正线性代数练习册答案

班级学号姓名序号1第一章行列式知识点全排列及逆序数，N阶行列式的定义，对换行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则及其相关理论克拉默法则解线性方程组学习目标1理解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算方法2掌握二、三阶行列式的计算法3掌握行列式的性质，会计算简单的N阶行列式4掌握GRAMER法则及其相关理论5掌握应用GRAMER法则解线性方程组的方法11二阶、三阶行列式一、填空题12537222AABB_3125031002_4000213XXX112ABBA36422X12逆序数与N行列式的定义一填空题1排列5371246的逆序数为2排列1,3,21,2,4,2NNNULLNULL的逆序数为3六阶行列式中，132536415462AAAAAA的符号为110212NN3负13行列式的性质与计算班级学号姓名序号2一、利用行列式的性质计算下列各行列式1021002041199200397301300600123221021002042100421411992003971200310012330130060013000130CCCC132320545410005310050053130RRRR0000020000000000XYXYXXYYXNULLNULLNULLNULLNULL11110000000000000210000000000000000000000000000001NNNNNNXYXYYXYXYXYXXXXYXYXYYXXXXYNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL3123423413412412312341123410234123423411034113413101034121041214124123101231123CCCCC21323142411234123420113011310101600222004801110004RRRRRRRRRR二、试将下列式化为三角形行列式求值班级学号姓名序号325123714592746124321133141322442251215221522371417340216259272957011346121642012015221522152201200120012090113003300332021600360003RRRRCCRRRRRRCCRR三、用降阶法计算下列行列式224041353123205121312240200035541354355248323123348321120512211CCCC132371052710210532270105001CCCC四、计算下列行列式2100012100012100012000002班级学号姓名序号4解12112100011000121000210001210012102200120001200000200002NNNNNDDD11221321NNNNDDDDDDNULL111NDDNN15CRAMER法则一、利用CRAMER法则解下列方程组01123253224254321432143214321XXXXXXXXXXXXXXXX解因为14211213513241211111D,142112105132412211151D,284112035122412111512D,426110135232422115113D,14202132132212151114D,所以111DDX,222DDX,333DDX,144DDX二、问取何值时,齐次线性方程组010320421321321321XXXXXXXXX有非零解解系数行列式为101112431111132421D13341213132123班级学号姓名序号5令D0,得0,2或3于是,当0,2或3时,该齐次线性方程组有非零解第一章复习题一、选择题（选项不唯一）1111213111213212223131323313132332122232220222222AAAAAADAAAMDAAADAAAAAA；那么A2MB2MC8MD8M211121311111213212223121212223131323331313233423D1D423D423AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA；那么A8B12C24D243下列N阶行列式的值必为零的是A行列式主对角线的元素全为零B三角形行列式主对角线有一个元素为零C行列式零元素的个数多于N个D行列式非零元素的个数小于N个4如果304050A0B1C1D3XKYZYZKXYZKK有非零解，则1D2B3B,D4C,D二、填空题班级学号姓名序号613421536215_2809230092行列式2已知4阶方阵A，其中第三列元素分别为1，3，2，2，它们的余子式的值分别为3，2，1，1，则行列式A3若,AB均为整数，而000,10001ABBA则A_B_4IJ123456784A23486789若阶行列式为；为其代数余子式，13233343210412_AAAA则1122460002530；040三计算下列行列式150421121412011113222214250425042542542112111211115410014120504123223211112032RRRRRR2321541723RR2222111222333NNNNNN2121211111112221222233331331NNNNNNNNNNNULL班级学号姓名序号71121IJNNJIN）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合（）5向量组的秩等于它的最大线性无关组的个数6非齐次方程组BAX有无穷多个解的充分必要条件是它有两个不同的解7若K,21NULL是齐次方程组0AX的基础解系，是非齐次方程组BAX的一个解向量，则,21KNULL一定线性无关8对N个未知量N个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解（）9齐次线性方程组解的线性组合还是它的解（）班级学号姓名序号31答案123456789二设向量组T0,0,1,11,T1,1,2,12，T1,1,1,03，T1,2,3,14，T1,4,6,25试求向量组的秩及其一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表出解11012110121101210101121360112401124011020112401124000110001101111011110000000000向量组的秩为3，124,是一个最大线性无关组，并且312，51242三求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解1023203220432143214321XXXXXXXXXXXX解1111111110451122301340134231201340000基础解系为4534,121001，故原方程组的通解为4534121001CC其中12,CC为任意常数2123412341234123450230383970XXXXXXXXXXXXXXXX班级学号姓名序号32解11511151103/2111230274017/22318102740000139704480000基础解系3127120210,故原方程组的通解为3127120210CC其中12,CC为任意常数四求下列非齐次线性方程组的通解,并写出它的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系2736123435224123494721234XXXXXXXXXXXX解2131123927316121121211235224352240115110941729417202210220RRRRRR213139101/119/112/11015/111/1110/1100000RRRR方程组的通解为2111011191212011311040150XXCCXX12,CC为任意常数第四章自测题一、填空题1线性方程组BAX有解的充分必要条件是2若齐次线性方程组00202KZYKXZKYXZYKX有非零解，且12K,则K的值为。3已知,1,0,1,11T,4,1,02TAT2,2,1,23线性相关，则A_4向量组TTT3,0,0,1,1,4,0,3,1,2,0,1321线性_班级学号姓名序号335已知四阶方阵且,4321A，且4321。则方程组AX的一个解向量为6方程组01654321XXXXXX的通解为_7设21,是非齐次线性方程组BAX的解，又已知2211KK也是BAX的解，则21KK_答案1RARAB22324相关51111T61234100000110000101000000110000101TTTTTCCCC71二、选择题1设A为N阶矩阵，若A与N阶单位矩阵等价，那么方程组BAX（）A无解B有唯一解C有无穷多解D解的情况不能确定2齐次方程组0XANM只有零解的充分必要条件是NMA的秩（）AMARNMBNARNMCMARNNMDNARMNM3设A为NM矩阵，则有（）A若NMNULL。2二次型AXXT是正定的充要条件是实对称矩阵A的特征值都是_。3实对称矩阵A是正定的，则行列式必_。4如果实对称矩阵A有一个偶数阶的主子式0，那么A_。5判定一个二次型是否正定的，主要可用_等方法。解答1可逆2正数3大于零4必既非正定，也非负定5定义，化标准形,确定正惯性指数,求特征值,求各阶顺序主子式二选择题1N个变量的实二次型AXXFT为正定的充要条件是正惯性指数P（）A2NPB2NPCNPDNPN,038|A,043111,06902031211,024A,所以F为正定第五章复习题一判断题1若实对称矩阵A的特征值全大于零，则二次型AXXFT是正定的。（）2若有非零向量X使得0AXXT，则A为正定矩阵。（）3二次型23212XXF是正定的。（）4A正定，则A的行列式0A。（5实对称矩阵A与B合同，则必相似。（）答案12345二选择题1N阶实对称矩阵A正定的充要条件是（）A对于任意非零实数NXXX,21NULL，有0,2121TNNXXXAXXXNULLNULL班级学号姓名序号45B0ACA的各阶顺序主子式全大于0。DA的特征值非负。2设是正交矩阵A的一个实特征值，则（）A12B1C1D0设A为正定矩阵，则（）A1EAC0EAD1EA4A与B均为N阶正定矩阵，实数0,BA，则BBAA为（）A正定矩阵B半正定矩阵C不定矩阵D负定矩阵5二次型322123214232XXXXXXF的矩阵是（）A340402022B320201012C320201012D320201012答案1C2AB4A5B三计算题1已知实对称矩阵122224242A，求正交矩阵Q,使AQQ1,为对角矩阵。解2123272,7AE代入齐次线性方程组0AEX，解得基础解系分别为121,0220,1和312,2将3122单位化3132323P班级学号姓名序号46将121,02201正交单位化为1251,50P22354,35535P则32535032534513153252Q为所求正交矩阵，且7,2,21DIAGAQQ。2设三阶方阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111,2,3149，又向量113（1）将用123,线性表示；（2）求NA（N为正整数）解（1）123111111111111,123101200120149303820022100201020011，所以12322（2）NNIIIIIIAA12322NNAA112312322223NNNNNAAA班级学号姓名序号4712132223223223NNNNNN第五章自测题一、填空题1设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则1A的特征值为（）；A的特征值为（）；（3EA）的特征值为（）。2设三阶矩阵A0，则A的全部特征向量为（）。3若A相似于E，则A（）。4设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是T1,1,11，T1,2,12，则A的属于特征值3的特征向量是（）。5二次型322123222143212432,XXXXXXXXXXXF的矩阵是_。6矩阵314122421A对应的二次型是_。7当_时,实二次型3231212322213214225,XXXXXTXXXXXXXF是正定的。8设N阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2,N,则当T_时,TEA是正定的。9二次型XYZYXF2222可记作ZYXAZYXF，其中对称阵A_。10设二次型XZAXYZYXF2232222，则当A满足条件_时，F正定。答案12111，；122，；542，。2332211CCC，其中T0,0,11，T0,1,02，T1,0,03，（321,CCC为不全为零的任意常数）。3E4TC1,2,3，（C为非零常数）。班级学号姓名序号48512022101367054T8。9110110001103535A二、选择题1设A211102113，则向量（）是A的属于特征值2的一个特征向量。（A）T，1,01；（B）T，1,01；（C）T，0,11；（D）T，1,102矩阵A300030000与矩阵（）相似。（A）000030300；（B）300130010；（C）300000003；（D）3100310003下述结论正确的有（），其中A为N阶矩阵。（A）方程00XAE的每一个解向量都是对应于特征值0的特征向量；（B）若21,为方程00XAE的一个基础解系，则2211CC（21,CC为非零常数）是A的属于特征值0的全部的特征向量；（C）A与TA有相同的特征值和相同的特征向量；（D）A与TA有相同的特征多项式。4设0011100YXA有3个线性无关的特征向量，则YX和应满足条件（）（A）YX；（B）YX；（C）YX2；（D）XY2。5二次型24232221XXXXF的正惯性指数为（）班级学号姓名序号49（A）1（B）2（C）3（D）46二次型3231212XXXXXXF的秩为（）（A）0（B）1（C）2（D）37若矩阵A与B合同，则它们有相同的（）（A）特征根B秩C逆D行列式8设BA,均为N阶方阵,TNXXXX,21且TTXAXXBX,当时,AB。ARARBBTAACTBBDTAA且TBB9下列矩阵为正定的是（）A120230002B120240002C120250002D20001202510设均为N阶正定矩阵,则是正定矩阵。AABBABCABD12KAKB11设A、B为同阶可逆矩阵，则（）ABAABB存在可逆矩阵P，使BAPP1C存在可逆矩阵C，使BACCTD存在可逆矩阵P和Q，使BPAQ班级学号姓名序号5012设1111111111111111A，4000000000000000B则A与B（）A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同也不相似答案1C；2C；3D；4B5C6D7B8、D9、D10、A11、D12、A三、计算题1求正交矩阵Q，使AQQ1为对角矩阵，其中，1111111111111111A31234222,2AE对应的特征向量为123111100,01001，和41111将123,正交单位化为1231/231/61/21/231/61/2,01/2/6003/23PPP，4单位化41/21/21/21/2P，令1234111122623111122623,211026233100223QPPPP则为所求的正交矩阵，且2,2,2,2DIAG1AQQ。2设三阶实对称矩阵A的秩为2，621是A的二重特征值。若T，0111，班级学号姓名序号51T，1122，都是A的属于特征值6的特征向量。1（7分）求A的另一特征值和对应的特征向量；2（8分）求矩阵A。解（1）因为A的秩为2，所以A不可逆，则必有特征值为0，所以A的另一特征值03，设对应的特征向量为3123TXXX，则3123TXXX与01111122正交，所以12123020XXXXX，取3111则A的属于特征值03的全部特征向量为TKK1,1,13，0K2令11123600060000PPAPAPP1216000114221110601/31/32/32420110001/31/31/32243设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量T，1211，T，1102是齐次线性方程组0AX的两个解。1求A的特征值与特征向量；2求正交矩阵Q和对角矩阵，使AQQT；解1设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，则1311331131A，所以3是A的一个特征值，且对应的特征向量为TCC1,1,1,00000；又因为向量T，1211，T，1102是齐次线性方程组0AX的两个解，所以0是A的二重特征值，T，1211，T，1102是A的属于特征值0的特征向量，属于0的全部特征向量为212211,CCCC不全为零）；（2）将0单位化为T33,33,330，将T，1211T，1102正交单位化为T61,62,611，T21,0,212班级学号姓名序号52令,210Q，则003AQQT4用配方法化下列二次型成标准形,并写出所用变换的矩阵。123121323,FXXXXXXXXX解令112222121213332XYYXYYFYYYYXY222222211332313232YYYYYYYYYY令1132222212333ZYYZYFZZZZY；1131123112222122123333333,YZZXZZZXYYYZXYYXZZZYZXYXZ所以所用线性变换的矩阵为111111001C期末模拟试题（一）一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分；每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在答题卡上。多选、错选或未选均不得分。）1、如果1112132122233132331AAADAAAAAA，111311121212321231333132423,42AAAADAAAAAAAA则1D（）A8B12C12D242、对任意N阶可逆方阵A，下列等式一定成立的有（）个22,TTAA1122,AA11,TTAA111TTTAAA1B2C3D43、设A为N阶方阵，A的秩1,RAN则A的伴随矩阵A的秩为（）A0B1C1NDN4、在向量组1234,中，如果123,线性相关，则必有班级学号姓名序号53A12,线性无关B12,线性相关C1234,线性无关D1234,线性相关5、设N阶方阵,AB，如果，则,AB相似AABBRARBC,AB合同D,AB有相同的特征值且N个特征值各不相同二、填空题。（本大题共5小题，每题3分，共15分；请在答题卡上填上正确答案，错填、不填均不得分。）1、已知四阶行列式D的第三列元素依次是1，3，0，2，第一列元素对应的余子式的值依次是8，K，7，10，则K2、若123，211，TA,则2A3、已知向量组1231,1,1,1,2,1,1,1,T线性相关，则T4、已知四阶矩阵A与B相似，矩阵A的四个特征值为1111,2345，则1BE5、若实对称矩阵A是正定的，则其行列式的值必三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分；正确的命题划“”，错误的命题划“X”，在答题卡上填写，错填、不填均不得分。）1、若2NN阶三角形行列式主对角线上有一个元素为零，则行列式的值必为零。（）2、设,AB是两个N阶方阵，若0AB则必有0A或0B（）3、初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵（）4、若齐次线性方程组0AX有两个不同的解向量12,，则该方程组的通解为112212,CCCC为任意常数（）5、如果12,NULLSPPP是方阵A对应于特征值的特征向量，12,NULLSKKK是任意实数，则1122NULLSSKPKPKP也是A对应于特征值的特征向量（）班级学号姓名序号54四、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分；要求写出主要步骤及结果）1、已知2ABAB，其中033110123A，求矩阵B2、线性方程组132230432143214321XXXXXXXXXXXX是否有解若有解，用其导出组的基础解系表示通解3、已知向量组11,1,2,4T，22,3,3,1T，31,1,2,0T，44,6,6,2T求（1）该向量组的秩，并判定它的线性相关性；（2）求出它的一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。班级学号姓名序号55五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分；要求写出主要步骤及结果）1、设三阶实对称矩阵A的三个特征值为1,2,3，A的对应于1，2的特征向量依次为12111,2,11PP求（1）A的对应于3的全部特征向量；（2）矩阵A2、用配方法化二次型121323X2XXXX为标准形，写出相应的满秩变换矩阵，并求出该二次型的正惯性指数。六、证明题（本大题10分要求写出主要步骤及结果。）设N阶矩阵A的N个特征值为12,NULLN,它们互不相等，对应的特征向量为班级学号姓名序号5612,NULLN，且12NULLN，证明向量组21,NULLNAAA线性无关。期末模拟试题（二）一、填空题本大题共7道小题，每题3分，共21分1、已知3021111XYZ，则33332222XYZXYZXYZ2、设123A，则TAA3、设MN矩阵A，且秩AR，D为A的一个1R阶子式，则D4、设A为N阶方阵，且DET2A，则11DET3AA5、已知四阶方阵,4321A,向量组321,线性无关,且2142,则方程组0AX的通解为6、设向量组K21,110,111321线性相关，则K7、任意的二次型都存在的对称矩阵A二、选择题本大题共5道小题，每题3分，共15分1、齐次方程组0XANM只有零解的充分必要条件是NMA的秩（）MARNM；）NARNM；）MARNNM；）NARMNM2、二次型221212232324FXXXXX的矩阵是（）班级学号姓名序号57A220204043B210102023C210132020D2101020233、对任意N阶方阵,AB总有（）AABBABABBACTTTABABD222ABAB4、N阶矩阵A与B相似，E为单位矩阵,则（）AEBEABA与B都相似于一个对角矩阵CA与B有相同的特征向量DEBEA5、已知4阶方阵A，其第三列元素分别为1，3，2，2，它们的余子式的值分别为3,2,1,1则行列式AA5B5C3D3三、判断题本大题共4道小题，每题2分，共8分1、621621000000000NULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（）2、若齐次