高考数学(理)《热点重点难点专题透析》

2012届高考数学专题复习课件第11专题高考中解答题的解题方法（理）热点重点难点专题透析第11专题高考中解答题的解题方法主要题型剖析引言解答题解题方法训练从历年高考卷分析,高考解答题的设置一般有六大方向三角函数与平面向量、立体几何、函数与导数、解析几何、概率统计应用、数列不等式等,这些题考查的范围涵盖了中学数学主要内容,综合考查学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题解决问题的能力六个大题中前两题一般难度稍低,中间两题难度稍大,最后两题多数是把关题,它们分别考查不同内容,入口宽,对不同层次的考生设置了关卡,多层次、多角度地对考生的基础知识掌握程度和基本技能以及知识迁移等能力进行考查,用以区分考生灵活运用知识和方法去分析及解决问题能力的差别引言解答题解题方法训练主要题型剖析在高考数学试题的三大题型中,解答题的个数虽然不及选择填空题,但所占分数之多,足以看出解答题的重要性解答题都具有一定的综合性,一般可分为三类题型计算题、证明题和应用题高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型包括探索开放型试题解答题是高考数学试题的精华部分,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点数学解答题的考查功能无论是在广度上还是深度上,都要优于选择题和填空题解答题的内涵丰富,包含的试题模式如探索题、计算题、证明题、应用题等灵活多变引言解答题解题方法训练主要题型剖析解答题的解题步骤1分析条件,弄清问题考生在解答时,应认真审题和分析解题思路,把已知条件作为出发点,充分挖掘每一个条件的内涵和外延,发挥隐含条件的解题功能审视结论能探知已知条件和结论间的联系与转化规律,从结论中捕捉解题信息,确定解题方向正确利用题设信息进行文字语言和数学语言的转译引言解答题解题方法训练主要题型剖析准确规范地表述解题过程和答案,将整个解答过程的主要步骤和经过有条理、合逻辑、完整地陈述清楚,语言表达清晰和答题规范是与高考评卷中按步得分相对应的,直接对应所能得分数3验算结果,回顾反思通过检查是否有归纳、总结性语言,是否利用了所有条件或发现多余条件,结论是否合理,有没有其他更简便的方法,达到对解题过程的反思、深化和提高2规范表达,实施计划引言解答题解题方法训练主要题型剖析1从条件入手分析条件,化繁为简,注重隐含条件的挖掘2从结论入手执果索因,搭好联系条件的桥梁3回到定义和图形中来4换一个角度去思考5优先挖掘隐含条件,优先作图观察分析解答题的解题技巧1把握“三性”解答题的解题策略引言解答题解题方法训练主要题型剖析解答题在审题思考中,要把握好“三性”即1目的性明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标2准确性提高概念把握的准确性和运算的准确性3隐含性注意题设条件的隐含性2实施“三化”1问题具体化,即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确,有时可画表格或图形,以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去引言解答题解题方法训练主要题型剖析2问题简单化,即把问题分解为与各相关知识相联系的简单问题,把复杂的形式转化为简单的形式3问题和谐化,即强调变换问题的条件或结论,使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点,或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系3把握“三转”1语言转换能力每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成,解解答题往往需要较强的语言转换能力,还需要有把普通语言转换成数学语言的能力引言解答题解题方法训练主要题型剖析2概念转换能力综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力3数形转换能力解题中的数形结合,就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义,力图在代数与几何的结合上找出解题思路,运用数形转换策略要注意特殊性,否则解题会出现漏洞引言解答题解题方法训练主要题型剖析4关注“三思”1思路由于综合题具有知识容量大,解题方法多,因此,审题时应考虑多种解题思路2思想高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法,解题时应注意数学思想方法的运用3思辩即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择1联系相关知识2联接相似问题3联想类似方法5重视“三联”引言解答题解题方法训练主要题型剖析主要题型1纯三角知识综合2三角函数与平面向量交汇3三角函数与解斜三角形的交汇4纯解斜三角形5平面向量与解斜三角形交汇题型一三角函数含向量主要策略1观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异,确定三角化简的方向2利用数量积公式、垂直与平行的充要条件将向量关系转化为三角问题来解决3利用正余弦定理进行三角形边与角的互化引言解答题解题方法训练主要题型剖析例12011年浙江在ABC中,角A,B,C所对的边分别为A,B,C已知SINASINCPSINBPR,且ACB2141当P,B1时,求A,C的值2若角B为锐角,求P的取值范围【分析】破解时要注意恰当运用正弦定理实现边角互化,对于参数范围的求解,则需要结合余弦定理、角边转化化简此题易造成的错解是没有考虑到角为锐角和不等式的内在联系,直接根据条件运用三角函数的有界性进行求解造成错解引言解答题解题方法训练主要题型剖析【解析】1由题设并利用正弦定理,得5,41,4ACAC解得,或1,14AC1,41AC2由余弦定理,B2A2C22ACCOSBAC22AC2ACCOSBP2B2B2B2COSB,即P2COSB因为02,即PB2B,得P1,所以0,则M0,1,Z0,Z0,0,0,Z0由直线AM与直线PC所成的角为60,3212AM3232CP引言解答题解题方法训练主要题型剖析得|COS60,解得Z010,1,1,0设平面MAC的一个法向量为NX1,Y1,Z1,则即取X11,得N1,平面ABC的法向量取为M0,0,1AMCPAMCPCMCA3212CM0,CA0,NN1111YZ0,31XY0,2233设M与N所成的角为,则COS|MNMN37引言解答题解题方法训练主要题型剖析显然,二面角MACB的平面角为锐角,二面角MACB的平面角的余弦值为3取平面PCM的法向量为N11,0,0,则点A到平面PCM的距离H|1,|1,21711|CA|NN32PCPMVPMACVAPCM|H111312PCPM1632312引言解答题解题方法训练主要题型剖析利用空间向量证明线面关系,仍然要依赖于传统几何中的定理计算角和距离本质是转化为向量间的运算,向量法求线面角计算的是斜线与法向量的夹角,不要误认为这个夹角就是线面角求点到平面的距离运用空间向量法的关键是找到一条以该点为端点的斜线段,并以此为向量,其在法向量上的投影就是该点到平面的距离求二面角的大小需根据定义作出所成的角,用解三角形的方法来求或者直接用法向量求二面角的大小引言解答题解题方法训练主要题型剖析例4如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC1的中点,过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G1求证EGD1F2求二面角C1D1EF的余弦值【分析】1由面面平行可得2作二面角的平面角比较困难时,用空间向量法来解答较合适引言解答题解题方法训练主要题型剖析【解析】1在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面D1EGF平面ABB1A1EG,平面D1EGF平面DCC1D1D1F,EGD1F2法一CC1平面B1C1D1E,过F作FMD1E于M,连结C1M,则C1MF即为所求二面角的平面角,连结C1E,在C1D1E中,C1MD1ED1C1B1C1,可得MC1,C1F1,MF,COSC1MF,即二面角C1D1EF的余弦值为12124552211MCCF10554212142121引言解答题解题方法训练主要题型剖析法二如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1为X、Y、Z轴,建立空间直角坐标系,则有D10,0,2,E2,1,2,F0,2,1,2,1,0,0,2,1设平面D1EGF的法向量为NX,Y,Z,则由N0和N0,得取X1,得Y2,Z4,N1,2,4易知平面D1EB1C1的法向量为0,0,21DE1DF1DE1DF20,20,XYYZ1DD故COS11DD|DD|NN1DD引言解答题解题方法训练主要题型剖析显然截面D1EGF与平面D1EB1C1所成二面角为锐角,故其余弦值为传统方法可解决比较容易作出角和距离的问题,而使用向量方法时,只要能求出点的坐标,向量坐标,会用公式,什么样的角和距离都可以求出,对于向量夹角与平面角的关系,一是通过图形判断,二是将两个法向量平移到二面角中间,若两个向量的方向都指向对应平面,或都背离平面,则向量夹角与平面角互补,若两个向量的方向,一个指向平面,另一个背离平面,则向量夹角等于平面角2222221020421240024212142121引言解答题解题方法训练主要题型剖析解析几何是代数与几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合能力要求比较高的内容主要题型1求曲线的方程2有几何背景的圆和圆锥曲线问题,包括轨迹、最值、对称、范围、定点、定值等问题3解析几何与函数、向量、数列等的交汇问题题型三解析几何引言解答题解题方法训练主要题型剖析例5如图所示,已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F1,0,C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M4,0的直线L与抛物线C2分别相交于A,B两点,A在X轴下方1写出抛物线C2的标准方程2若,求直线L的方程AM12MB3若坐标原点O关于直线L的对称点P在抛物线C2上,直线L与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值引言解答题解题方法训练主要题型剖析【分析】1因为椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F1,0,C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,很快就能求出抛物线C2的标准方程2求出L的另一个元素即可得直线L的方程3直线L与椭圆有公共点可以求出A的范围从而求出2A的最小值【解析】1Y24X2设A,Y1,B,Y2,由得4,Y14,Y2,Y1Y2,设直线L的方程为XMY4,则联立方程组消去X得Y24MY160,214Y224YAM12MB214Y12224Y1224,4,YXXMY引言解答题解题方法训练主要题型剖析ML的方程为2XY803设直线L的方程为XMY4,由已知得P,代入Y24XM1,LXY412121216,4,2YYYYMYY222281M281MM设椭圆为1AB0,由消元整理得2A21Y28A21YA417A216022XA22YB22221,4XYABXY引言解答题解题方法训练主要题型剖析由0,得A长轴长的最小值为向量有关的问题往往利用坐标解决,而最值问题常常通过基本不等式或由判别式得不等量关系式求得本题的直线方程设为XMY4方便了解题34234引言解答题解题方法训练主要题型剖析例6已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O,且0,|2|,建立适当的平面直角坐标系后ACBCBCAC1求椭圆的方程2如果椭圆上的两点P、Q使PCQ的平分线垂直于OA,是否总存在实数,使得请说明理由PQAB【分析】由于所给条件中没有直角坐标系,因此,应当根据给定条件,建立适当的直角坐标系,这里O为椭圆中心,A为长轴顶点,故以OA为X轴,O为原点建立坐标系而后解之【解析】1以O为原点,OA所在直线为X轴建立平面直角坐标系,则A2,0,设椭圆方程为1,24X22YB引言解答题解题方法训练主要题型剖析不妨设C在X轴上方,由椭圆的对称性,|2|2|,又0ACOC,即OCA为等腰直角三角形,由A2,0得C1,1把C点坐标代入椭圆方程得B2,BCACOCACOCACBC43即椭圆方程为124X234Y引言解答题解题方法训练主要题型剖析2假设总存在实数,使得,即ABPQ,由C1,1得B1,1,则KAB,设CPYKX11,则CQYKX11,由13K2X26KK1X3K26K10,由C1,1得X1是方程13K2X26KK1X3K26K10的一个根,PQAB0121132231,4411XYYKX引言解答题解题方法训练主要题型剖析由韦达定理得XPXP1,以K代K得XQ,故KPQ,故ABPQ,即总存在实数,使得【点评】此题考查了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等,是一道很好的综合题2236113KKK2236113KKKPQPQYYXX2PQPQKXXKXX13PQAB引言解答题解题方法训练主要题型剖析题型四概率统计概率与统计,与生活问题联系密切,也是高考的热点问题主要考查学生数学知识的实际应用能力和抽象概括能力考查的主要内容是互斥事件的概率加法公式、古典概率模型与几何概率模型、离散型随机变量及其分布列、条件概率与事件的独立性、样本的数字特征、抽样方法、线性回归相关关系处理概率问题要把握住如下几点1概率与统计题目的特点是与实际生活密切相关,应立足基础知识和基本方法的复习,通过对基本概念,基本方法的学习,发现解题规律,以提高解题能力2抓好破势训练,从不同角度、不同侧面对题目进行分析,查找思维的缺陷,引言解答题解题方法训练主要题型剖析提高分析问题和解决问题的能力3关注一些重要分布类型二项分布、超几何分布、正态分布等,从事件背景、描述方法和数量结构特征上掌握其分布规律,并进行灵活运用主要题型1渗透统计的问题,考查概率的基本模型,求随机变量X的分布列和数学期望EX2渗透排列组合知识,考查一些重要的分布类型二项分布、超几何分布等引言解答题解题方法训练主要题型剖析例7二十世纪50年代,日本熊县水俣Y市的许多居民都感到运动失调、四肢麻木等症状,人们称为水俣病,后经调查是因为人们吃了被甲基汞污染的罗非鱼造成的,法律规定食品的汞含量不得超过100PPM现从一大批罗非鱼中随机地抽取15条做样本,经检验得每条鱼的汞含量的茎叶图以小数点前一位数字为茎,小数点后一位数字为叶如图所示1若从这15条鱼中随机地抽出3条,求恰有1条鱼汞超标的概率2以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据,若从这批数量很大的鱼中任选3条,记X为抽到的鱼汞含量超标的条数,求X2时的概率引言解答题解题方法训练主要题型剖析3在这15条样本鱼中,任取3条,记Y表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求Y的分布列及EY【分析】1用等可能性事件概率求之2N次独立重复实验某事件发生K次的概率是PNKPK1PNK3Y服从超几何分布CKN【解析】1记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A,则PA12510315CCC45912依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P,则PX2215151323C1323293依据条件,Y服从超几何分布其中N15,M5,N3,Y的可能值为0,1,2,3,其分布列为PYKK0,1,2,33510315CCCKK引言解答题解题方法训练主要题型剖析Y0123P249145912091291本题数据以茎叶图形式给出,使得考题中考点内容增加,这是高考题型的一个特点,就该题而言,既考查了等可能性事件的概率,又考查了独立重复事件的概率和超几何分布,是一道难度不大但又属好题的题型引言解答题解题方法训练主要题型剖析例8某种电脑屏幕保护画面,只有符号“”、“”及“”随机地反复出现,每次只出现其中之一,每秒钟变化一次,其中出现“”的概率为P,出现“”的概率为Q,出现“”的概率为,若第K次出现“”,则记AK1出现“”,则记AK1,出现“”,则记AK0令SNA1A2AN1当P,Q时,求S31时的概率12142当PQ时,记X,求X的分布列及数学期望3S【分析】1对S31进行分类讨论,转化成互斥事件的概率2利用离散型随机变量的分布列的性质PI1,求出各自概率后求分布列1NI引言解答题解题方法训练主要题型剖析【解析】1P,Q,RS31,A1,A2,A3中有两个数为0,另一个数为1,则P13A1,A2,A3中有两个数为1,另一个数为1,则12141413C14364P22P13C1412332364332964引言解答题解题方法训练主要题型剖析2当PQR时X0,即|S3|0,A1,A2,A3均为0或1、1、0,PX033X1,即|S3|1,A1,A2,A3为0、0、1或1、1、1或0、0、1或1、1、1,PX134X2,即|S3|2,A1,A2,A3为0、1、1或0、1、1,1333A131372713C1349PX232X3,即|S3|3,A1,A2,A3为1、1、1或1、1、1,13C1329引言解答题解题方法训练主要题型剖析PX332X的分布列为X0123P132277274929227EX求离散型随机变量的分布列,实际上是概率部分的延伸,分布列是讨论全部基本事件的概率计算,正确的分类是解决好本题的关键49496273027109引言解答题解题方法训练主要题型剖析数列是历年高考考查的重点、热点和难点数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等题型五数列与不等式各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,属于低、中、高档难度的考题都有,部分省的数列考题前置,难度降低常见题型1数列的递推关系式的理解与应用2数列的通项AN与前N项和SN之间的关系与应用3求等差数列、等比数列的通项4等差数列、等比数列的求和,求和方法涉及到公式法、错位相减法、裂项相消法等5能力研究性试题争相亮相,与数表序列、平均数、导数、不等式、对数函数、解析几何等知识交汇,是高考的热点引言解答题解题方法训练主要题型剖析例9已知数列AN中,A13,A25,其前N项和SN满足SNSN22SN12N1N3,令BN11NNAA1求数列AN的通项公式2若FX2X1,求证TNB1F1B2F2BNFN11求FX的单调区间2当A0时,设FX的最小值为GA,若GA1,当A0时,FX0,由FX0得X,由FX0时,函数FX的减区间为1,增区间为,1A1A1A1A1A11AXAX1A1A2由1得,GAF1A1LN1,因为A0,所以GA0,则HX0得0H00,与题意不符综上,T0为所求利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考题中常见的形式,是复习的重点和难点本题中第2问GA0在X0处取得极值,且曲线YFX在点1,F1处的切线垂直于直线X2Y101求A,B的值2若函数GX,讨论GX的单调性【分析】1由极值点的导数为零,导数的几何意义可求出A,B的值2通过对GX求导,由导数符号确定其单调性【解析】1因FXAX2BXKK0,故FX2AXB又FX在X0处取得极值,故FX0,从而B0由曲线YFX在1,F1处的切线与直线X2Y10相互垂直可知该切线斜率为2,即F12,有2A2,从而A1,故A1,B0,FXX2KK0EXFX引言解答题解题方法训练主要题型剖析2由1知,GXK0,GXK0,令GX0,有X22XK0当44K1时,GX0在R上恒成立,故函数GX在R上为增函数当44K0,即当K1时,GX0X0,K1时,GX在R上为增函数2EXXK222E2XXXKXK222E1XXXK引言解答题解题方法训练主要题型剖析44K0,即当00,故GX在,上为增函数当X1,1时,GX0,故GX在1,上为增函数本题是借助导数方法解决函数单调性、极值问题的基本综合性问题,导数方法的引入,给函数背景的试题增添了活力,也极大地拓展了试题的外延性,增强了函数的应用功能准确求导是前提,导数的符号由二次函数确定,分类讨论其判别式的符号是关键1K1K1K1K1K1K1K1K1K1K引言解答题解题方法训练主要题型剖析1ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为A、B、C,若B60,A1C31求角A的大小2已知SABC62,求函数FXCOS2XASINX的最大值3【解析】1因为B60,所以AC120,C120A因为A1C,由正弦定理可得SINA1SINC,SINA1SINA1SINCOSACOSSINA1COSASINA,整理可得TANA1,所以A45333233232333212引言解答题解题方法训练主要题型剖析2由SABCSINB62可推出A4,FX12SIN2X4SINX2SINX123,当SINX1时,函数FX12SIN2X4SINX取得最大值312231A3引言解答题解题方法训练主要题型剖析2一袋子中有大小、质量均相同的10个小球,其中标记“G”字的小球有5个,标记“D”字的小球有3个,标记“P”字的小球有2个从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中,再从中任取1个球不断重复以上操作,最多取3次,并规定若取出“P”字球,则停止摸球求1恰好摸到2个“D”字球的概率2摸球次数X的概率分布列和数学期望【解析】1恰好摸到两个“D”字球的取法共有4种情形GDD,DGD,DDG,DDP则恰好摸到2个“D”字球的概率是P35103103103103102101531000引言解答题解题方法训练主要题型剖析2X1,2,3,则PX1,PX2,PX31PX1PX2故取球次数X的分布列为EX123X123P12110CC1518110CC12110CC42516251542516251542516256125引言解答题解题方法训练主要题型剖析3已知一四棱锥PABCD的直观图和三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点1求四棱锥PABCD的体积2不论点E在棱PC的任何位置,是否都有BDAE证明你的结论3若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小引言解答题解题方法训练主要题型剖析【解析】1由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC2VPABCDSABCDPC13232不论点E在何位置,都有BDAE证明如下连结AC,如图四边形ABCD是正方形,BDACPC底面ABCD且BD平面ABCD,BDPC,又ACPCC,BD平面PAC不论点E在何位置,都有AE平面PAC,不论点E在何位置,都有BDAE引言解答题解题方法训练主要题型剖析3法一在平面DAE内过点D作DGAE于G,连结BGBDAE,DGAE,AE面BDG,BGEA,DGB为二面角DEAB的平面角又BCDE,ADBC,ADDE,在RTADE中DG,同理在RTABE中,BG,在