张恭庆泛函分析习题解答

1131在度量空间中求证；为了子集A是列紧的，其充分且必要条件是对0存在A的列紧的网证明必要性显然,只证充分性0,设N是A的列紧的2网N0是N的有限2网,则有XA,N,X,2N,XN0,X2X,XX,X22N0是A的有限网132给定距离空间X,设MX是紧集,求证M上连续函数必有界,亦达到它的上,下确界证明FX0FXNK,SUPXMFXFX0,XM,FXXN,1NFXNFX0FXNKFX0注紧集条件不可少例0,1上考虑XNT,XNTTN,FX01X2TDTFTN01T2NDT12N1INFN1FTN0,00,1133在度量空间中求证完全有界的集合是有界的,并且通过考虑2的子集2EKK1,EKK0,0,1,0,来说明一个集合可以是有界但不完全有界证设M是完全有界集,那么0,M的有限的网特别对1,设NX1,X2,XN,则有MK1NBXK,1于是XM,设A为空间X的一个固定元我们有X,AX,XKXK,A1MAX1KNXK,A,即M是有界的下面说明EKK1有界但不完全有界首先,对K,2EK,1,其中0,0,0,由此可见EKK1有界再注意到EIEJI0,0,1,0,J0,0,1,0,JI0,0,1,0,1,JIEI,EJK1EIKEJK2122JI由此可见,EKK1与其任意子列都不收敛,从而EKK1不是列紧的,根据HAUSDORFF定理,也就不完全有界134设X,是度量空间，F1，F2是它的两个紧子3集，求证X1F1,X2F2,使得F1,F2X1,X2,其中F1,F2DEFINFXF1,YF2X,Y证明记DF1,F2,XF1,YF2NN,XNF1,YNF2,DXN,YND1N设XNKX1F1,相应的YNKF2,序列YNK未必收敛,但因为F2紧,存在它们的子序列YNKJ收敛,设YNKJX2F2,即有DXNKJ,YNKJD1NKJJDX1,X2135设M是CA,B中的有界集,求证集合MFXAXFTDT|FM是列紧集证设EFXAXFTDT|FM,FM,|FT|M0TA,B|FX|AXFTDTAB|FT|DTM0BAFE即E一致有界|FX2FX1|X1X2FTDTX1X2|FT|DTM0|X2X1|0,M0,4|X2X1|FX2FX1|FE即E等度连续135设M是CA,B中的有界集,求证集合MFXAXFTDT|FM是列紧集证设EFXAXFTDT|FM,FM,|FT|M0TA,B|FX|AXFTDTAB|FT|DTM0BAFE即E一致有界|FX2FX1|X1X2FTDTX1X2|FT|DTM0|X2X1|0,M0,|X2X1|FX2FX1|FE即E等度连续136求证SINNTN1在C0,中不是列紧的证只要证SINNTN1非等度连续对01,0,取KN,使得1K,NK2K,TK4K0,T00,|TK0|4K1K,|SINNKTKSINNK0|SIN210由此可见,SINNTN1非等度连续137空间S中集合A的列紧性条件A在S中是列紧的，当且仅当，对于任何N,CN0,使得对1,2,N,A,的点的第N个坐标的5数集是有界的，即|N|CNN1,2,证必要性因为A在S中是列紧的,任意一个无穷点列MA可以取出收敛子序列MK因为S中的收敛与按坐标收敛等价,所以点列M中的每一个点固定M的坐标序列NMN1,2,也可以从其任意无穷子集中取出收敛子序列,而坐标序列构成数集，要从其任意无穷子集中取出收敛子序列显然应该要求它们有界为了证明充分性,根据习题131,只要构造A的列紧的网,0,取定一个N充分大,使得12N,考虑形如HNN1,2,N,0,0,的点的集合H,其中1,2,N,N1,A因为X,HNKN112K|K|1|K|KN112K12N所以H是A的网再证H是在S中列紧的事实上,可以将H看做是元素为1,2,N的N维空间中的子集,由假设|K|CKK1,2,N,即每个坐标都是有界的,所以H可看做是N维空间中的有界集从而是列紧的138设X,是距离空间,M是X中的列紧集,若映射TXM满足TX,TYX,YX,YX,XY,求证T在X上存在唯一的不动点证记DINFX,FX|XM,6证明先证存在X0M,使得X0,FX0D这从下确界的定义出发,N,XNM,使得DXN,FXND1N,又因为M列紧，故存在XNKX0,将上面不等式中的N改为NK,即DXNK,FXNKD1NK,并令K再证D0用反证法如果D0,则有DFX0,FFX0X0,FX0D，矛盾139设M,是一个紧距离空间,又ECM,E中函数一致有界并满足下列|XT1XT2|CT1,T2XE,T1,T2M,其中01,C0,求证E在CM中是列紧集证0,取C1,当T1,T2时,|XT1XT2|CT1,T2注所以E是等度连续的注CT1,T2T1,T2CT1,T2C11141在R2中，ZA,B，令Z1|A|B|Z2A2B2Z3MAX|A|,|B|Z4A4B4121求证I,I1,2,3,4都是R2上范数；2画出R2,II1,2,3,4各空间中的单位球面图形；3取O0,0,A1,0,B0,1，试在上述四种不同范数下求出OAB三边的长度|AB|1|10|01|2|AB|22|AB|3MAX|10|,|01|1|AB|4214142C0,1表示0,1上连续且有界的函数XT全体对XC0,1，令XSUP0T1|XT|求证1是C0,1空间上的范数；2L与C0,1的一个子空间是等距同构的解XC0,1,XX1,X12,X1N,L2XSUPN1|X1N|X反之,1,2,N,L,将点列1,1,12,2,1N,N,用折线连接起来,得到一个函数XTC0,1XSUPN1|N|XXXX112131N11,21,21,NN注折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定ABXAXBXTTXTXABXBAXBXABA|XT|XA|BXBA|XB|XABAMAX|XA|,|XB|3143在C1A,B中令X1AB|XT|2|XT|2DT12XC1A,B1求证1是C1A,B上的范数2问C1A,B,1是否完备考虑C10,1中的函数列FNXX21N21X1可以验证FNX1按范数1是基本列但是FNX|X|C10,1FNXXX21N2,MNFMXFNX2201X21M2X21N22X21X21M21X21N22DXI1I2I121N21M22011X21M2X21N22DX2N20NI2201X21X21M21X21N22DX201X2X21N2X21M22X21M2X21N2DX42N4011X21N2X21N2XDX011X21N2X21N2XDX01N1N101N1X21N2X21N2XDXN31N11X21N2X21N2XDX1N1DX2N221N11NN3N3I22N0N但是FNX|X|C10,1144在C0,1中，对每个XC0,1令X101|XT|2DT12X2011T|XT|2DT12,求证1和2是C0,1中两个等价范数证明显然X1X2X22011T|XT|2DT01|XT|2DT01T|XT|2DT201|XT|2DT2X12X22X1145设BC0,表示0,上连续且有界的函数FX全体，对于每个FBC0,及A0,定义FA0EAX|FX|2DX121求证A是BC0,上的范数2若A,B0,AB5求证A,B作为BC0,上的范数是不等价的证明不妨假设BA0,显然有FBFA,由此可见,为了证明不等价性,只要证不存在C0,使得FACFBFBC0,只需证FNBC0,使得FNA2FNB2GNXDEFEAX,0XNEAXN1X,NXN10,XN1FNXDEFGNXFA20NEAXEAXDXN,FB20EBXEAXDX0EBAXDX1BAFNA2FNB2NBA146设X1,X2是两个线性赋范空间，定义XX1X2X1,X2|X1X1,X2X2称为X1与X2的DECARD笛卡尔空间规定线性运算如下X1,X2Y1,Y2X1Y1,X2Y26,K,X1,Y1X1,X2,Y2X2，并赋以范数X1,X2MAXX11,X22其中1和2分别是X1和X2的范数，求证如果X1,X2是B空间，那末X也是B空间证明设XN是X中的基本列则XNXM0N,MX1NX1M10N,MX2NX2M20N,M因为X1是B空间,所以X1X1使得X1NX1又因为X2是B空间所以X2X2使得X2NX2XDEFX1,X2下证XNX事实上,0,N使得XNXM2N,MNX1NX1M12N,MNX2NX2M22N,MNMX1NX112NNX2NX222NNXNXMAXX1NX11,X2NX222NN147设X是B空间,求证X是B空间，必须且仅须对7XNX,N1XNN1XN收敛证由MMPXNMMPXN显然设XN是基本列,由122只要XN存在一串收敛子列事实上,对K,取K12K,因为XN是基本列,所以NK,使得N,MNK,有XNXM12K,于是NK,NK1NKNK,使得XNKXNK112K,取YKXNKK1,2,改写YKY1I1KYI1YI,因为I1YI1YII112K1,由假设,I1YI1YI收敛即YK收敛,也就是XNK收敛即XN存在一串收敛子列149在2中,对XX1,X22,定义范数XMAX|X1|,|X2|,并设X00,1,E11,0求A1适合X0AE1MIN1X0E1,8并问这样的A是否唯一请对结果作出几何解释解X0AE1A,1MAX|A|,1|A|A|11|A|120151005000510152005101520AMINA1X0AE11,最佳逼近元AE1|A|1,不唯一2,非严格凸,如图所示,XYXY21XY2XY1411设X是线性赋范空间，函数X1称为凸的，如果不等式X1XX1X成立求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值证明用反证法设X0是局部极小点,则X1UX0X1X0如果X2X9使得X2X0,那么102000XX1XX1XX,于是F0|F0|,即|TF|F0|1211求证,TXYL的充要条件是T为线性算子并将X中的有界集映为Y中的有界集证明必要性显然下证充分性1X是X中的有界集,依题意,0,M使得,1TXMXX于是对,XX,X有,XXTM即TXMX而对于,XTXMX自然成立,从而TXMXXX即知,TXYL212设,AXYL，求证211SUPXAAX21SUPXAA3X1XAX1A11SUPAX111XFXF1SUPXFX根据YT在0,1上的一致连续性,N,N将0,1N等分,使得函数在每一等分区间上的振幅小于我们把所有的等分区间分为两类图16在第一类区间上不含有函数YT的零点,这类区间记作,在第二类区间上至少含有函数YT的一个零点,这类区间记作因为函数YT在区间上必有零点,所以在每个区间上有YT又X1,10010FFXYTDT2FYTDT1010YTDT2YTDTYTDT2又X1,01100FFXYTDT2FYTDT921511FXFFXFXX1FD0,00,X使得00001,FXXFXFF注意到001,XFXF故有1FD于是111,FFFDDD即1DF证明10,X,“使得11FXXF“两边取倒数,并乘以F1011FXFFXF,“,XYXNF/ST,1,TBU取1并设,1BX中的开单位球20,1XXU中的开单位球下面证明,1,1UB,111,1XBXXXXXU，使得,UXMXXX求证U有连续逆1U，并且311/UM证明由条件,U是满射,且是单射所以根据BANACH定理,1,UYXL,1,YYY设1,UYX则11YUXMXMUY111SUP1/YUUY233设H是HILBERT空间，AHL并且0M，使得2|,|,AXXMXXH求证1AHL证明由条件,XH2|,|MXAXXXAXAXMX所以A是单射4,XRA02|,|,AXXMXX故有RA所以RA是稠的设NY是RA中的基本列,并设NNAXY,则由NAXMXX是基本列00NNNXXHYAXAXRARA是闭的RARAH即A是满射所以根据BANACH定理,1AHL234设,XY是线性赋范空间，5D是X的线性子空间，ADY是线性映射求证1如果A连续，D是闭集，则A是闭算子2如果A是连续且是闭算子，则Y完备蕴含D闭3如果A是一一的闭算子，则1A也是闭算子4如果X完备，A是一一的闭算子，RA在Y中稠密，并且1A连续，那末RAY1如果A连续且D是闭的，则A闭算子；设,NNNXDAXXAXY,DXDAAYX6A闭算子2如果A连续，又Y完备,那么根据定理2312BLT,A能一地延拓到D上成为连续线性算子,|,DAAAAA本题还有一个条件A是闭算子,下面证明D闭设,NNXDXX则有,NNAXAXAX于是因为A是闭算子,所以,NNNXDXXAXAX7,XD且AXAX3如果A是单射的闭算子，则1A也是闭算子设1,NNNNNNNNYRAYYXDAXXXAYXYAXY因为A是闭算子,所以,XDAYAX,YRA1XAYIE1A是闭算子4如果X完备，A是单射的闭算子,RA在Y中稠密,并且1A连续，那末YRAA是单射的闭算子31A也是闭算子811XAA21RADA闭最后YYRARARARA235用等价范数定理证明10,1,C不是BANACH空间，其中10|0,1FFTDTFC证明用反证法假如10,1,C是B空间,100101MAXMAX,TTFFTFTDTFT9是比1强的范数,用等价范数定理,与1等价,即0,MST1FMF即1001MAXTFTMFTDT0,1FC令112110101MMMMTTFTMT矛盾236GELFAND引理设X是BANACH空间，1PXR满足10PXXX20,PXPXXX“310121212,PXXPXPXXXX4当NXX时，NPXPX求证0M，使得PXMXXX证明令11SUP,XXXPX1X是X上的完备范数,然后用等价范数定理所给的条件4,有两处发挥作用其一是证明0P110000,0LIMLIM0NNNNXPPXPXIXXPEXPXIYEXIIIPXPEEXPEY11SUPYIYPEY11SUPSUPIXXPXPEX1000,0LIMNNXPPXKKNNQQIIKKKEE另一方面,1111,PNQPQQPNNKKFXFXFF/0/0121211111PQNNNQQQKKKKFF/0/01212且QF18又HLDER,QPQFXXXF联合QQQFFF239证1,KX令1,KKKFX1,NNKKKFX11L,NFK且LIMN,NFXFX由习题237,1F下面证明K19设1E0,0,1,0,0,KK则EKKFE1EE,KKKKKFFF且F又11111,SUPSUPSUPNNNKKKKKKNKNKKNKKNFXXF由习题237,LIMNNFF1SUPKKFFF202310用GELFAND引理证明共鸣定理SUPAWPXAXPXMXAXMXAMAW2311设,XY是BANACH空间，,AXYL是满射求证如果在Y中0NYY，则0C与0NXX使NNAXY，且NNXCY证明设|0,NAXAXX考虑映射AXNA,YXX,NA,AXAXXX证明A21单射、满射再由2,AXAXAXAX33YY推出A有界由BANACH逆算子定理，1L,ANAYX不妨假设00,Y0,NY记1,NNXAY456711NNNXAYAY4567于是,取,NNXX4567使得2,NNXX4567便有,NNXCY其中12CA220,NYNX3且NNXXAXAX3456734567定义,NNYAX3则有,NNXCY312CA设0,NYY20NT，RT在Y中闭的充分必要条件是0A，使28XATXXDT3RT在Y中闭的充分必要条件是0A，,DXNTATXDT其中,DXC表示X到X的子集C的距离证明100NNNNXXXNTTXXX0TXXNT即得NT闭2RT是B空间,TDTRT单射、满射,由逆算子定理知291,TRTXL0,ST1TYYYRT于是XX,令,YTX即有XTX8NRTYY,NXDTST,NNYTXY由所给的不等式,NMNMXXTXTXXX,STNXX于是TNNXXYTXYRTTXY即证得RT闭303注意到NTX是B空间考虑TXNTY|,DTXNTXDTXTXTX显然,NTRTRT如果T是闭算子,用2的结果,即得结论下面证明T是闭算子就看31NNDTXXTXY45674567,XDTYTX90,2NNNNNXDTXXXXTXTXY45674567T,XDTYTX32RT闭RT闭T单射20,ST0,XTX即,DXNTTX2313设,AXY是HILBERT空间H上的一个共轭双线性形式，满足10M，使得|,|AXYMXY20，使得2|,|AXYX求证FH，FYH，使得,FAXYFXXH33而且FY连续依赖于F证明根据LAXMILGRAM定理2317,必存在唯一的有连续逆的连续线性算子,AHLST,AXYXAY又根据RIESZ表示定理,对,FH1,FZH使得,FFXXZ对此,FZ求解方程11,FFFFFFAYZYAZFXXZXAYAXY再证所产生的FY是唯一的设,FFXAXYXH3则有0,FFFFAXYAXYAXYY3334,XH取FFXYY3,便有220,FFFFFFFFAYYYYYYYY33332314设是2R中边界光滑的有界开区域,1R有界可测并满足00,LIMNNPTXTXLIMNNTXTPXLIMNNNPXYXYLIMLIMNNNNXYPXPY243令1000000100,XXFXFXPXPX3000000|FXFXFXPX0PXPX于是根据HAHNBANACH定理242,1,FXXST11FXPXXX2100FXFXXX再令10,FXPXFX即有1100000001FXFXPXPXPXPXFX2100FXPXPXPXFX即得结论244证XXLX,K,NXXX,NNNNXXXFFX4SUP,SUP,SUPXNNNNNNXFFXFXF，求证为了存在FX，满足FM，,1,2,JJFXCJN，必须且仅须对12,NK,有11|NNJJJJJJCMX6若满足所说条件的XF存在,则111NNNKKKKKKKKKCFXFX11NNKKKKFXMX若所说的不等式成立，设,1,NEXSPAN1,NKKKXXE定义01,NKKKFXC特别是0,KKFXC并由充分性假设,7001NKKKFXCMXFMXE再根据HAHNBANACH定理,X,F使得00,FXFXXEFFM“247设12,NXXX是线性赋范空间X中线性无关元，求证12,NFFFX，使得,1,2,IJIJFXIJN求证1,但1时,A21,2N1NXXX,X,X,L2N1NYAXX,X,X,即23K112KAXX,AXX,AXX,2222NNN2N1AXXXXA1又0X0,1,0,0,2,0AX1,0,0,00AXXA1,“A1当121A时,A2PA|1注意到非零分量个数有限的Y在2L中稠密,故有2RIAL2RIAL例如21JJ1YL,但是YRIA事实上,按K1JK11J1XX,求得15的KK1XX,使得KX故2XL于是C1A对于适合1的一般，可以化归1情形事实上,KK1KIAXYXXYKK1KKK1K1XXYK1,2,令KK1DEFDEFXYKK,K1,2,则有KK1KK1,2,此即化归1情形于是总结起来，我们有PA|1,时,18DX0DTXYD0XDAY00X,YC0,DX0DTXYD0DX00DTYDXYD0D00DTYXDXYD0D0DTYYXD0DDTYY0RE0YCEC0Y0RE02RAIL0,RARRE0ARRRE0ARE0ARA19计算细节TIBNTIBNXX00NLXTEEDTTEDTTIBN1X0N1LXTEDTTIBN1XIBNX0XEEN1TEDTN1XIBNXEEN1LXTIBNNLXNEPXTIBN1N1LXN1EPX2NLXNL0,1231设X是BANACH空间，0X是X的闭子空间，映射0/XXX，定义为XXXX，其中X表示含X的商类求证是开映射证法1用开映射定理,只需证明满射事实上,0XX,X任取,XX则有X,XXX证法2不用开映射定理教材P94,定理238的证明中的1为了证T是开映射，必须且仅须0,ST,1,TBU取1并设,1BX中的开单位球20,1XXU中的开单位球下面证明,1,1UB,111,1XBXXXXXU，使得,UXMXXX求证U有连续逆1U，并且311/UM证明由条件,U是满射,且是单射所以根据BANACH定理,1,UYXL,1,YYY设1,UYX则11YUXMXMUY111SUP1/YUUY233设H是HILBERT空间，AHL并且0M，使得2|,|,AXXMXXH求证1AHL证明由条件,XH2|,|MXAXXXAXAXMX所以A是单射4,XRA02|,|,AXXMXX故有RA所以RA是稠的设NY是RA中的基本列,并设NNAXY,则由NAXMXX是基本列00NNNXXHYAXAXRARA是闭的RARAH即A是满射所以根据BANACH定理,1AHL234设,XY是线性赋范空间，5D是X的线性子空间，ADY是线性映射求证1如果A连续，D是闭集，则A是闭算子2如果A是连续且是闭算子，则Y完备蕴含D闭3如果A是一一的闭算子，则1A也是闭算子4如果X完备，A是一一的闭算子，RA在Y中稠密，并且1A连续，那末RAY1如果A连续且D是闭的，则A闭算子；设,NNNXDAXXAXY,DXDAAYX6A闭算子2如果A连续，又Y完备,那么根据定理2312BLT,A能一地延拓到D上成为连续线性算子,|,DAAAAA本题还有一个条件A是闭算子,下面证明D闭设,NNXDXX则有,NNAXAXAX于是因为A是闭算子,所以,NNNXDXXAXAX7,XD且AXAX3如果A是单射的闭算子，则1A也是闭算子设1,NNNNNNNNYRAYYXDAXXXAYXYAXY因为A是闭算子,所以,XDAYAX,YRA1XAYIE1A是闭算子4如果X完备，A是单射的闭算子,RA在Y中稠密,并且1A连续，那末YRAA是单射的闭算子31A也是闭算子811XAA21RADA闭最后YYRARARARA235用等价范数定理证明10,1,C不是BANACH空间，其中10|0,1FFTDTFC证明用反证法假如10,1,C是B空间,100101MAXMAX,TTFFTFTDTFT9是比1强的范数,用等价范数定理,与1等价,即0,MST1FMF即1001MAXTFTMFTDT0,1FC令112110101MMMMTTFTMT矛盾236GELFAND引理设X是BANACH空间，1PXR满足10PXXX20,PXPXXX“310121212,PXXPXPXXXX4当NXX时，NPXPX求证0M，使得PXMXXX证明令11SUP,XXXPX1X是X上的完备范数,然后用等价范数定理所给的条件4,有两处发挥作用其一是证明0P110000,0LIMLIM0NNNNXPPXPXIXXPEXPXIYEXIIIPXPEEXPEY11SUPYIYPEY11SUPSUPIXXPXPEX1000,0LIMNNXPPXKKNNQQIIKKKEE另一方面,1111,PNQPQQPNNKKFXFXFF/0/0121211111PQNNNQQQKKKKFF/0/01212且QF18又HLDER,QPQFXXXF联合QQQFFF239证1,KX令1,KKKFX1,NNKKKFX11L,NFK且LIMN,NFXFX由习题237,1F下面证明K19设1E0,0,1,0,0,KK则EKKFE1EE,KKKKKFFF且F又11111,SUPSUPSUPNNNKKKKKKNKNKKNKKNFXXF由习题237,LIMNNFF1SUPKKFFF202310用GELFAND引理证明共鸣定理SUPAWPXAXPXMXAXMXAMAW2311设,XY是BANACH空间，,AXYL是满射求证如果在Y中0NYY，则0C与0NXX使NNAXY，且NNXCY证明设|0,NAXAXX考虑映射AXNA,YXX,NA,AXAXXX证明A21单射、满射再由2,AXAXAXAX33YY推出A有界由B