RBRERB得到20010000,REBRB最后得定解问题的解为COSCOS030000000RRRRERRRE外2当导体球上带总电荷Q时定解问题存在的方式是NBPN项故COSBCOS21000RBRRE外又有0RR外是一个常数导体球是静电平衡CRBRRERRCOSBCOS201000000外3001201000COSCOSREBRBRE即电动力学习题解答参考第二章静电场4COSCOS2300000RRERBRE外又由边界条件Q外S0DSR004QB0,000R4RRQ外3均匀介质球的中心置一点电荷FQ球的电容率为球外为真空试用分离变数法求空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较提示空间各点的电势是点电荷FQ的电势RQ4F与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程解一高斯法在球外0RR,由高斯定理有FPFQQQQSDE总RR0对于整个导体球而言束缚电荷0PQ204RQEFR积分后得是积分常数外CCRQ40F又由于0,0CR外400RRRQF外在球内0RR00F00FF00F,444,R4RRRQRQRQRRQ内外电动力学习题解答参考第二章静电场64均匀介质球电容率为1的中心置一自由电偶极子FPR球外充满了另一种介质电容率为2求空间各点的电势和极化电荷分布提示同上题431RRPFRR,而满足拉普拉斯方程解RR外内21又内L1L0L301F11L4COS20PRARPRR外L2L0L301F221L4COS20PRBRPRR比较系数COSLPB00A003011301230121130,24242RBARBRARFF及得242,24221121130211211FFBRA比较的系数COS2P4022402021,32RBARBRA及011012RA所以0,022BA同理3,2,0LLBALL最后有,2424COS24240302112131302112131RRRRRRRRRRFFFFRRRRRRRR外电动力学习题解答参考第二章静电场7球面上的极化电荷密度NPPNNPR,21从2指向1如果取外法线方向则NNNNPPP0102内外球外00102RRRR内外COS2422224COS624COS630211212130212001302102FFFRRRCOS223COS24663021121030211012201FFRR求极化偶极子LQPFRR可以看成两个点电荷相距L对每一个点电荷运用高斯定理就得到在每个点电荷旁边有极化电荷1,11010FPFPQQQQ两者合起来就是极化偶极子FPPPRR1105空心导体球壳地内外半径为R1和R2球中心置一偶极子PR球壳上带电Q求空间各点电势和电荷分布解为有限值011301022332,4,0,0RRRRRPCRR013301223131212COS4,COSQDSRDSRPRARRPCCCPRBRRRRLLLFRRRRLLLRRR2R1312电动力学习题解答参考第二章静电场8CRAARPCPRBRBRBFLLCOS4COSCOS110210232222120即4320,3210,0COS4,2111200LLLALBRPRACRBALLFLLCOS21COS2COS4COS2311210231310113101RBRBPRBLRARPPRLARPRLLLFLLLF又则021021210210344BRBRDSRBDSRBDSR000SINCOS4SINCOS220021310200213101DDRRPDDRRPDSRFF故00134QBRDSR3101200004,4,4RPARQAQBF最后有02000202020300023000300,COS2361316,COS23COS3COSRRRERRRRRRERRERRREFFF内外7在一个很大的电解槽中充满电导率为2的液体使其中流着均匀的电流0F今在液体中置入一个电导率为1的小球求稳衡时电流和电荷分布讨论21及12两种情况的电流分布特点先求空间电势0022外内外内0RR因为0RRNN外内稳恒电流认为表面无电流堆积即NN流出流入故RR222221外内并且0R外即COS0RER外020EJF有限内R可以理解为在恒流时0R的小封闭曲面流入流出电动力学习题解答参考第二章静电场11这时的解即为置一点电荷FQ试用分离变数法求空间各点电势证明所得结果与镜像法结果相同提示COS1COS211022ARPARAARARRNNN解1分离变数法由电势叠加原理球外电势F,4RQ外是球面上感应电荷产生的电势且满足定解条件00,0002RRRRR外根据分离变数法得,COS001RRPRBLLLL0122FCOSCOS214LLLLPRBARRAQ外,COSCOS14010ARPRBPARAQLLLLNNNF外将分离变数法所得结果展开为LEGEND级数可证明两种方法所求得的电势相等9接地的空心导体球的内外半径为R1和R2在球内离球心为AAA试用电象法求空间电势解如图利用镜像法根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型可确定三个镜像电荷的电量和位置RBRQQRBARQBAQRBARQBAQRRR33222211,COS2COS21COS214224222220RBABARBARBBRRBBRQPQQBAQBAQOR电动力学习题解答参考第二章静电场15,20,COS22242ARRBABARBAZYBZAYXXBZAYXX13设有两平面围成的直角形无穷容器其内充满电导率为的液体取该两平面为XZ面和YZ面在X0,Y0,Z0和X0,Y0,Z0两点分别置正负电极并通以电流I求导电液体中的电势解本题的物理模型是由外加电源在AB两点间建立电场使溶液中的载流子运动形成电流I,当系统稳定时是恒定场即0TJR中0T对于恒定的电流可按静电场的方式处理于是在A点取包围A的包围面NQSDERR而又有EISDIIRRRRSDEIRR1有111IQQI对BQ1IQQB又在容器壁上,0NJR即元电流流入容器壁由EJRR有0NJR时0NER可取如右图所示电像BAQX0,A,BQX0,A,BQX0,A,BQX0,A,BZYPX,Y,ZBX0,Y0,Z0XZYAX0,Y0,Z0JRJRQX0,Y0,Z0ZQX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0QX0,Y0,Z0YX电动力学习题解答参考第二章静电场1614画出函数DXXD的图说明XPRR是一个位于原点的偶极子的电荷密度解0,0,0XXXXXXXDXXDXLIM0100DXXDX时2XDXXDXX0LIM,0XA00时AXAAX若A,COS1216422531101021RRLPRRLLLLLL为奇数外电动力学习题解答参考第三章静磁场11试用AR表示一个沿Z方向的均匀恒定磁场0BR写出AR的两种不同表示式证明两者之差是无旋场解0BR是沿Z方向的均匀的恒定磁场即ZEBBRR0且ABRR0在直角坐标系中ZXYYZXXYZEYAXAEXAZAEZAYAARRRR如果用AR在直角坐标系中表示0BR即000YAXAXAZAZAYAXYZXYZ由此组方程可看出AR有多组解如解1,00XFYBAAAXZY即XEXFYBARR0解2,00YGXBAAAYZX即YEYGXBARR0解1和解2之差为YXEYGXBEXFYBARRR00则ZXYYZXXYZEYAXAEXAZAEZAYAARRRR0这说明两者之差是无旋场2均匀无穷长直圆柱形螺线管每单位长度线圈匝数为N电流强度为I试用唯一性定理求管内外磁感应强度B解根据题意得右图取螺线管的中轴线为Z轴本题给定了空间中的电流分布故可由430DVRRJBRRR求解磁场分布又JR在导线上所以304RRLJDBRRR1螺线管内由于螺线管是无限长理想螺线管故由电磁学的有关知识知其内部磁电动力学习题解答参考第三章静磁场2场是均匀强磁场故只须求出其中轴线上的磁感应强度即可知道管内磁场由其无限长的特性不妨取场点为零点以柱坐标计算XYXEZEAEARRRRRSINCOSYXEADEADLDRRRCOSSINSINCOSCOSSINXYXYXEZEAEAEADEADRLDRRRRRRRZYXEDAEDAZEDAZRRRSINCOS2取由DZZZ的以小段此段上分布有电流NIDZ232220SINCOS4ZAEDAEDAZEDAZNJDZBZYXRRRRINAZAZDNIENIZADZADZ0232023222200124R2螺线管外部由于是无限长螺线管不妨就在XOY平面上任取一点0,P为场点A222SINSINCOSCOSZAAXXRRRCOS2222AZAXXRRRRXEARCOSCOSZYEZEARRSINSINYXEADEADLDRRRCOSSINZYXEDAAEDAZEDAZRLDRRRRRCOSSINCOS2SINCOS43203200DZERDAZDDZERDAZDNIBYXRRRCOS3220ZEDZRAADR由于磁场分布在本题中有轴对称性而螺线管内部又是匀强磁场且螺线管又是无限长故不会有磁力线穿出螺线管上述积分为0所以0BR电动力学习题解答参考第三章静磁场33设有无穷长的线电流I沿Z轴流动以Z0区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度B然后求出磁化电流分布解本题的定解问题为0100202122012110,0,ZZZAAAAZJAZJARRRRRRRR由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为RLIDXARLIDXARRRRRR44201由此可推测本题的可能解是0,20,20ZERIZERIBRRR验证边界条件10,12021BBNAAZRRRRR即题中0,EEENZZRRRR且所以边界条件1满足20,111201002HHNAAZZRRRRR即本题中介质分界面上无自由电流密度又ERIBHERIBHRRRRRR2222011,012HHRR满足边界条件012HHNRRR综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解0,20,20ZERIZERIBRRR在介质中MBHRRR0故在Z0空间为真空今有线电流I沿Z轴流动求磁感应强度和磁化电流分布解假设本题中得磁场分布仍呈轴对称则可写作ERIBVV2其满足边界条件001212VVVVVVVHHNBBN即可得在介质中ERIBHVVV22而MERIMBHVVVVV0022在XR0时表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场COS20230002HRRM中可看作偶极子MV产生的势即RHRRHRRRRMVVVV02300002300032COS241HRMVV30002410有一个内外半径为R1和R2的空心球位于均匀外磁场0HR内球的磁导率为求空电动力学习题解答参考第三章静磁场11腔内的场BR讨论0时的磁屏蔽作用解根据题意以球心为原点取球坐标选取0HV的方向为ZEV在外场0HV的作用下球壳极化产生一个附加场并与外场相互作用最后达到平衡BV的分布呈现轴对称定解问题时1222200001BV即球壳腔中无磁场类似于静电场中的静电屏障11设理想铁磁体的磁化规律为000,MMHBRR是恒定的与HR无关的量今将一个电动力学习题解答参考第三章静磁场13理想铁磁体做成均匀磁化球0M为常值浸入磁导率为的无限介质中求磁感应强度和磁化电流分布解根据题意取球心为原点做球坐标以0MV的方向为ZEV本题具有球对称的磁场分布满足的定解问题为由此32305030022RMRRRMRBMVRVVV代入衔接条件00130100020100012MARDHRDRHRA得到00000123HMA300000012RHMD,COS230000001RRRHMMSIN23COS23000000000011EHMEHMHRMVVV0000023HMVV,222300020000001RRMHMHB00016SIN6COS61RQERQERQHRMVVVVVRV001016RQHB341SIN12COS1223532032022RMRRRMERRQERRQHRRMRVVVVVV其中VV320QRM34350202RMRRRMHBRVVVVV14电荷按体均匀分布的刚性小球其总电荷为Q半径为R0它以角速度绕自身某以直径转动求1它的磁矩2它的磁矩与自转动量矩之比设质量M0是均匀分布的解1磁矩DVXJXM21VVVV电动力学习题解答参考第三章静磁场17又RRXERVVV3430RRQVXJVVVVVDDRDREERQDDRDRRRRQMR2430230SIN4321SIN4321VVVVRV又SINCOSCOSSINYXZREEEEEEVVVVVV200024300SINSINCOSCOSSIN83RYXZDDRDREEERQMVVVVVV5SIN8320200043300QRDDRDRERQRZ2自转动量矩DVRRRMDMVRPDRLDL43300VVVVVVVVV52SIN43SINSINCOSCOSSIN43SINSIN43SINSIN43SIN4320020003430020002430022300223002230000VVVVVVVVVVVRMDDRDRRMDDRDREEERMDDRDRERRMDDRDREERRMDDRDREEERRMRRYXZRRZR0200202525MQRMQRLMVVVV15有一块磁矩为MR的小永磁体位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中求作用在小永磁体上的力FR电动力学习题解答参考第三章静磁场18解根据题意因为无穷大平面的很大则可推出在平面上所有的HV均和平面垂直类比于静电场构造磁矩MR关于平面的镜像MR则外场为2304COS4RMRRMBMMEVVVSINCOS4SINCOS2430330EERMERERMBRREVVRVVMV受力为ZAREEAMBMFVVVVCOS164324022电动力学习题解答第四章电磁波的传播11考虑两列振幅相同的偏振方向相同频率分别为DD和的线偏振平面波它们都沿Z轴方向传播1求合成波证明波的振幅不是常数而是一个波2求合成波的相位传播速度和振幅传播速度解COS,COS,22021101TXKXETXETXKXETXERRRRRRRRCOSCOS,2211021TXKTXKXETXETXEERRRRRRR22COS22COS2212121210TXKKTXKKXERR其中DDDKKKDKKK2121,COSCOS20TDXDKTKXXEERRR用复数表示0COS2TKXIETDXDKXEERRR相速0TKXKVP群速0TDXDKDKDVG2一平面电磁波以O45从真空入射到2R的介质电场强度垂直于入射面求反射系数和折射系数解NR为界面法向单位矢量0的空间中是金属导体电磁波由Z时电动力学习题解答第四章电磁波的传播6MHZ501104102221027626时MMHZ161104102221037939时8平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上入射角为1求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度若导电介质为金属结果如何提示导电介质中的波矢量VVVV,IK只有Z分量为什么解根据题意如图所示入射平面是XZ平面导体中的电磁波表示为0TXIXEEEEVVVVVVVVVIK与介质中的有关公式比较可得21222VV根据边界条件得0XXXXIK实数又11SINSINCKKKXX1SINCX而入射面是XZ平面故,KKVV无Y分量0,0YYV只有Z存在V有ZX与其中1SINCX21SIN22221ZZZZC有解得21222221222122222SIN21SIN21CCZ21222212222122222SIN21SIN21CCZXZ介质真空312KVKVKV电动力学习题解答第四章电磁波的传播7其相速度为V衰减深度为1如果是良导体则210SIN221222ZZZZC21SIN212SIN222214441222CCZ21SIN21SIN2222142412222CCZ9无限长的矩形波导管在在Z0处被一块垂直地插入地理想导体平板完全封闭求在Z到Z0这段管内可能存在的波模解在此中结构得波导管中电磁波的传播依旧满足亥姆霍兹方程000022EKEKEVRR方程的通解为COSSINCOSSINCOSSIN,332211ZKDZKCYKDYKCXKDXKCZYXEZZYYXX根据边界条件有,0,0AXEEZY,0,0BYEEZX,0,0AXXEX,0,0BYYEY0,0ZZEZ故ZKYKXKAEZKYKXKAEZKYKXKAEZYXZZYXYZYXXCOSSINSINSINCOSSINSINSINCOS321其中L2,1,0,MAMKXL2,1,0,NBNKY220022222CKKKKZYX且0321ZKABNAAMA电动力学习题解答第四章电磁波的传播8综上即得此种波导管种所有可能电磁波的解10电磁波2,TZKIEYXETZYXEVV在波导管中沿Z方向传播试使用EIHHIEVVVV00及证明电磁场所有分量都可用,YXHYXEZX和这两个分量表示证明沿Z轴传播的电磁波其电场和磁场可写作,TZKIZEYXETZYXEVV,TZKIZEYXHTZYXHVV由麦氏方程组得EITEHHITBEVVVVVV000写成分量式XYZZYZHIEIKYEZEYE01YZXZZXHIXEEIKXEZE02ZXYHIYEXE0XYZZYZEIHIKYHZHYH03YZXZZXEIXHHIKXHZH04ZXYEIYHXH0由23消去HY得10222XEKYHKCIEZZZZX电动力学习题解答第四章电磁波的传播9由14消去HX得10222YEKXHKCIEZZZZY由14消去EY得10222YEXHKKCIHZZZZX由23消去EX得10222XEYHKKCIHZZZZY11写出矩形波导管内磁场HV满足的方程及边界条件解对于定态波磁场为TIEXHTXH,VVVV由麦氏方程组0HEITDHVVVV得EIHHHHVVVVV22又HITBEVVVHHEIVVV220,02222HKHKVV即为矩形波导管内磁场HV满足的方程由0BNVV得0HNVV0NH利用HIEVV和电场的边界条件可得0NHT电动力学习题解答第四章电磁波的传播10边界条件为NHHTN012论证矩形波导管内不存在TMM0或TM0N波证明已求得波导管中的电场EV满足ZIKYXZZIKYXYZIKYXXZZZYEKXKAEYEKXKAEYEKXKAESINSINCOSSINSINCOS321由EIHVV可求得波导管中的磁场为ZIKYXYXZZIKYXXZYZIKYXZYXZZZYEKXKKAKAIHYEKXKKAKIAIHYEKXKKIAKAIHCOSCOSSINCOSCOSSIN123123本题讨论TM波故HZ0即012YXKAKA故1若0,0,02XYKABNKN则又0,02那么AAMKX0YXHH2若0,0,01YXKAAMKM则又0,01ABNKY那么0YXHH波导中不可能存在TMM0和TM0N两种模式的波13频率为91030HZ的微波在CMCM4070的矩形波导管中能以什么波模传播在CMCM6070的矩形波导管中能以什么波模传播解1HZ91030波导为CMCM4070电动力学习题解答第四章电磁波的传播11由2222BNAMCM当MBMA221040,1070时HZNMHZNMHZNM1010101073,1,010120,11034,1,1时时时此波可以以TM10波在其中传播2HZ91030波导为CMCM6070HZNMHZNMHZNM1010101033,1,010520,11012,1,1时时时此波可以以TE10和TE01两种波模传播14一对无限大的平行理想导体板相距为B电磁波沿平行与板面的Z方向传播设波在X方向是均匀的求可能传播的波模和每种波模的截止频率解在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程000022EKEKEVRR令UXYZ是EV的任意一个直角分量由于EV在X方向上是均匀的,ZZYYZYUZYXU又在Y方向由于有金属板作为边界是取驻波解在Z方向是无界空间取行波解解得通解ZIKYYZEYKDYKCZYXUCOSSIN,11由边界条件0,0NEEN和VV定解321SINCOSSINTZKIZTZKIYTZKIXZZZEYBNAEEYBNAEEYBNAE且L2,1,0,22222NKBNCKZ又由0EV得A1独立与A2,A3无关ZZAIKABN2电动力学习题解答第四章电磁波的传播12令KZ0得截止频率BCNC15证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等证明在谐振腔中电场EV的分布为ZIKYXZZIKYXYZIKYXXZZZYEKXKAEYEKXKAEYEKXKAESINSINCOSSINSINCOS321由EIHVV可求得波导管中的磁场为ZIKYXYXZZIKYXXZYZIKYXZYXZZZYEKXKKAKAIHYEKXKKAKIAIHYEKXKKIAKAIHCOSCOSSINCOSCOSSIN123123由21BHDERVVV有谐振腔中1电场能流密度DEEVR21RE41RE2121DEDEEVVVRCOSSINSINSINCOSSINSINSINCOS4222232222222221ZKYKXKAZKYKXKAZKYKXKAZYXZYXZYX2磁场能流密度BHBVV21RE41BHBVVZKYKKXKKAKAZYXZZY222232COSCOSSIN41ZKYKXKKAKAZYXXZ222231COSSINCOSSINCOSCOS222212ZKYKXKKAKAZYXYX电动力学习题解答第四章电磁波的传播13有22222KKKKZYX且0321ZYXKAKAKA其中L2,1,0,PNMCPKBNKAMKZYXABC是谐振腔的线度不妨令X0A,Y0B,Z0C于是谐振腔中电场能量对时间的平均值为ABCZYXZYXEEZKYKXKAZKYKXKADVW0002222222221SINCOSSINSINSINCOS4DXDYDZZKYKXKAZYXCOSSINSIN2222332232221AAAABC谐振腔中磁场能量的时间平均值为8412122312232YXXZZYBBKAKAKAKAKAKAABCDVW0321ZYXKAKAKAQ02223231212232222212321ZYXZYXZYXZYXKKAAKKAAKKAAKAKAKAKAKAKA322222322212ZYXBKKKAAAABCW323223222123222122AAAABCAAAABCKBEWW电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射11若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场两部分写出EV和BV的这两部分在真空所满足的方程式并证明电场的无旋部分对应于库仑场解在真空中的麦克斯韦方程组是TEJBTBEVVVVV0000,0BEVV如果把此方程组中所有的矢量都分解为无旋的纵场用角标L表示无散的横场用角标T表示那么TLEEEVVV且00TLEEVVTLJJJVVVTLBBBVVV由于0BV即BV无源场不存在纵场分量亦是说TLBBBVVV则,代入上面麦氏方程组1TBEVVTBEEEEETTTLTLVVVVVV20EV0LTLTLEEEEEVVVVV3TEJBVVV000000TLTLTEETJJBVVVVVTEJTEJLLTTVVVV000000若两边同时取散度0TBV0000TEJTTVV电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射2时上式方成立当且仅当0000TEJLLVV综上得麦氏方程的新表示方法TBETTVV0LEVTEJBTTTVVV0000000TEJLLVV0LBV证明电场的无旋部分对应库仑场电场的无旋部分表达式为0LEV引入LEV于是有02此泊松方程的解即是静止电荷在真空中产生的电势分布那么LEV即对应静止电荷产生的库仑场2证明在线性各向同性均匀非导电介质中若,0,0JR则E和B可完全由矢势A决定若取,0这时A满足哪两个方程解在线性各向同性均匀非导电介质中如果令0,0JV麦氏方程表示为TBEVVTDHVV0DV0BV其中EDVVBHVV由0BV引入矢势AV使ABVV则0ABVV故BV由矢势AV完全决定把ABVV代入TBEVV有0TAEVV令TAEVV则0TAEVV则TAEVV故EV有标势AV完全决定电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射3如果取0有ABVV代入方程TDHVVTAEVV0DV有1TDHVVTEBVVTATAVV022TAAVV20DV0ATV由于取0库仑规范0AV与洛伦兹规范012TCAV相同由12得AV满足的方程有0AV022TAAVV3证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势AV表示其中CZTA垂直于Z轴方向证对于沿Z轴传播的任意一平面电磁波BEVV,可写作00TKZIYTKZIXEEBBEEEEVVVV满足1BEVV,均垂直于传播方向ZEV2BEVV,相互垂直BEVV沿KV方向3BEVV,同相振幅比为真空中为C故不妨取,00TKZIXCZTIXEEAEEAAVVVCK电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射40TKZIYYXEEIKAEZAABVVVV10TKZIXEEAITAEVV2可见如果令0000,EABKA表达式12可表示的波正是符合条件的平面波所以命题得证4设真空中矢势,TXAVV可用复数傅立叶展开为KXKIKXKIKETAETATXA,VVVVVV,其中KAV是KAV的复共轭1证明KAV满足谐振子方程02222TACKDTTADKKVV2当选取规范0,0AV时证明0KAKVV3把BEVV和用KAV和KAV表示出来解1证明KXKIKXKIKETAETATXA,VVVVVVVVQ根据傅立叶级数得正交性必有XDETXATAXKIKVVVVVV,XDETTXADTTADXKIKVVVVV2222,1而洛仑兹变换时矢势AV满足方程JTACAVVV022221在真空中0JV故22221TACAVV1式化为XDACEDTTADXKIKVVVVV2222而XDETXACKTACKXKIKVVVVVV,2222于是XDETXACKTXACTACKDTTADXKIKKVVVVVVVVV,222222222KXKIKXKIKETAETATXA,VVVVVVVVQ电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射5,22TXAKTXAVVVV2式右边的积分式中被积函数为0积分为002222TACKDTTADKKVV亦即KAV满足谐振子方程2选取规范0,0AV于是有KXKIKXKIKKXKIKXKIKETAETAETAETAAVVVVVVVVVVVVV0KXKIKXKIKIETAKIETAKVVVVVVVV,TATAKKVVQ是线性无关的正交组要使上式成立仅当0KKAKAKVVVV时故证得当取0,0AV时0KAKVV3已知KXKIKXKIKETAETATXA,VVVVVVVVKXKIKXKIKETAIKETAKIABVVVVVVVVVKXKIKXKIKEDTTADEDTTADTAEVVVVVVVV取规范0,0AV5设AV和是满足洛伦兹规范的矢势和标势1引入一矢量函数,TXZVV赫兹矢量若令ZV证明TZCAVV212若令PV证明ZV满足方程PCTZCZVVV0222221写出在真空中的推迟解3证明BEVV和可通过ZV用下列公式表出PCZEVVV02,ZTCBVV21解1证明AV与满足洛仑兹规范故有012TCAVVQ代入洛仑兹规范有012VVTCA即12TCAVV电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射6TCAVV212证明Q标势在满足洛仑兹规范得条件下有方程022221TC而V故222VV222222TTTVV代入原方程022221TCVV令PV则上式化为PTCVVV0222211即PCTCVVV02222212由于矢势AVJTACAVVV022221在真空中的推迟势为VDRCRTXJTXA,4,0VVVV故可类比得出方程2在真空中的推迟势解为VDRCRTXPCTX,4,02VVVV3TAEVVQ代入TCAVVV21,有PCTCTCEVVVVVVV02222222211同理VVVTCAB21电动力学习题解答参考第五章电磁波的辐射7VVVVVTCBPCE20216两个质量电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生证明电偶极矩与磁偶极矩产生的辐射场分别是1由电偶极矩产生的辐射场PNIKREBNNPRCEEIKRIKRYXEZYXYEZYXXQEVVV23222232220423222ZEZYXZVZOXYZOXYRVRVVV电动力学习题参考第六章狭义相对论2由伽利略变换关系有在中YXEZYVTXYEZYVTXVTXQEVVV232222322204ZEZYVTXZV23222XEZYZYVTXQEVV34232220ZYEYVTXEVTXZVV可见EV不恒为零又在系中观察Q以速度VXEV运动故产生电流XEQVJVV于是有磁场RQVB20R是场点到X轴的距离此时有0TBV于是TBEVV故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的2设有两根互相平行的尺在各自静止的参考系中的长度均为0L它们以相同的速率V相对于某一参考系运动但运动方向相反且平行于尺子求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度解根据相对论速度交换公式可得2系相对于1的速度大小是2212CVVV在1系中测量2系中静长为0L的尺子的长度为OZX2X2O2Z1ZVV1O1X21VV电动力学习题参考第六章狭义相对论32201CVLL代入2212CVVV即得2222011CVCVLL此即是在1系中观测到的相对于2静止的尺子的长度3静止长度为0L的车厢以速度V相对于地面S运行车厢的后壁以速度0U向前推出一个小球求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间解根据题意取地面为参考系S车厢为参考系S于是相对于地面参考系S车长2201CVLL车速V球速2001CVUVU