统计计算统计模拟π的估计

统计模拟作业班级学号姓名作业一的估计1分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，下面列举一些用此类方法求近似值的实例。1由公式1251340KK推出420KK编写程序SYMSKXSYMSUM1K/2K1,K,0,10Y4X得出当K10时，3232315809405593编写程序SYMSKXSYMSUM1K/2K1,K,0,20Y4X得出当K20时，3189184782277595依次，加大K的值K50，3161198612987050K100，3151493401070990K200，3146567747182986K10323231580940559350316119861298705010031514934010709902003146567747182986（2）沃里斯WALLIS方法在积分学中我们经常会遇到如下的沃利斯WALLIS公式。沃利斯WALLIS公式揭示了与整数之间的一种很不寻常的关系。但在实际学习中很少注意到沃利斯WALLIS公式,更不会关注它的应用。实际上,沃利斯WALLIS公式有许多作用,经常有以下几方面的应用。1应用于极限计算中。由于沃利斯WALLIS公式与极限有关,所以有些极限的计算可以通过沃利斯WALLIS公式很容易计算出来。2应用于积分计算中。对于一些用积分法不易求得原函数的积分，而用沃利斯WALLIS公式却很容易解决问题。编写程序FORMATLONGX1FORK110XX2K/2K12K/2K1ENDY2X得K10时，3067703806643498增加K的值K20，3103516961539230K50，3126078900215409K100，3133787490628159K10000，3141514118681864K1000000，3141591868191880K103067703806643498203103516961539230503126078900215409100313378749062815910000314151411868186410000003141591868191880（3）蒙特卡罗法取一正方形A，以A的一个顶点为圆心，A的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B。已知A的面积，只要求出B的面积与A的面积之比，就能得出，再由B的面积为圆面积的BASKBS四分之一，利用公式即可求出的值。因此，我们的目的就是要找2R圆出的值。K可以把A和B看成是由无限多个点组成，而B内的所有点都在A内。随机产生个点，若落在B内的有个点（假定A的边长为1，以扇形圆心为NM坐标系原点。则只要使随机产生横纵坐标、满足的点，就是XY2XY落在B内的点），则可近似得出的值，即，由此就可以求出的值。KMKN编写程序I1M0N1000FORI1NARAND1,2IFA12A22X10SEGMENTS10ELSESEGMENTSINTSTOREIX1/M1COUTIT“NI“ENDLFORINTI0I11ICOUTI1TSEGMENTSIIFI10COUTTFIXEDSETPRECISION290I2SU/SSBCOUTENDL程序的最终运行输出如图21所示。图21最终输出结果对结果的统计如表21所示。由表21中可见，今并213801,2KM令,则由于，故可认为产0522051817KM57生的随机数服从正态分布。I1,IIYINIP20IINP表21方法三BOXMULLER方法BOXMULLER算法一般是要得到服从正态分布的随机数，基本思想是先得到服从均匀分布的随机数，再将服从均匀分布的随机数转变为服从正态分布。BOXMULLER变换通常由2种形式表示，极坐标形式和基本形式。BOX给出了基本形式，MULLER给出了两个在区间（0，1上服从均匀分布的样本，再把它们映射为两个标准正态分布的样本。极坐标形式需要两个来自区间1，1的不同样本，并将它们映射为两个正态分布的样本，但不使用正弦或余弦函数。具体地，将X和Y两个标准正态随机变量用极坐标R和表示，由独立性，则可写出X，Y的联合密度，从而得到和的联合密度。观察此联合密度的形式，得和对应的特殊分布。12345678910,902,469,810,24,6108,21037462150019265340126975043916061253490651483052916380下面则是生成标准正态随机变量的BOXMULLER算法步骤一生成随机数U1U2步骤二（是均值为2的指数随机变量），（是12LNURU2（0,）上均匀随机变量）步骤三令2COSLNCOSRX12SINLSINRY1步骤三中两式的变换称为BOXMULLER变换使用BOXMULLER方法得到随机数的函数如下DOUBLEGETRANDDOUBLEU1DOUBLERAND10000/10000,U2DOUBLERAND10000/10000,RR205SQRT20LOGU1/LOGECOS2PIU2RETURNR用此函数得到的随机数样本理论上服从。所实现的程序产生了20,5N500个随机变量的样本其他与利用中心极限定理的实现基本相同。程序得到的最终结果如图22所示。图22对结果的统计如表22所示。表22I1,IIYINIP250IINP12345678910,021,46,820,4,628,173548692153002536890125430986724168907318605129由表22可见，今并令,则2191,2KM05由于，故可认为产生的随机数服从0587KM957正态分布。结果分析利用中心极限定理的方法虽然可以得到服从正态分布的随机数样本，其思想也较为简单，容易想到。但是这种方法每次都要先产生若干个服从均匀分布的随机数样本并求它们的和，因而算法的时间复杂度高。BO