2012年全国各地中考数学压轴题汇编四

湖北省武汉为明实验学校2012年全国各地中考数学压轴题汇编四（含详细答案）【412012长沙】26如图半径分别为M，N（0MN）的两圆O1和O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与X轴，Y轴分别切于点M，点N，O2与X轴，Y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离D；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在X轴上截得的线段长为的抛物线若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解答解（1）由题意可知O1（M，M），O2（N，N），设过点O1，O2的直线解析式为YKXB，则有（0MN），解得，所求直线的解析式为YX（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称P（4，1），直线O1O2解析式为YX，Q（1，4）如解答图1，连接O1QQ（1，4），O1（M，M），根据两点间距离公式得到O1Q又O1Q为小圆半径，即QO1M，M，化简得M210M170如解答图1，连接O2Q，同理可得N210N170由，式可知，M、N是一元二次方程X210X170的两个根，解得X5，0MN，M5，N5O1（M，M），O2（N，N），DO1O28（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为YAX2BXC，因为开口向下，所以A0如解答图2，连接PQ由相交两圆性质可知，PQO1O2P（4，1），Q（1，4），PQ，又O1O28，S1PQO1O28；又S2（O2RO1M）MR（NM）（NM）；1，即抛物线在X轴上截得的线段长为1抛物线过点P（4，1），Q（1，4），解得，抛物线解析式为YAX2（5A1）X54A，令Y0，则有AX2（5A1）X54A0，设两根为X1，X2，则有X1X2，X1X2，在X轴上截得的线段长为1，即|X1X2|1，（X1X2）21，（X1X2）24X1X21，即（）24（）1，化简得8A210A10，解得A，可见A的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即A0）矛盾，不存在这样的抛物线【422012六盘水】25如图1，已知ABC中，AB10CM，AC8CM，BC6CM如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2CM/S连接PQ，设运动的时间为T（单位S）（0T4）解答下列问题（1）当T为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位CM2），当T为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻T，使线段PQ恰好把ABC的面积平分若存在，求出此时T的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻T，使四边形AQPQ为菱形若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由考点相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题代数几何综合题；压轴题。分析（1）由PQBC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；（2）如解答图1所示，过P点作PDAC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；（3）要点是利用（2）中求得的AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论不存在这样的某时刻T，使线段PQ恰好把ABC的面积平分；（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在RTPQD中，求得时间T的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中AQP面积的表达式，这样可以化简计算解答解AB10CM，AC8CM，BC6CM，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP2T，则AP102TPQBC，即，解得T，当TS时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD6TSAQPD2T（6T）T26T（T）2，当TS时，S取得最大值，最大值为CM2（3）假设存在某时刻T，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQPSABC，而SABCACBC24，此时SAQP12由（2）可知，SAQPT26T，T26T12，化简得T25T100，（5）24110150，此方程无解，不存在某时刻T，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻T，使四边形AQPQ为菱形，则有AQPQBP2T如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得PD6T，AD8T，QDADAQ8T2T8T在RTPQD中，由勾股定理得QD2PD2PQ2，即（8T）2（6T）2（2T）2，化简得13T290T1250，解得T15，T2，T5S时，AQ10CMAC，不符合题意，舍去，T由（2）可知，SAQPT26TS菱形AQPQ2SAQP2（T26T）2（）26CM2所以存在时刻T，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为CM2点评本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题【432012攀枝花】23如图，在平面直角坐标系XOY中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB5，SINB（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为Y1MXN，（1）中抛物线的解析式为Y2AX2BXC，求当Y1Y2时，自变量X的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大并求出面积的最大值考点二次函数综合题。专题动点型。分析（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OCODOA的长，进而确定ACD三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式（2）首先由AB的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线Y1在抛物线Y2图象下方的部分（3）该题的关键点是确定点P的位置，APE的面积最大，那么SAPEAEH中H的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点解答解（1）四边形ABCD是菱形，ABADCDBC5，SINBSIND；RTOCD中，OCCDSIND4，OD3；OAADOD2，即A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为YA（X2）（X3），得2（3）A4，A；抛物线YX2X4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直线ABY1X；由（1）得Y2X2X4，则，解得，；由图可知当Y1Y2时，2X5（3）SAPEAEH，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线LYXB，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，XBX2X4，且0；求得B，即直线LYX；可得点P（，）由（2）得E（5，），则直线PEYX9；则点F（，0），AFOAOF；PAE的最大值SPAESPAFSAEF（）综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为点评该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路【442012山西】26综合与实践如图，在平面直角坐标系中，抛物线YX22X3与X轴交于AB两点，与Y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是X轴上一个动点，过P作直线LAC交抛物线于点Q，试探究随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标考点二次函数综合题。解答解（1）当Y0时，X22X30，解得X11，X23点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当X0时，Y3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为YK1XB1（K10），则，解得，直线AC的解析式为Y3X3YX22X3（X1）24，顶点D的坐标为（1，4）（2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为Q1（2，3），Q2（1，3），Q3（1，3）（3）点B作BBAC于点F，使BFBF，则B为点B关于直线AC的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEX轴于点E1和2都是3的余角，12RTAOCRTAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA1，OB3，OC3，AC，AB4，BF，BB2BF，由12可得RTAOCRTBEB，即BE，BE，OEBEOB3B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为YK2XB2（K20），解得，直线BD的解析式为YX，联立BD与AC的直线解析式可得，解得，M点的坐标为（，）【452012黄石】25（本小题满分10分）已知抛物线1C的函数解析式为230YAXB，若抛物线1C经过点0,3，方程230AXB的两根为1，2，且124X。（1）求抛物线1的顶点坐标（2）已知实数X，请证明1X2,并说明X为何值时才会有X（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C，设1,AMY，2,BN是C上的两个不同点，且满足09AOB，M，0N请你用含有的表达式表示出AOB的面积S，并求出的最小值及S取最小值时一次函数O的函数解析式。（参考公式在平面直角坐标系中，若1,PXY，2,Q，则P，两点间的距离为2211XY）【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；配方法【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数A、B的值已知抛物线图象与Y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到A的值）；然后从方程入手求B的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出B的值（2）1X，因此将1X配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RTOAB中，由勾股定理可确定M、N的关系式，然后用M列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时M的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式【解答】解（1）抛物线过（,）点，3AA分X2BXX2BX的两根为X1,X2且2121214且BB分X2X（X）抛物线的顶点坐标为（，）分（2）X，0121XX,显然当X时，才有,2分（3）方法一由平移知识易得的解析式为YX2分M，M，B（N，N）AOB为RTOAOBABMMNN（MN）（MN）化简得MN分AOBOBA214242MNAOB2211MN212AOB的最小值为，此时M,分直线OA的一次函数解析式为X分方法二由题意可求抛物线2C的解析式为2Y（1分）2,AM，,BN过点、作X轴的垂线，垂足分别为C、D，则AOCBDDBSS梯形22211NMN由BAC得BO即2NM1（1分）2SN12M由（2）知11当且仅当，S取得最小值1此时A的坐标为（，）（2分）一次函数O的解析式为YX（1分）【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用【462012广安】26如图，在平面直角坐标系XOY中，ABX轴于点B，AB3，TANAOB，将OAB绕着原点O逆时针旋转90，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180，得到OA2B1，抛物线YAX2BXC（A0）经过点B、B1、A2（1）求抛物线的解析式（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，PBB1的面积最大求出这时点P的坐标BN，N2AM，M2OCDYX（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点二次函数综合题。分析（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）求出PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PBB1面积的最大值；值得注意的是求PBB1面积的方法，如图1所示；（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标解答解（1）ABX轴，AB3，TANAOB，OB4，B（4，0），B1（0，4），A2（3，0）抛物线YAX2BXC（A0）经过点B、B1、A2，解得抛物线的解析式为YX2X4（2）点P是第三象限内抛物线YX2X4上的一点，如答图1，过点P作PCX轴于点C设点P的坐标为（M，N），则M0，N0，NM2M4于是PC|N|NM2M4，OC|M|M，BCOBOC|4|M|4MSPBB1SPBCS梯形PB1OCSOBB1BCPC（PCOB1）OCOBOB1（4M）（M2M4）（M2M4）4（M）44M2M（M2）2当M2时，PBB1的面积最大，这时，N，即点P（2，）（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（X0，Y0），使点Q到线段BB1的距离为如答图2，过点Q作QDBB1于点D由（2）可知，此时QBB1的面积可以表示为（X02）2，在RTOBB1中，BB1SQBB1BB1QD2，（X02）22，解得X01或X03当X01时，Y04；当X03时，Y02，因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（1，4）或（3，2）点评本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握【472012张家界】25如图，抛物线YX2X2与X轴交于CA两点，与Y轴交于点B，OB4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点（1）分别求出点A点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数Y的图象过点D，求K值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿ABAO方向向BO移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为T，问S是否存在最大值若存在，求出这个最大值，并求出此时的T值；若不存在，请说明理由考点二次函数综合题。解答解（1）令Y0，即X2X20；解得X1，X22C（，0）、A（2，0）令X0，即Y2，B（0，2）综上，A（2，0）、B（0，2）（2）令AB方程为YK1X2因为点A（2，0）在直线上，0K122K1直线AB的解析式为YX2（3）由A（2，0）、B（0，2）得OA2，OB2，AB4，BAO30，DOA60；OD与O点关于AB对称ODOA2D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）因为Y过点D，3，K3（4）APT，AQT，P到X轴的距离APSIN30T，OQOAAQ2T；SOPQ（2T）T（T2）2；依题意，得0T4当T2时，S有最大值为【482012宜宾】22如图，抛物线YX22XC的顶点A在直线LYX5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与Y轴交于点B，与X轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线L上是否存在一点P，使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点二次函数综合题。解答解（1）顶点A的横坐标为X1，且顶点A在YX5上，当X1时，Y154，A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入YX22XC，可得，12C4，C3，YX22X3，B（0，3）当Y0时，X22X30，X11，X23C（1，0），D（3，0），BD2OB2OD218，AB2（43）2122，AD2（31）24220，BD2AB2AD2，ABD90，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知直线YX5交Y轴于点A（0，5），交X轴于点F（5，0）OEOF5，又OBOD3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDL，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作Y轴的垂线，过点A作X轴的垂线并交于点C设P（X1，X15），则G（1，X15）则PC|1X1|，AG|5X14|1X1|PABD3由勾股定理得（1X1）2（1X1）218，X122X180，X12，4P（2，7），P（4，1）存在点P（2，7）或P（4，1）使以点ABDP为顶点的四边形是平行四边形【492012武汉】25如图1，点A为抛物线C1YX22的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于Y轴的直线X3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于Y轴的直线XA交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FGDE43，求A的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移M（M0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交X轴于点M，交射线BC于点NNQX轴于点Q，当NP平分MNQ时，求M的值考点二次函数综合题。解答解（1）当X0时，Y2；A（0，2）设直线AB的解析式为YKXB，则，解得直线AB解析式为Y2X2点C为直线Y2X2与抛物线YX22的交点，则点C的横、纵坐标满足，解得、（舍）点C的坐标为（4，6）（2）直线X3分别交直线AB和抛物线C1于DE两点YD4，YE，DEFGDE43，FG2直线XA分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点YF2A2，YGA22FG|2AA2|2，解得A12，A222，A322（3）设直线MN交Y轴于T，过点N做NHY轴于点H；设点M的坐标为（T，0），抛物线C2的解析式为YX22M；0T22M，2MT2YX2T2，点P坐标为（0，T2）点N是直线AB与抛物线YX2T2的交点，则点N的横、纵坐标满足，解得、（舍）N（2T，22T）NQ22T，MQ22T，MQNQ，MNQ45MOT、NHT均为等腰直角三角形，MOOT，HTHNOT4，NT，NH（2T），PTTT2PN平分MNQ，PTNT，TT2（2T），T12，T22（舍）2MT2（2）2，M2【502012潜江】24如图，抛物线YAX2BX2交X轴于A（1，0），B（4，0）两点，交Y轴于点C，与过点C且平行于X轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在X轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3