线横向振动的数值方法和动力学分析

上海大学博士学位论文轴向运动弦线横向振动的数值方法和动力学分析姓名赵维加申请学位级别博士专业一般力学与力学基础指导教师陈立群20040512摘要轴向运动弦线是一种重要的工程元件也是力学理论的研究中的重要模型其横向振动的研究有重要的理论意义和明确的工程背景本文的主要目的是发展和改进基于轴向运动弦线的动力学模型的数值方法，利用计算机模拟方法研究运动弦线的横向非线性摄动。论文在第一荤简要介绍近50年来轴向运动弦线的横向摄动的有关研究的进展。包括非线性轴向运动弦线的动力学模型的建立、轴阿运动弦线的能量分析和守恒量的研究、车言向运动弦线梗向振动的分析方法和轴向运动弦线系统的参数景动分析等内窑第二章对轱向运动弦线的动力学摸型和守恒量进行了研究首先利用分数导数描述粘弹性弦绽的本构关系建立了相关的运动弦绫的动力学模型芳利用卷积符号给出含有积分项的不同模型虹积分本构模型和分数导盏本构模型的统一表示。分析了耠弹性本构弦线系统的三种重要模型微分本掏模型、积分本构模型和分数导数本构模型的形式的相似和内在的区别，这一章还针对轴向运动弹性弦线模型和撵性粱模型导出并研究了弹性弦线平F弹性粱轴向运动过程中的运动守恒量利用导出的守恒量正明了当弹性弦线或弹性粱的轱向运动运度低于临界速度时其横向掇动关于初值稳定。第三章对基于非缓炷转向运动弦线横向振动漠型的6ALERKIN方法的算法设计和精度分析造行砑究。GEIERKIN方洼是广泛应用的数崖方洼之一，但利用GALERKIN方法对转向运动弦线系统模型的状态变量作数筐离教得到的篙微分方程组含有大量的以积分形式出现的非线性项成为计算的很大障碍。本文对利用GALERKIN方法离散得到的常微分方程缓的非线隹项的系数进行了分析，考虑到方程组的系数虽然不是稀琉豹，但有大量的零和重复项支幸采用下标重排的方法消去篷为零钓项，台并重复项，大大壤少了计算量，并利用简单的豢筐程序生成了离散方程缝的系数矩砗和系羲张量，为利用GALERKIN方法分折鞋向运动弦纹的非线陛摆动提供了方巨。这一荤还利用第二章导出的守懂量给出了分析GALERKEN方法数筐计算精度的一手亭方洼，利用运荐方法给出了不臣截辑输约GALERKI方法的精度比较，；绩陵项的增大对截鸶误差的影唬以及赣向运动速度超过偿羿速度对GALERKIRL,方注曲精度分1F|亍，第匹章利再鼗筐方洼班究辛言誊睦转向运袭弦绞礅分本洚模型的参盏振嘉，这一章蓄先萋于微分奉筒诿型建立了爵稃相应的黄筐方洼第一种是半离教的差分方港方涪的特点是对费力学方程和微分奉尚方程分别离鼓因此可以乍于不扁微分本构模型，且适用于非线性项较大的情况坦计算量较大，第二手聿是运用于标准毒均模型直接差分法利罱际准本构模型前特殊结构，运过对动力学控制方程和敬分本陶方程在不同的分鼓节点上作中心差分离散，髟成了两组可以交替迭代的线性差分方程组这样就把非绽性问题离散为交替迭代的线性问题，大大减少了计算量，而且方法保持了截断误差为二阶和对较小的非线性项的好的稳定性，利用上述算法对不同模型的适应性，这一章研究了不同微分本构模型的参数振动，并对不同车构关系的动力学模型避行了比较和分析第五章利用数值方法研究积分本构粘弹性转向运动弦线的横向振动。基于计算稳定性和计算精度的考虑，采用有限元方法对空间变量进行离散由于离散得到含有大量积分区间为O，T的积分顶的大型常徽分积分方程组，利用目前普遍采用的算法随着对闰T的增大，每一时间步的数值计算工作量显著增加且计算精度下降，园此积分项的数值求解成为计算的关键问题之一在这一章申，针对积分本构模型的特点，建立了两个对阁步之闻所有的积分项经成寺张量之间的递推计算公式在计算过程申利用简单的代数迭代遥算代替了数筐积分公式计算积分项组成的张量使得计算量太大减少且计算精度明显提高这一荤以三参数秸弹性弦绽模型为例利用上述数僮方法得到的数值解分析了积分本构桔弹性轴向运动弦线的参数摄动包括薛态振动和稳态振动研究了不同参数的变化对系统振动的影响。以及当转向运动这度超过临异速度对系统的稳定性等第六章研究分数导数本构桔弹性轴向运动弦线的横向振动白于分数导数本构摸型申的积分算子是广义积分，不能直接利用递推关系简化运算本文利用分离奇点对积分核作线性最小二乘逼近等方法，把模型亿成可以递推的结构，建立了梧应的遥控方法利用送摆钓方洼，研究了分数导鼓奉佝粘弹性转向运动弦线的参鼓摄动，分析了遣度、张力和材料参数约变化对系统振动的影睫，关键诃轴向运动弦续糖弹睦，非线性，偏微分积分方程，数值方法，摄动分析A且AXIALLYMOVINGSTRINGISANIILLPOFTAILCMECHANICALMODELBOTHINENGINEERINGDESIGNANDINTHESTUDYOFMECHANICSTHEMAINPURPOSEOFTHISDISSERTATIONISTODEVELOPNUMERICALALGORITHMSBASEDONTHEDYNAMICALMODELSOFAMO“NGVISCOELASTICSTRING；ANDANALYZETRANSVERSENONLINEARVIBRATIONSTHROUGHCOMPUTERSIMULATIONSTHEMAINAPPROACHADOPTEDINTHISDISSERTATIONISNUMERICALANALYSISINTHEFIRSTCHAPTER,ABRIEFRENEWOFTHERECENTPROGRESSESISSURVEYEDONTHERELATIVETOPICSINCLUDINGTHEDYNAMICALMODELSOFANAXIALLYMOVINGSTRINGANDTHECONSERVATIVEQUANTITIESANDENERGYFORMULATIONS,THENUMERICALMETHODSFORSIMULATINGTHETRANSVERSEVIBRATIONSOFANAXIALLYMOVINGSTRING，ANDTHENONLINEARVIBRATIONANALYSISOFMOVINGSTRINGSINCHAPTERTWO，DYNAMICALMODELSOFALLAXIALLYMOVINGSTRINGANDTHEIRCONSERVATIVEQUANTITIESARCINVESTIGATEDFRACTIONALDERIVATIVESANDFRACTIONALINTEGRALSAREEMPLOYEDTODESCRIBETHECONSTITUTIVELAWOFAVISCOELASTICAXIALLYMOVINGSTRING，ANDDYNAMICALMODELSOBEYINGTHECONSTITUTIVELAWAREDEDUCED，BYMEANSOFCONVULSIONPRODUCT，THEINTEGRALCONSTITUTIVEMODELANDTHEFRACTIONALDIFFERENTIALCONSTITUTIVEMODELFORAXIALLYMOVINGVISCOELASTICESTRINGSAREDESCRIBEDINAUNITEDWAYCONSERVATIVEQUANTITIESOFAXIALLYMOVINGELASTICSTRINGSANDBEAMSAREALSOFOUNDINTHISCHAPTERSEVERALCONSERVATIVEQUANTITIESWITHTHEIRAPPLICATIONSBOTHINTHEORYANDINNUMERICALCOMPUTATIONAREPRESENTEDINCHAPTERTHREE，THEGALERKINSMETHODFORTRANSVERSEVIBRATIONSOFAXIALLYMOVINGSTRINGSISANALYZEDALTHOUGHGALERKINSMETHODISONEOFTHEMOSTUSEFULAPPROACHESINTHENUMERICALSTUDIES，THEDISCRETIZATIONOFTHESTATEVARIABLELEADSTOALA曙ENONLINEARDIFFERENTIALEQUATIONSYSTEM，ANDTHEGREATNUMBEROFNONLINEARTERMSOFWHICHCAUSESAHEAVYCOMPUTATIONALBURDENSINCETHEREARESIMILARTERMSANDZEROCOEFFICIENTTERMSINTHEEQUATIONS，EFFICIENTALGORITHMSAREDESIGNEDTOREGROUPHELIKETERMSANDOMITTHEZEIOCOEFFICIENTTERMS，WHICHMAKESTHERESULTINGGALERKINLSTRUNCATEDEQUATIONSMUCHSIMPLERCOMPUTERALGORITHMSAREPROVIDEDCOGENERATETHECOEFFICIENTSOFTHETRUNCATEDEQUATIONSANDNUMERICALEXAMPLESOFHIGHORDERGALERKINSMETHODAREGIVENBASEDONTHECONSERVATIVEQUANTITIESDERIVEDINCHAPTERTWO，AMETHODFORESTIMATINGTHENUMERICALEFRORSOFTHEGALERKFNSMETHODISGIVEN，ANDTHEELROROFTHEGALERKINSMETHODISANALYZEDINCHAPTERFOUR,THENONLINEARTRANSVERSEVIBRATIONSOFAXIALLYMOVINGVISCOELASTICSTRINGSOBEYINGTHEDIFFERENTIALCONSTITUTIVEIAUSARESTUDIEDTWOFINITEDIFFERENCEMETHODSAREPROPOSEDTONUMERICALLYSIMULATETHEMODEL，ONEISASIMIDISCRETEMETHOD，WHICHCALLBEUSEDTODEALWITHDIFIERENT1INEARCONSTITUTIVEMODELSSUCHASTHESTANDARDMODELANDTHEMAXWELLKELVINMODEL，THEOTHER,ANALTEMATINGDIFFERENCEMETHODFORTHESTANDARDMODEL，DESCRETICIZESTHEGOVERNINGEQUATIONANDTHEDIFFERENTIALCONSTITUTIVEEQUATIONATDIFFERENTFRACTIONALNODES，SOTHENONLINEARPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONSYSTEMISAPPROXIMATEDBYTWOLINEARFINITEDIFFERENCEOPERATORSALTEMATIVELYUSEDINNUMERICALCOMPUTATIONTHEMETHODISNOTONLYSIMPLEINCOMPUTATION，BUTALSOSTABLEANDPRECISETHEPARAMETRICVIBRATIONSOFANAXIALLYMOVINGSTRINGARESTUDIEDVIATHEALGORITHMSINCHAPTERFIVE，WESTUDYTHENONLINEARTRANSVERSEVIBRATIONSOFANAXIALLYMOVINGVISCOELASTICSTRINGOBEYINGTHEINTEGRALCONSTITUTIVELAWUSINGFINITEELEMENTMETHODORGALERKINSMETHODTOTHESTATEVARIABLESOFTHEMODELLEADSTOALARGEDIFFERENTIAVINTEGRALEQUATIONSYSTEM，WHICHRESULTINAHEAVYTASKOFCOMPUTATIONWHILETIMETISLARGETOREDUCETHEAMOUNTOFTHECOMPUTATION，ANITERATIVEPROCESSOFTHEINTEGRALTEITNAISDESIGNED，BYWHICHTHEINTEGRALTERMSARECOMPUTEDINASIMPLEITERATIVEPROCESSINSTEADOFALARGENUMBEROFNUMERICALINTEGRATIONSATEACHTIMESTEPTHENEWMETHODNOTONLYGREATLYREDUCESTHEAMOUNTOFCOMPUTATION，BUTALSOINCREASESTHEPRECISION，USINGTHENUMERICALAPPROACH，THEPARAMETRICVIBRATIONSOFTHEAXIALLYMOVINGSTRINGWITHINTEGRALCONSTITUTIVEMODELAREANALYZED，INCLUDINGTRANSIENTVIBRATIONANDLONGTIMEVIBRATION，THEEFFECTSOFTHEAXIALLYVELOCITYANDTHETENSIONONMOVINGSTRINGS，ANDTHESTABILITYOFTHEVIBRATIONWHENTHEAXIALSPEEDOFASTRINGREACHESOREXCEEDSTHECRITICALSPEEDINCHAPTERSIX，WESTUDYTHENONLINEARTRANSVERSEVIBRATIONSOFANAXIALLYMOVINGVISCOELASTICSTRINGCONSTITUTEDBYTHEFRACTIONALDIFFERENTIALCONSTITUTIVELAWSINCETHEINTEGRALSINTHEFRACTIONALDIFFERENTIALCONSTITUTIVEMODELAREIMPROPERINTEGRALS，THEITERATIVETECHNIQUEINCHAPTERFIVECANNOTBEDIRECTLYUSEDTOSOLVETHEMBYSEPARATINGTHESINGULARPOINTFROMTHEMAININTEGRALANDAPPROXIMATINGTHEKERNELOFTHEINTEGRALOPERATORBYEXPONENTIALFUNCTIONS，THEINTEGRALSARETRANSFORMEDINTOANEWFORMTHATCANBEITERATIVELYCOMPUTED，ANDANITERATIVEMETHODFSPRESENTEDTOSIMPLIFYTHECOMPUTATIONBYUSINGTHEITERATIVETECHNIQUE，THEPARAMETRICVIBRATIONOFANAXIALLYMOVINGSTRINGCONSTITUTEDBYTHEFRACTIONALDIFFERENTIALCONSTITUTIVELAWISSTUDIEDKEYWORDSAXIALLYMOVINGSTRING，VISCOELASTICITY,NONLINEARIT，PATTIALDIFFERENTIALINTEGRAEQUATION，NUMERICALALGORITHMS，VIBRATIONANALRSIS原创性声明本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅学校可以公布论文的全部或部分内容。保密的论文在解密后应遵守此规定匪丑日期型幸J厨2F目L海大学博I论文11基本问题和研究意义第一章绪论轴向运动弦线可以由许多工程元件抽象而来。如汽车马达的蛇型传送带、线切割机床的放电镍丝、磁带、运动纺织纤维、带锯、悬挂缆车的运动钢索等忽略弯曲应力，都可以简化为轴向运动弦线研究。作为一种常见的工程元件，轴向运动弦线的横向振动的研究有许多重要的应用背景。剀L1A马哒蛇型传送带幽1IB带强紧轮的马达蛇型传送带例L汽车马达蛇型传送带的横向振动问题”“。汽下马达蛇型传送带见图11。蛇掣传送带在马达驱动F沿轴向高速运动。传送带在运动过程中产生的横向振动可以导致设备的加速磨损、振动取L噪声的增人，L灭【此是改进设计的重要技术指标。当前在汽带制造中，泛采用的蛇型传送带通常刚合成橡胶等组成的复合材料制造，这些粘弹性材料不但力学性能好，还可以减少振动带来的负面影响特别是高速运动中的振动影响。由于了程的需要，目前对传送带的横向振动的研究的重点正在转向粘弹性材料的新型传送带的振动的研究、轴向运动弦线高速运动产生的1I线性现象和不稳定性的研究等。倒2屯火花线切割机床放电镍丝FL勺横向振动问题。电火花线切割机床的放屯镍丝的I作原理如幽12。幽中是一个装有冷却油的有机坡璃槽，放电镍丝在马达驱动F泔轴向运动通过镍丝的火花放电对高硬度I仆进行切割舢I。镍丝的一部分浸在冷却油中。在加L过程中镍丝横向振动的人小影响切割面的光沽度羽L切割精度，是提高机床DD_|精度的一个重要因素。还有许多其他的例子。一方面，弦线运动中振动的增强在许多一群问题中有不良的影响，如磁带的横向振动使得声音调制，导致声音的失真”“；纺织机上的运动纺织纤维的振动影响到纤维的均匀性、断头率等技术指标。另一方面，在许多情况R，合理地利刖运动弦线的振动可以改善I艺。如在气流纺纱中，提高高速运动纱线的振动频率和幅值可以提高纱线的质量在针织I艺中，利用运动纱线的振动可以改善织物的视觉效果等。冈此，研究轴向运动弦线的横向振动的动力学特性，在力学理论坪|LI稗设计的戍川中都只有重要的意义。目前所研究轴向运动弦线的横向振动的许多理论问题都带有很强的I样背景如超临界述度F的弦线振动的稳定性，粘弹陛材科的戍川对改善运动弦线的稳定陛的作川笛问题。上海大学博J论文JO图12电火花线切割机床放电镍丝工作示意图12目前的研究进展轴向运动弦线系统是没有抗弯刚度的一维连续介质的运动系统，且平衡位置娃直线。许多细的一样元件像带状物、电缆、链、弦和绳等，当弯曲麻力很小时，都可以模型化为弦线进行分析。作为单向高速运动的柔性连续介质，运动弦线系统有独特的力学性能。其力学模型、振动理论和动力学性质的研究无法由其他的模型平理论取代。因此，运动弦线系统的振动理论乖L动力学性质的研究是力学理论的重要分支，芙丁轴向运动弦线的横向振动目前已有许多综述文章，涉及运动弦线的振动分析、控制等多方面内容。如MOTE1972T；L，ULSOY，MOTE和SZYMANI1978I，WICKERT和MOTET988WANG和LIU1991F1L，ABRATE1992。陈立群和ZU200I，CHEN2004等的综述文章。本章只对本论文的研究丁作所涉及的内容，对有关研究进展进行简要的同顾和总结。121轴向运动弦线横向振动的动力学模型对轴向返动弦线横向振动的研究可以追溯到100多年以前AITKIN1878和SKUTCH1897。等人的I。作。早期的研究主要针对线性模型，分析方法也主要限丁占典解析的方法。MOTE1966”苜先研究了轴向运动弦线的1|线性振动。他在轴向位移的偏导数很小的假改R建立了弹性弦线横向振动的1F线性模刑P繁ZPC嘉C肛2棚器爿E雾僻其中P，A，C，P分别是弦线的密度、横截面积、轴向速度和初始张力，E是弦线的轴向弹性模麓，是横向位移。利用这一模型，MOTE等研究了弦线的非线性性质，解释了一些不能州线性模型解释的实验和理论结果。此后的许多年中，在不同的假设F，人们建立并研究了各种不同蛉非线性模型，以满足不同实际背景的需要。例如，去掉轴向僚移的偏导数很小这一假设，则得到较复杂的THURMAN和MOTE1969”71的模型2一塑叁兰竺土丝兰P曙ZC塞膏矧一E豢郴删昙P等忆嘉。豢爿E豢W一翻，去L塑JLAXTAXOX212与模型11不同的是，THURMAN和MOCE的模型中考虑了轴向位移和位移变量的高阶项的影响。AMES，LEE和ZAISER1968“则利川轴向动最守恒，力的平衡条作和连续性条什得到P面的模型MPVBN14等忆塑OTC3X。害AXA丁22A矿AR一十C一2A7AYAOTAP丁丽面丽AMY丽丽并利用上述模型研究了运动弦线的振动问题“”。I。上面各种模型都建立在弹性本构关系OE0的假设F。为了向一般本构荧系的推厂，许多作者如WICKET和MOTE“”等”9“采用了比模型11更一般的形式15161718ZU笛”，CHENP害亿C丁，嘉州R，等CN睾P矛8AU昙卜詈。，米描述运动弦线。模艰19中考虑了弦线毒【FI向速度变化的情况而且没有给出轴向应力。的具体表示形式。这样，一方面可以利川这一模刑分析速度变化对振动的影响，另一方面可以通过对材料的本构关系作不同的假设，得到各种不同的运动弦线的横向振动模型，如各种线性粘弹性材料的运动弦线的横向振动模型等。由丁高速动力传送带、磁带平运动纺织纤维等重要的一I群元件都是粘弹性材料制成，冈I海大学博|论文此这些弦线系统的研究需要处理粘弹性运动弦线的建模平动力学分析等问题。近年米新材料在汽车马达的蛇型传送带和纺织材料等L业产III中的应川也促进了有关的研究。作为一个较新的研究方向，目前粘弹性运动弦线横向振动的研究主要针对两种数学模刑，一种是ZU、ZHANG和HOU等。”“5，CHENZU和WU等1研究的粘弹性弦线的微分本构模型。这种模型的本构关系可以用下面微分算子方程描述P盯OF110其中儿参导QI妻皤如粘弹性的标准线性同体模烈可以利州上述微分算子表述。其中儿，雨V一0出币E百LEEOTEE即可刳。，IA丁另一种是粘弹性弦线的积分本构摸融。FUNG，HUANGLLCHEN1997”首先研究了这种延动弦线的动力学模型的建立和非线性振动分析问题。他们在1，9式中采用了BOLTZMANN迭加原理描述应力应变关系盯岛SERTSX，TD7113建立了相应的动力学模型，并对张力松弛函数ET是指数函数的情况给出了弦线模型的瞬态振动分析。ZHANG和ZU2002”CHEN，ZU和WU2003”等也分别基丁这一模型对粘弹性轴向运动弦线的横向参数振动问题作了深入的研究。对于轴向运动弦线的笄种不同的振动模型，CHEN2003”给山了统一的表述。他将连续介质的EULER运动方释TI_J丁轴向逛动弦线，建立了轴向运动弦线的一般形式的动力学模刑PAA,T，E、RR麒彳，N114PAQR墨，石，7其中A“和Q，是弦线上一个微元素对应丁空间中一个固定点加速度的纵向向利横向分量；另7_手J只，是弦线内张力的纵向和横向分量Z，爿，T和Z，彳，T是弦线所受外力的的纵向和横向分鳍。如果把弦线运动作为平面运动研究，并将弦线元素的横向位移分量记为以轴向述度平纵向位移分别记为CT和以弦线的摄动张力为OX，T，则一个弦线元素的何移关丁弦线弧长的微分为1VX2嵋DS115冈此，可以得到轴向平横向的张力分颦从而把方样114转化为4工二海人学博F论文M“L“2C”2计昙L黼卜叫U77。UX2C竹2一昙L焉等等J_厶当弦线系统满足弦线物质本构关系CB10118时，它是闭环系统。这里E由。F面的麻变一位移关系给山1比2U；一1119方程116一119给出了轴向加速度弦线平面横向振动的控制方程。对于有限范围小伸展的弦线，只需要考虑低阶项，从而在方程116一117中舍去高阶项得到一睇J12CVXXC2“AOOUI2。Z，120PAEU,O即CUX7C2UW_去P删1一比。121方程I19也简化为VY晖嵋2122方程1。18和120一122构成平面小振幅轴向加速度弦线的控制方程。尽管运动弦线的振动通常既有横向振动分量，又有纵向振动分量许多研究者为了简化问题，在研究中只考虑横向振动。在方程120和121中令V0，则得到轴向运动弦线的横向振动方程叫，WDUJ2CUM，C2，一P，M一爿西UF_，123应变一位移关系也相应化为旦124上述模型概括了前面的多个模型。除此之外，运动弦线模型的研究还有其他不同的形式平内容。例如，许多作者考虑了复杂约束问题如附加弹性支承的运动弦线模型”“，由干摩擦产生的简谐力边界条，在液体薄层中弦线的振动模型”“，带张紧轮的弦线的振动模删|等。外部激励的影响、周期性边界条仆等也有许多研究。但CHEN的练台模弧4描述的儿种弦线模型是目前研究的弦线模型的主要形式。122轴向运动弦线系统的横向振动的研究方法由T弹性利粘弹性运动弦线的横向振动模型是非线性的偏微分方稃或偏微分积分方程1J每大学博JL论文组解析解一般无法求得。分析线性模型十分有效的解析方法如LI群的方法，GREEN函数法等不能使用，特征函数法等的应用也受到很大的蹋制。因此，采月；|数值分析的方法或卜数值的方法是目前主要的研究手段。研究方法主要归结为以FL种1GALERKIN方法尽管从纯数值计算的角度分折，现代数值分析的手段如有限元方法等已逐步取代了经典GALERKIN方法但由丁有限元方法的基函数不象三角函数、特征函数等那样能够反映振动的动力学特性冈此GALERKIN方法在动力学系统的振动分析中的麻川是有限元素法等数值方法所无法取代的目前GALERKIN方法仍然是研究轴向运动弦线横向振动的士要方法之一。针对轴向运动弦线系统的GALERKIN方法主要有基丁三角函数系的GALERKIN截断方法平基于行波函数系的GALERKIN裁断方法两类。并形成了针对轴向运动的一维近续介质数值分析的较完整的方法体系。|个世纪以来，许多作者利凡|GALERKIN方法在轴向运动弦线的振动研究中得到许多有价值的结果；如NAGULESWARAN和WILLJAMS1968“利用4阶GALERKIN截断对线性轴向运动弦线模型进行了参数振动分析，发现当张力的波动频率是横向振动白然频率的2倍时弦线的振动最不稳定FUNGHUANG和CHEN19971利用基于三角函数系的4阶GALERKIN方法研究了积分本构粘弹性轴向运动弦线的瞬态振动问题。分析了积分本构粘弹性轴向运动弦线的振动特性CHEN和YAO1998则利心固定弦线模型的特征函数系的2阶GALERKIN截断研究了轴向加速度粘弹性弦线的标准线性J剞体模型，并利刚得到的数值结果分析了弦线的轴向运动速度参数硐I粘弹性材料参数对振动频率的影响，以及参数响应的不稳定性问题ZHANG，2U和ZHONG2002。“。利圳GAERKIN方法分析RFTMG，HUANG私ICHEN1997研究的同一模刑，但采_IJ的是基丁行波函数系的一阶GALERKIN截断。由R得到的常微分积分方程组比较复杂他们采圳了LINZ1985的BLOCKBYBLOCK隐式RUNGEKUTTA方法对离散后的常微分方程组求解较好地处理了微分积分方程组的求解问题。利ILIGALERKIN方法分析轴向运动弦线的横向振动还有大量的文献，可参见WICKET和MOTE。或CHEN”3】的有关综述文章。由丁三角函数和行波函数都不只有局部支集，利用基于这些函数系的M阶GALERKIN方法对状态变量离散，得到的常微分方程纽的线性部分的系数矩阵不是稀疏的，非线性项的结构也比较复杂，其系数目前一般需要利川手J、符号运算或数值的方法生成。比较而青，利刖三角函数系对空间变餐离散，离散后形成的常微分方程纽的非线胜项有较立，的对称性，系数可以解析地计算山来井有很多的零，可以利川对称性和系数张姑较稀疏的特点简化模M容易采川较高阶的GALERKIN截断进行数值分析，冈此目前这一方法的廊HJ较为普遍。行波函数系楚轴向运动弦线动力学模型的线性部分形成的线性陀螺系统的特征函数系，它们对J线性模型的离散是晟蚶的选择，当1R线性项较小时利HJ行波函数作GALERKIN截断也有较快的收敛性。LEE和RENSHAW2000”“利用复特征函数的展开式研究了轴向运动连续介质模6一1二海大学博，I论文型的解。MOCHENSTURMPERKINS和U1SOY1996“对线性模型分别利刖基丁行波函数的一阶GALERKIN截断雨I基1三角函数的4阶GALERKIN截断分析轴向运动弦线的参数振动得剑精度相似的结果。这说明对丁线性模即利川行波函数作GALERKIN截断收敛性要亘，的多。但对丁非线性模型这种优势不弭那么明显，而且对于行波函数，离散方科组的1R线性项的系数积分无法解析得到。对称性和稀疏性也较三角函数系著，需要计算大量的数值积分来确定离散方程组的系数，计算量远火于前者。因此目前采用的较少，而且主要是一阶截断。对于GALERKIN方法的低阶截断。许多作者利用实验的方法验证了其合理性，如ALAGGIO和REGA2001“研究了悬挂索，比较了实验结果和数值结果，从而验证了低阶GALERKIN截断的可行性。但对高速运动的弦线系统，利用低阶GALERKIN方法的合理性还没有理论的证明和实验的验证。CHEN等2003”针对运动弦线的线性模型和弹性模型，利川数值实验的方法检验了低阶GALERKIN截断对模型的逼近群度，分析了近似群度与弦线轴向速度平其他参数的关系。他们给出的结果表明，在轴向速度不太人时，4阶GALERKIN截断有较盘F的近似性。由丁GALERKIN方法是在轴向运动弦线的横向振动分析中常川的方法，许多文献应川这种方法时给出了方法的不同的简化技巧。如PAKDEMIRLI，ULSOY和CERANNOGLU1994“等给出的N阶GALERKIN方法的具体公式，CHEN，ZU和WU2003”1利用变量代换消去粘弹|生模型的积分项等。2摄动分析方法对于轴向运动弦线线性项很小时的横向振动豹研究，摄动分析是主要的研究手段之一，由丁研究轴向运动弦线的摄动分析方法经常平数值离散的方法结合使HJ，成为一种特殊的、|，数值方法。目前研究方法有离散多尺度方法、连续多尺度方法利平均法等。离散多尺度方法基丁对空间变量筹分离散后的弦线运动方科组利州多尺度方法作摄动分析，对这一方法的系统研究和应刚可见MOTE，THURMAN，WICKET等”“以及HUANG，FUNG平LIN等的系列R作。连续多尺度方法则直接对微分算子川多尺度方法进行摄动分析。对这一方法的系统研究和麻川可见ZU，ZHANG蒋的系列R作。3有限差分法和有限元法摄动分析方法主要适用于小幅振动的情况。对于较强的非线性项，一般需要利州GALERKIN方法，有限差分法或有限元法作数值计算。与GALERKIN方法比较，有限差分法雨L有限元方法得到的离散方程组一般是大型稀疏方程组，条件数小且容易求解，而且系数矩阵的结构化好容易利圳计葬机生成。但由丁运动弦线振动问题的特殊性，利用有限筹分法利有限元法研究轴向运动弦线振动问题的远少丁GALERKIN方法。利川有限筹分法平有限元法分析运动弦线横向振动目前已有不少L作。甲期的1作有BHAT，XISTRIS平SANKAR19821“的文章上海大学博士论文他们在分析在弹性基础上的轴向运动弦线的横向振动问题时，利用差分方法对空间变量进行离散，化为常微分方程组然后进行数值求解。YAO，FUNG乖ITSENG1992。HUANG，FUNG雨ILIN1995”以及LEUNG2000“则在分析弹性或粘弹性轴向运动弦线的横向振动时，利用有限元方法对弦线的空间变量作数值离散，而对离散后的常微分方稃组则采川LAPLACE变换进行近似求解。这样做的优点是计算简单，但是利J_FILAPLACE变换要求把方群作线性化处理，这必然影响数值计算的精度。直接利H筹分离散的还有LEAMY和WASFY“CHEN承ZHAO”“”“J等的文章。尽管已有不少文献设计和利川有限著分法平I有限元法解决轴向运动弦线振动模型的数值计算问题，但都是基丁具体的应川，没有对这一类问题的算法特点的研究。从数值计算的角度看。”“，利用有限差分法和有限元法求解轴向运动弦线横向振动方程的难点在丁处理非线性的粘弹性项。早期的文献直接利用有限差分作直接离散，这样处理虽然计算量较小，但通常方法的数值稳定性较差，无法进行长时间的数值模拟。对丁很小的振动，可以利用差分或有限元方法处理空间变量，而利用多尺度方法或LAPLACE变换处理时间变量。这样的方法的缺点是算法不具有一般性，只能针对一个具体的问题，且精度也较幕。另外，对丁J积分本构或分数导数本构的粘弹性运动弦线，空间变量离散后在常微分方科纪中出现人耸的积分区间为0，T的积分项。对丁这些项，多数文献采_L通川的数值积分的方法如加权梯形法等。这样的做法有一个缺点，即每一步要计算人鼙的0，T区间上的数值积分，这意味着计算过群中需要存储每一时间步的数据信息。而且随着时间T的增人。每一个时间步上的计算苗显著增加，数值误差也加人。4其他方法在分析轴向运动弦线的横向振动的文献中，还有其他的数值方法，如小波分析方法QU20023L等研究的迭代学习算法驯CHUNG等“的广义伍一方法等。123轴向运动弦线系统的参数振动和动力学分析由R系统中的参数的周期性变化，运动弦线系统在运动中可能出现人的横向振动。这一现象称为参数振动。在线性模型中，产生轴向运动弦线的参数振动的两个主要冈素是张力的变化和轴向加述度的变化。、L，个世纪以米，对丁轴向运动弦线的线性模型PF筹州刃嘉州丁，面DU州盯豢叫N豢川M，ZJ，的参数振动有大量的研究。对由张力的变化产生的参数振动的研究可见MAHALINGAM1957，MOTE1968L，NAGULESWARAN和WILLIAMS1968，RHODES1970|“，ARIARTNAM和ASOKANTHAN19871701，MOEHENSTURM，PERKINS承LULSOY1996等的文章，对由轴向加速度的变化产生的参数振动的研究见MIRANKER19601711MOTE1975”“PAKDEMIRLI平8海人学博LJ论文BATAN1993，PAKDEMIRLI和ULSOY1997L，OZ，PAKDEMIRLI和OZKAYA1998“等的文章。在方程125中，随时间变化的速度CT和张力P7、的变化规律受到重视。MAHALINGAM1957注意到轴向运动弦线的张力通常表现为下面的形式PT异鼻COSQT126即平均张力只和一个简谐变力的和，MAHALINGAM以JLI彳的作者在讨论运动弦线的振动时，通常采埘式126为张力模型。MOTE1968首先研究了轴向运动弦线的参数振动他利_I_|J对模型的数值积分，对不同的常速C计算得到了只一Q平面上解的稳定区域的边界。RHODES1970，MOCHENSTURM，PERKINS和ULSOY1996等也；|不同的方法研究了张力115与运动弦线横向振动的稳定性的关系。研究加速度对横向振动的影响是轴向运动弦线参数振动分析的另一条主线。MOTE1975利娟近似的方法研究了轴向加速度参数对运动弦线横向振动的影响。他利心时间平均值代替变化的速度，得到常系数的常微分方程，然后利用LAPLACE变换分析了系统的稳定性。他通过分析得出了加速过程可能导致弦线横向振动不稳定的结论。PAKDEMIRLI，ULSOY和CERANNOGLU1994研究了轴向加速度弦线横向振动的动力学稳定性，在他们的论文中，考虑了张力和速度的下述关系模型PTPO秽2T127其中P0是初始张力，可是O，1上的常数。轴向速度按振幅气和频率。的LL弦曲线变化。通过采GALERKIN方法作数值计算，他仃J发现，采_LJ高阶GALERKIN截断，系统的稳定性盘|丁低阶截断。另外，WICKERT1996”利川KRYLOV，BOGOLIUBOV和MITROPOLSKY的渐进方法，PAKDEMIRLI平ULSOY1997”、0Z，PAKDEMIRLI和OZKAYA1998“分圳_L多尺度法，OZKAYA利PAKDEMIRLI2000”利HLLI群的方法研究了加速度弦线的参数振动的稳定性和速度、加速度参数对振动的影响等。如果建模时考虑非线性因素，得到的是非线性模型。研究这种模型中参数变化对系统横向振动的影响称为非线性参数振动。由于非线性项的影响，利_I解析的方法如GREEN函数法，LI群的方法等进行研究变的困难甚至不可能，数值方法如GALERKIN方法、有限元方法和有限差分法，半数值的方法如离散多尺度方法等成为主要的研究手段。而且系统的动力学表现也更为复杂，山现了分岔和泄沌等非线性动力学现象。住上世纪90年代以来，对轴向运动弦线的非线性参数振动有了较多的研究。HUANG。FUNG平LIN1995”【研究了1R线性轴向运动弦线的维振动FUNG平WU1997。I把HUANG，FUNG干LIN的研究推J“剑受到磁力和张力激励的情况。HUANG和MOTE1995”。则在轴向运动弦线的振动方科中引入了阻尼系数C的粘性阻尼项9L海大学博士论文。F型C型1128C、I一一1【JLOT8X，进而研究了在流体薄层中的返动弦线的振动问题。他们针对这一模删，利川GALERKIN方法分析了几何非线性对横向振动的影响并对低阶截断的离散方稃给出了系统参数的稳定边界。MOCHENSTURM，PERKINS和ULSOY1996”“利用KRYLOVBOGOLIUBOV和MITROPOLSKY的渐近方法对模型的一阶GALERKIN截断方程给出了靠近不稳定区域的系统的响应分析，得到了非平凡极限环的存在和稳定性条件。PELLICAN，VESTRONI和FREGOLENT2000则分析了驱动轮偏心的情况下轴向运动弦线的参数振动。粘弹性轴向运动弦线的非线性参数振动的研究是近年来运动弦线系统横向振动理论研究的又一个重要内容。粘弹性运动弦线模型的本构关系分为微分型本构关系和积分型本构关系等。ZHANG和ZU1999A”研究了由KELVIN模型描述的微分本构粘弹性运动弦线的横向振动，他们利州多尺度方法给出了振幅的闭形解和响应的非平凡解的存在条什。ZHANG录IZU1999B1研究了粘性参数，7与平凡解平非平凡解的稳定性的关系。HOU和ZU2001I【IJ研究了微分本构粘弹性返动弦线的标准线性I卉|体模型，他们利心连续多尺度方法进行了参数振动分析，给山了主响庶和组台响应的闭形解的存在性条件和稳定性边界，揭示了张力的波动和速度的增加对稳定性边界的影响。粘弹性积分本构模型的本构关系表示为F面的形式OX，TELZ，丁岛【ETTLX，T7DT129其中E丁是张力松弛函数。这一本构关系基于BOLTZMAN迭加原理，因此满足上述本构关系的材料也称BOLTZMAN物质。最早研究积分本构枯弹性轴向运动弦线横向振动的是FUNG，HUANG和CHEN1997，他们给出了基于本构关系118的粘弹性轴向运动弦线的动力学方程，并利用GALERKIN方法给出了弦线瞬态振动的分析。CHEN和ZU2003A”，WU和CHEN2003”“也基丁上述模型利41多尺度方法分析了运动弦线的动力学性质和参数激励。WU雨ICHEN2002”12003，CHEN，ZU币WU2003，CHENZU。WU雨YANG2004”“则分析了加速度参数对弦线振动的影响。在轴向运动弦线的参数振动的研究的一个重要山容是耦台振动。如与旋转的惯陛元仆的耦合、与约束的耦合并。HWANG，PERKINS，ULSOYANDMECHSTROTH1994”。给出了传送带驱动系统旋转响应的一般模型。FANANDSHAH1996给出了阻尼运动弦线系统横向振动的模态分析。BEIKMANN，PERKINS和ULSOY1996A”，ZHANG和ZU1999CIZL，ZU和ZHANG2000”“【分别研究了带张紧轮的传送带的建模平参数振动。124轴向运动弦线的能量和守恒量的研究由于运动弦线系统是陀螺系统在运动过程中能量不再守恒。许多作者研究了轴向运动弦线运动过程中的能量变化问题。CHUBACHI1958首先讨论了轴向运动弦线的运动过群中能O海人学博，L论义量的周期性变化。ROOS，SCHWEIGMANANDTIMMAN1973”“1在运动弦线的能量分析中考虑了热传导的影响。MIRANKER1960”“给出了轴向运动弦线在没有外部激励时能奄的变化率的计算公式等圭COC2P九2一FK型AXK。2卜刍R詈2AX130其中E是运动弦线的两个支点之间的总机械能，它一般不等丁零。WICKET和MOTE1989”“认为模型130忽略了能量在支点的流动。他们在模型130的基础上加上了能鼙的传播项面DE筹埘晤13其中童C旦2KLFV型ATC詈2鲁署2。Z，LEE和MOTE19971998LLTJ，RE