信号系统课后习题答案

信号与系统（第3版）习题解析高等教育出版社1目录第1章习题解析2第2章习题解析6第3章习题解析16第4章习题解析23第5章习题解析30第6章习题解析40第7章习题解析48第8章习题解析542第1章习题解析11题11图示信号中，哪些是连续信号哪些是离散信号哪些是周期信号哪些是非周期信号哪些是有始信号CD题11图解A、C、D为连续信号；B为离散信号；D为周期信号；其余为非周期信号；A、B、C为有始（因果）信号。12给定题12图示信号FT，试画出下列信号的波形。提示F2T表示将FT波形压缩，F2T表示将FT波形展宽。A2FT2BF2TCFDFT1题12图解以上各函数的波形如图P12所示。3图P1213如图13图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题13图解各系统响应与输入的关系可分别表示为TIRTUTLDCCIT114如题14图示系统由加法器、积分器和放大量为A的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式试写出该系统的微分方程。SRSLSC4题14图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为XT，由于YAFT且,DTXTTY故有TAYFT即TFTY15已知某系统的输入FT与输出YT的关系为YT|FT|，试判定该系统是否为线性时不变系统解设T为系统的运算子，则可以表示为TFTFTTY不失一般性，设FTF1TF2T，则11TYTFTF222故有21TYFTTFT显然2121TFTFTF即不满足可加性，故为非线性时不变系统。16判断下列方程所表示的系统的性质。1TFFTY0DD23TTYT32FT4TY5解1线性；2线性时不变；3线性时变；4非线性时不变。17试证明方程TFAYT所描述的系统为线性系统。式中A为常量。证明不失一般性，设输入有两个分量，且2211TYTFTYTF，则有11TFAT22Y相加得212211TFTATTATY即D212121TFTYTTT可见2121TTTFT即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。18若有线性时不变系统的方程为TFAYT若在非零FT作用下其响应，试求方程TTYE12TFTY的响应。解因为FT，由线性关系，则TTYE1E122TTYTF由线性系统的微分特性，有TTF故响应TTTTYTFE2E1226第2章习题解析21如图21所示系统，试以UCT为输出列出其微分方程。题21图解由图示，有TUCRIDL又TTI0CSL1故CCSURU从而得11SCCCTLTTT22设有二阶系统方程04TYTTY在某起始状态下的0起始值为2,10试求零输入响应。解由特征方程2440得122则零输入响应形式为TEATY21ZI由于7YZI0A112A1A22所以A24故有0,1ZITETTYT23设有如下函数FT，试分别画出它们的波形。AFT2T12T2BFTSINTTT6解A和B的波形如图P23所示。图P2324试用阶跃函数的组合表示题24图所示信号。题24图解AFTT2T1T2BFTTTTT2T825试计算下列结果。1TT12D303COSTT4ET解1TT1T12DD3213COS3COS00TTT4EE03TTT26设有题26图示信号FT，对A写出FT的表达式，对B写出FT的表达式，并分别画出它们的波形。题26图解A20,1TFTT2，T22T4，T4BFT2T2T12T32T49图P2627如题27图一阶系统，对A求冲激响应I和UL，对B求冲激响应UC和IC，并画出它们的波形。题27图解由图A有RITUILDS即1STIT当USTT，则冲激响应ETLTIHR则电压冲激响应DLTTITUTLR对于图BRC电路，有方程UITCCS即SC1IRU当IST时，则10E1CTTUTHRCT同时，电流DCTTIRCT28设有一阶系统方程3TFTY试求其冲激响应HT和阶跃响应ST。解因方程的特征根3，故有E31TTX当HTT时，则冲激响应E231TTTTH阶跃响应13D30THTST29试求下列卷积。AT2BT3T5CTETTT解A由T的特点，故T22B按定义T3T5D53T考虑到T5时，T50，故T3T52,D3TTT也可以利用迟延性质计算该卷积。因为TTTTF1TT1F2TT2FTT1T2故对本题，有T3T5T35T35T2T211两种方法结果一致。CTETTTTETTETTETT210对图示信号，求F1TF2T。题210图解A先借用阶跃信号表示F1T和F2T，即F1T2T2T1F2TTT2故F1TF2T2T2T1TT2因为TTTTT0D故有F1TF2T2TT2T1T12T2T22T3T3读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图P210A所示。B根据T的特点，则F1TF2TF1TTT2T2F1TF1T2F1T2结果见图P210B所示。12图P210211试求下列卷积。AE12TTBD3TT解A因为，故TE1E1E1222TTTTTB因为，故ETTTTTT33ED212设有二阶系统方程423TTYTTY试求零状态响应解因系统的特征方程为2320解得特征根11，22故特征函数EE221TTXTTT零状态响应4422TTTTYTE82T213如图系统，已知13,121THTH试求系统的冲激响应HT。题213图解由图关系，有111TTTHTFTX所以冲激响应2TTTTXTYH即该系统输出一个方波。214如图系统，已知R1R21，L1H，C1F。试求冲激响应UCT。题214图解由KCL和KVL，可得电路方程为11112C2C2CTLRTULRULRU代入数据得CCT特征根1,21J1故冲激响应UCT为E1CTTUTT14SINESINCOETTTTTVT215一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入FTT时，全响应Y1T3E3TT；当输入FTT时，全响应Y2TE3TT，试求该系统的冲激响应HT。解因为零状态响应TST，TST故有Y1TYZITST3E3TTY2TYZITSTE3TT从而有Y1TY2T2ST2E3TT即STE3TT故冲激响应HTSTT3E3TT216若系统的零状态响应YTFTHT试证明1THFTHFDD2利用1的结果，证明阶跃响应THSD证（1）因为YTFTHT由微分性质，有YTFTHT再由积分性质，有TFTD（2）因为STTHT由（1）的结果，得15THTSDTT16第3章习题解析31求题31图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题31图解对于周期锯齿波信号，在周期0，T内可表示为TTAF系数2D1100TTFATTTNANT121NCOSCOS2SI012TTATTTNTTNTFB0121NDSIDSICO012AT所以三角级数为11SIN2TTF32求周期冲激序列信号NTTTT的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性解冲激串信号的复系数为TTTTFN1DE12JN117所以NTTT1JE因FN为常数，故无收敛性。33设有周期方波信号FT，其脉冲宽度1MS，问该信号的频带宽度（带宽）为多少若压缩为02MS，其带宽又为多少解对方波信号，其带宽为HZ，1F当11MS时，则HZ101F当202MS时，则5022F34求题34图示信号的傅里叶变换。题34图解A因为T,T,0为奇函数，故TTFDSIN2J0COSFT18SACOS2J或用微分定理求解亦可。BFT为奇函数，故TFDSIN12J02SI4JCOJ若用微分积分定理求解，可先求出FT，即FTTT2T所以COSEJJJ1FTF又因为F100，故1J2J135试求下列信号的频谱函数。1TF2E2SIN0TAT解10J20J2JDEDEDETTTFFTT24J1J220JJJEEE00TTFTTAT0JJJJD0TATTT00J1J12J2200JJ36对于如题36图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为2SAAF19题36图证因为TTA,10，|T|则0DCOS12TTFA2SIN42SA37试求信号FT12COST3COS3T的傅里叶变换。解因为122COST2113COS3T333故有F21133338试利用傅里叶变换的性质，求题38图所示信号F2T的频谱函数。FT20题38图解由于F1T的A2，2，故其变换SA42A21AF根据尺度特性，有8211TF再由调制定理得COS2212FTTFTFSA8SA8F4422SINSI39试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。1FTACOS0TT2FTASIN0TT解（1）因为COS000ATJ1所以由时域卷积定理J100FJA（2）因为JSIN000TJ1由频域卷积定理21J1J2100AF20A310设有信号F1TCOS4TT,1T,0试求F1TF2T的频谱函数。解设F1TF1，由调制定理4214COS11FFTTF而SA21故44SAF311设有如下信号FT，分别求其频谱函数。1E4J3TFT22解1因J1ET故4J31J434J3T2因2,12GT故JJESAESAF312设信号40,2TF2TF1T22其他,0试求F2TF1TCOS50T的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解因J2J2ESA8ESAF故5021150J2J2ESA4ESA4幅度频谱见图P312。图P3125050|F2|23第4章习题解析41如题41图示RC系统，输入为方波U1T，试用卷积定理求响应U2T。题41图解因为RC电路的频率响应为1JH而响应U2TU1THT故由卷积定理，得U2U1HJ而已知，故E1JJ1UEJJJ2反变换得11E12TTTUT42一滤波器的频率特性如题图42所示，当输入为所示的FT信号时，求相应的输出YT。题42图解因为输入FT为周期冲激信号，故2,1NTTF24所以FT的频谱NNF221当N0，1，2时，对应HJ才有输出，故YFHJ2222反变换得YT21COS2T43设系统的频率特性为2JH试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响应，故E2J1THTHF而阶跃响应频域函数应为2J1JTS2J1所以阶跃响应E12TTST44如题图44所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性HJ。题44图解由图可知输出TTTFY00D25取上式的傅氏变换，得E1J0JTFY故频率特性JJ0JTH45设信号FT为包含0M分量的频带有限信号，试确定F3T的奈奎斯特采样频率。解由尺度特性，有31FTF即F3T的带宽比FT增加了3倍，即3M。从而最低的抽样频率S6M。故采样周期和采样频率分别为S61FTM46若电视信号占有的频带为06MHZ，电视台每秒发送25幅图像，每幅图像又分为625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点解设采样点数为X，则最低采样频率应为XF625M所以781025FX47设FT为调制信号，其频谱F如题图47所示，COS0T为高频载波，则广播发射的调幅信号XT可表示为XTA1MFTCOS0T式中，M为调制系数。试求XT的频谱，并大致画出其图形。F26题47图解因为调幅信号XTACOS0TMAFTCOS0T故其变换20000FMX式中，F为FT的频谱。XT的频谱图如图P47所示。图P4748题48图所示A和B分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入FT的频谱和频率特性H1J、H2J如图所示，试画出XT和YT的频谱图。题48图题48图解由调制定理知21COSCCC1FFTTFF而XT的频谱11JHXXF27又因为21COSCCC2XFTTXF所以22JHY它们的频谱变化分别如图P48所示，设C2。图P4849如题49图所示系统，设输入信号FT的频谱F和系统特性H1J、H2J均给定，试画出YT的频谱。F1F2XYFH1JH2J28题49图解设，故由调制定理，得TTFF50COS15021FF从而122HTF它仅在|3050内有值。再设TTFTF30COS23则有1223FF即F3是F2的再频移。进而得响应的频谱为23JHY其结果仅截取20A0A3故系统稳定。610如题610图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。题610图解该系统的HS为KSSSK321123从必要条件考虑，应当K0，再由47A1A2A0A3考虑，应满足K9，故当0K9时系统稳定。也可以从劳斯阵列判定。因为阵列0391K为使第一列元素不变号，即应,39即0K9时系统稳定。48第7章习题解析71试画出下列离散信号的图形。A21NFBC3FD50124NN解各信号的图形分别如图P71所示。图P7172试画出下列序列的图形。A621NNFB2C53FD43214NNN解各序列的图形分别如图P72所示。49图P7273设有差分方程213NFYNY起始状态。试求系统的零输入响应。452,1YY解系统的特征方程为2320其特征根为11，22则零输入响应的形式为NKNY21ZI由起始状态Y1和Y2导出起始值Y0和Y1N0时，Y03Y12Y215251N1时，Y13Y02Y1314从而有021ZIK4IY解得K12，K2350故0,231ZINNYN74设有离散系统的差分方程为142314NFNYNY试画出其时域模拟图。解原方程可以写为142314NFNYNY从而可得时域模拟图P74，图中D为单位延时（位移）器。图P7475如图所示为工程上常用的数字处理系统，是列出其差分方程。题75图解由图可得差分方程3210NFBFNFBFNYDDDDDD5176设有序列F1N和F2N，如图76所示，试用二种方法求二者的卷积。题76图解方法一用“乘法”21511152111121511152215111522151115221511152235455555545352即有2,534,5,4,32021NF方法二用单位序列表示各函数后卷积。因为1151NNNF322N则8275365443221NNF77设有一阶系统为10FYN试求单位响应HN和阶跃响应SN，并画出SN的图形。解由方程知特征根08，故5280NNH阶跃响应为1511SNSN的图形如图P77所示。图P7778设离散系统的单位响应，输入信号，试求零状态响应YN。31NHNF2解由给定的FN和HN，得0KKHNFHNFYKK61230因为,10AANKN故得3526NYN79试证明2121NNN证明NKKNKNN0212012153121012NNNKK21121NN710已知系统的单位响应，10ANAH输入信号，求系统的零状态响应。6NF解6NANHNFY因为10ANNKN利用时延性质，则666NN所以得115AAYNN54第8章习题解析81求下列离散信号的Z变换，并注明收敛域。AN2BANNC05N1N1D05N025NN解AZZF0,2B0NNNAAAZZ111，C1125NNNZF1Z，D00255NNNZZFZ，82求下列FZ的反变换FN。A2184350ZB1ZC2FD403ZZE21解A因为412502ZZF55故412412501ZKZZF解得K14，K23进而412ZZF所以34NNFNB212121ZZZZF所以1NNNFC由于21ZZF故21ZKZZ解得K12，K22进而ZZF所以122NNNFD由于4032ZZF故22011ZKZZ解得3,821K56故有403128ZZF所以3108NNFNE由于21ZZF故1212112ZKZZ解得K11，K111，K121从而有22ZZF故得1NNF83试用Z变换的性质求以下序列的Z变换。A3NNFBN解A由时延性质，有23211ZZFB11NNZZZF84试证明初值定理LIM0ZFFZ证明因为2100ZFFZNFZF当Z时，则上式右边除F0外均为零，故57LIM0ZFFZ85试用卷和定理证明以下关系AMNFNFB1证明A因由卷和定理MZFNF而F故得MNFNFB因为211ZZ而221ZZNN所以1N86已知，试求的Z变换。1NNN解因由卷和定理21ZN而所以2211ZZN87已知因果序列的Z变换为FZ，试分别求下列原序列的初值F0。15011ZZF2258解12502501ZZF所以1LIMZFFZ25012ZZF所以0LI0ZFFZ88已知系统的差分方程、输入和初始状态如下，试用Z变换法求系统的完全响应。1212NFFNY。1,YNF解对方程取Z变换，有505011ZFZZYZ即11Z故501ZZY所以NNY89设系统差分方程为2615NFYNY起始状态Y13，Y22，当FNZN时，求系统的响应YN。解对差分方程取Z变换，得2161521ZFYZYYZY即85121Z从而有59216538ZZY23Z故321ZKZY解得K11，K24，K30则有ZZY得全响应24NNY810设一系统的输入，系统函数14NF501ZZH试求系统的零状态响应。解因为1505122ZZZH所以021ZKZZ解得K11，K22故50ZZH得2NNH所以FNHY214250NNN460811设有系统方程128012NFFNYYN试画出其Z域的模拟框图。解在零状态下对方程取Z变换，得2802121ZFZYZY即121Z故有2180ZZFYH由此可以画出模拟图如图P811所示。图P811812如题812图所示Z域框图，试写出其差分方程。题812图61解由图可得1ZFABZY故有1ZZ所以NFBNAY813如题813图所示Z域框图，是写出其差分方程。题813图解由图可得1ZFAZXBY故有1ZFAZ即1ZBZY从而有差分方程NFFNAY814对于题812和8