概率论与数理统计参考答案潘伟

1习题一（A）1用三个事件的运算表示下列事件,ABC（1）中至少有一个发生；,（2）中只有发生；（3）中恰好有两个发生；,ABC（4）中至少有两个发生；（5）中至少有一个不发生；,（6）中不多于一个发生ABC解（1）（2）3ABCABC4562在区间上任取一数，记0,X1|,2X，求下列事件的表达式13|42BX（1）；A（2）；3解（1）|14213XX或（2）（3）|0或3已知，求4,02,01PABPCAPABC解,201CAPBCPABPBCABPC42074已知，求与,25,0252PAB解,025PAB015PAB,1B042505将13个分别写有的卡片随意地排成一行，求恰,ACEHIMNT好排单词“”的概率MTHIN解234813P6从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率解1254309CP7某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率解123P8在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率解设表示第次取到次品，IAI1,23I12394068P9两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率解124P10两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率解2263711611任取两个不大于的正数，求它们的积不大于，且它们和不大于1的概率293解，所以，29XY1Y13X2231LN9PDX12设证明,PAABB1|ABPAB证明1ABPB13有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为若03,21,4坐火车来，迟到的概率是；若坐船来，迟到的概率是；若坐汽车来，迟到的概率02503是；若坐飞机来，则不会迟到求他迟到的概率01解33104514设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后求下列事件的概率（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签解；（1）42105P（2）69（3）3815发报台分别以概率06和04发出信号“”和“”由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“”，而是分别以概率08和02收到信号“”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以09和01收到信号“”和“”求（1）收报台收到信号“”的概率；（2）当收到信号“”时，发报台确实是发出信号“”的概率解（1）06840152（2）25316设相互独立，求,AB06,4PABPA4解0604PABPABPAB,241317两两独立的三事件满足并且C,2PAB若，求916PABC解,2321630PA4PA舍）18、证明（1）若，则|B|B（2）若，则事件与相互独立|PAA证明（1）,BPBAA2,PB1PAB19甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击设甲、乙、丙的命中率分别为04，05，07又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为02，06，1若三人各向飞机射击一次，求（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率解（1）04503650365076474507218（2）05420三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为025，035，04求此密码能5被译出的概率解025340256075367632049179150521在试验中，事件发生的概率为，将试验独立重复进行三次，若EAPAPE在三次试验中“至少出现一次的概率为”，求1927解，033319127CP22已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为02，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率解3120803804123设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，第二次取出的零件也是一等品的概率解（1）0184523297519726208644（B）1箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取次球，每次1K1个求最后取出的是白球的概率解12K2一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开解（1）42426619010C6（2）610P36103将线段任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率,A解，0,0XYYAXY，,22AA214AP4设平面区域由四点围成的正方形，现向内随机投10个D0,1,D点，求这10个点中至少有2个落在由曲线和直线所围成的区域的概率2YXYX1解，106PXD0191055C09106628751245设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率解（1）31752900（2）89436116BANACH问题某数学家有两盒火柴，每盒装有根，每次使用时，他在任一盒中取N一根，问他发现一空盒，而另一盒还有根火柴的概率是多少K7解22211NKNNKKPCC习题二（A）1同时抛掷3枚硬币，以表示出现正面的枚数，求的分布律。XX解,108PX38328P182一口袋中有6个球，依次标有数字，从口袋中任取一球，设随机变1,量为取到的球上标有的数字，求的分布律以及分布函数X解16PX320,1264,31XFX3已知随机变量的分布函数为X，21,04,XF求概率12PX解134F4设随机变量的分布函数为求X0,SIN21,XXA（1）的值；A（2）求|6P8解由于在点处右连续，所以,即FX202F，SIN1A。666PXXPX1025设离散型随机变量的分布律为13,1,IPXIA22I分别求出上述各式中的解（1），48397A23A2，21A126已知连续型随机变量的分布函数为X，0,1,XFXKB求常数和。KB解，。01KB7已知连续型随机变量的概率密度为X，21KFXX求常数和概率KP解，21DXK121XDX8已知连续型随机变量的概率密度为，,01,FXX其他9求的分布函数。X解20,1,2XXFFTDX9连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于099解，1092N102N1LGL02N7L10设每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆X通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率解,，。01PXE1202064PE11设每次射击命中目标的概率为0001，共射击5000次，若表示命中目标的次数。X（1）求随机变量的分布律；X（2）计算至少有两次命中目标的概率解（1）505019KKKPC（2）,PX5NP106730956X12设随机变量的密度函数为|,XFAE（1）求常数；A（2）求的分布函数。（3）求01PX解（1），002XXFXDEDA1（2）00,01,22TXXTTXXEFFTED10（3）10102XEPXDE13证明函数（为正常数）是某个随机变量的密度,0XCFCX函数证明由于在内，且,FX，22001CCFXDEDE所以，是某随机变量的概率密度。F14设随机变量的概率密度为，求X3201,XXF其他（1）的分布函数；（2）求20P解（1）,20,1XXFFTD（2）009PXF15某种显像管的寿命（单位千小时）的概率密度为，3,0,XKEF（1）求常数的值；K（2）求寿命小于1千小时的概率解（1）30,XKFXDE（2）。1330XP16设，,XN（1）求，196,196PX|196PX2PX（2）已知，,，求常07A|024B0981C11数,ABC解（1）1960975PX162|02591209718431PX（2）查表知，053AC|22BB194061,7817设，求28,05XN（1）；71P（2）；|（3）|9|05X解（1）10875708413P（2）|8|95（3）|9|03157X18设随机变量服从参数为的泊松分布，记随机变量，求随0,1,XY机变量的分布律Y解0012367958PXPX1173584Y19设随机变量的概率密度为，2,0XF其他对独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于的概率X5解用表示观察值不大于的次数，则，Y5P3,025YB1223PYPY230570516320已知电源电压服服从正态分布,在电源电压处于,X2,N20XV,三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为2040VXV。1,2（1）求该电子元件损坏的概率；（2）已知该电子元件损坏，求电压在的概率204V解0819PX2485761021095760219325768321假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布，内径小于10或大,N于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润与销售零件的内径有下列关系YX1,0,225,求的分布律Y解101587PX220625Y22已知随机变量的分布律为X，321023405015求的分布律。2Y解15P0313403PY9216523设随机变量服从上的均匀分布，求的概率密度X,2SINYX解,0XXFX其他SINSINYFYPXYPY，20,1,YX21,10YXFYY其他24设随机变量服从参数为的指数分布，令，求随机变量的密X21XYEY度函数解，2,0XXEF。2XYFYP1Y由于，所以当时，；当时，；20XE0YF1YYFY当时，1Y21LN2XYFPYEYPY，1LN20XD于是1,0YYFYF其他1425设随机变量，求随机变量的密度函数2,XNXYE解，21XFXEXYFYPY当时，；当时，0Y0，LNLYXXYEPFXD于是，2LN1,020,YYEFYF其他（B）1某种电子元件的寿命（单位小时）的概率密度为X，201,XEFX（1）求该电子元件能正常使用小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了小时，求它还能只用小时的概率。1010解（1）；1210PXFXDE（2）。120PXE2设连续型随机变量的密度函数是偶函数，证明FX（1）和有相同的分布；X（2）012AFAPFD证明（1）令，则的分布函数Y1YPXYPXY，1YFXD从而的概率密度为Y15，YYXXXFFXDFYF所以与具有相同的概率密度。YX（2），令，则AXFAPFXTAXDFDT1AXXAAFTDFT02，AXFFX所以。012AFD3设随机变量的概率密度为X，21FXX求（1）随机变量的概率密度。2YX（2）随机变量的概率密度。TANZRC解（1）2FYPY当时，0Y0Y当时，进而2YYXFYPXYPXFXD1122YYFFFYF。1XFYY综上所述，；,00,YYF（2）当时，Z16，ARCTNTANZXFZPZXZPZF于是的概率密度为；22SE1TNSTANZXFZFZZ当时，；2ZRC0FPX当时，AT1ZZZZ于是。1,20ZYFZ其他4设一大型设备在任何长度为的时间间隔内发生故障的次数服从参数为（TNTT为常数）的泊松分布。01求相继两次故障之间的时间间隔的概率密度；T（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障工作8小时的概率。解，。KTPNTE0,12（1）的分布函数为，当时，；当时，TTFTPT0TFTT，111TTPNE于是的概率密度为。,0TTEFT（2）。168161688PTEP习题三参考答案1、解关于X的边缘分布函数为XYFXLIM,，即YXYXYXLIM0,E1E,0，同理，关于Y的边缘分布函数为X,F017。YY1E,0F2、解根据题意，X1,X2的取值分别为0,1,2，且根据古典概型，有12112222112221CP0,PX0,44,6PX,P,0,48,0,X,6所以（X1，X2）的联合分布律为3、解根据题意，有1PAB1/8PAB|P248|243A4841PP所以（X,Y）的15ABBP8概率分布律为5PX0,YPX0,YAB81111P83,44、解根据题意，X可能取值为1,2,3,4，Y可能取值为1X，且有PXK1/4,K1,2,3,4，PY1|X11PYK|X10,K2,3,4PYK|X21/2,K1,2,PYK|X20,K3,4PYK|X31/3,K1,2,3,PY4|X30X1X201204618020018PYK|X41/4,K1,2,3,4所以（X，Y）的联合分布律为XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16关于X的边缘分布律为PXK1/4,K1,2,3,4关于Y的边缘分布律为Y1234PJ25/4813/487/483/485、解（1）1313026XYP,DXF,YDD821132006XY|4633101X468（2）5/32242336XYPXDXF,YDD8（3）2XY41/3。240X6YPXYDD86、解如右上图所示，关于X的边缘密度函数为，即1213XXFXF,Y|4,0X1。3X40,其余19关于Y的边缘密度函数为，即Y2Y300FYFX,D8X4|,13Y4Y,01F其余12、解（1）放回抽样2255PX0,Y,PX,Y,3613622101,关于X的边缘分布律为PX030/36,PX16/36关于Y的边缘分布律为PY030/36,PY16/36显然PX0,Y0PX0PY0,PX0,Y1PX0PY1,PX1,Y0PX1PY0,PX1,Y1PX1PY1即X与Y相互独立。（2）不放回抽样，109P,232020,PX,Y,PX1,Y3关于X的边缘分布律为PX0110/132,PX122/132关于Y的边缘分布律为PY0110/132,PY122/132；显然，即X与Y不相互独立。P,013、解（X,Y）的联合分布律为14、解关于X的边缘密度函数为22200XYXYFXF,YDDX,01,363同理关于Y的边缘密度函数为XY01200160120121012009009201201200920，32121Y00XYXYFYFX,DD,Y26很显然，当0X1,0Y2时,，即X与Y不相互独立。XYF,F15、因为FX,Y为密度函数，根据规范性，有1，即C6120CFX,YDXYD6关于X的边缘分密度函数为120FF,6,0X1关于Y的边缘密度函数为1220FYFX,DY3,Y显然有（对一切X,Y），所以X与Y相互独立。XYF习题四参考答案1、解X表示抽到红球的个数，则X可以取值0,1,2则X的分布律为，所以35C1P01221335CC6P,P00。6E202、解X表示取到合格品之前扔掉的废品数，则X0,1,2,3，其分布律为，939329P0,P1,PX410，所以320EX1314203、解设AI“第I台设备需要维护”，I1,2,3，X表示同时需要维护的设备台数，则X0,1,2,3，其分布律为PX0P0123123PAPA987PX1312123PA12123PA010807090207090803P1PX3PA1A2A3PA1PA2PA3010203P3PX21PX0PX1PX3P2。所以EX0P11P12P23P34、解037，所以EX0123045026121E10X0037万元。5、解（1）根据规范性，有1，2221AA101X1AFXD2XD|所以A。2（2）11201EXFD6、解（1）由规范性，有10402CC04；（2）44（3）2222E01087、解X的密度函数为，所以FX,31/3000Y1FDFXD02101DX38、解2EX849、解根据题意，X的密度函数为，所以F,12201343XD210、解（1）E304（2）3IJI1JXYXYP110211、解0253025EY55。7E根据X，Y的独立性，有EX11087EYX312、解120XY3XF,YDD8204E512217XF,XY3013、解12400Y4D14、解3EE2215、解（略）16、解EX10431022227所以，DEX6917、解EX10251025EY051050；Y12所以COVX,YEXYEXEY00050。即X，Y不相关。18、解如图所示，1/2EX21X0XF,YD6DYEY2/521X0Y,1/4所以COVX,YEXYEXY21X0F,EY1/20关于X的边缘密度函数为2X2XFF,YD6X,01关于Y的边缘密度函数为；YFYFX,D6X,01显然存在0X1,0Y1，使得，即X，Y不相互独立。XYF,FXY19、解207EX,YDD86YFX22220XY5,YDD8322220EFX,2320XY4EXYXYF,DD83所以22EXY1EX5DD920、解2222XYEY22222EEDE121、解XYDXYDCOVX,Y72,D2D5122、解（1）EZEZ3（2）DXYCOVXY,2COV,D22OV,ZXYXZZYZD323、解因为X，Y，所以，由于X，Y相互独立，2N,2D则有1222221212ZEZEED2222YXXD。22222YD习题五1已知，利用切比雪夫不等式估计概率1EX4D125PX24解据切比雪夫不等式21PX24592设随机变量的数学期望，方程，利用切比雪夫XEX2DX不等式估计|3P解令，则由切比雪夫不等式，有2|3DXX21|9P3随机地掷颗骰子，利用切比雪夫不等式估计颗骰子出现点数之和在66之间的概率1527解设为颗骰子所出现的点数之和；X为第颗骰子出现的点数，I1,26I则，且独立同分布，61II126,X分布律为，于是2616172IKEX2562219IKEX所以2IIIDEX946，3512,6I因此61721IIEX6135IID352故由切比雪夫不等式得|571428PXPX7|E217DX3594914即颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于61274对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为，04方差为，求在次炮击中，有颗到颗炮弹击中目标的概率361038042解以表示第次炮击击中的颗数IXI1,I|P26有，04IEX36IDX据定理则10382IIP423840360612306912585一盒同型号螺丝钉共有个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是，标准差是10G10G求一盒螺丝钉的重量超过的概率2K解设为第个螺丝钉的重量，IX1,20I且它们之间独立同分布，于是一盒螺丝钉的重量，10IIX且由，知10IEXID，I10由中心极限定理有10210210PXP10X27102XP21097576用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从上的均匀分布,（1）若有个数相加，则其误差总和的绝对值超过的概率是多少2015（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于的概率达到0以上9解设为第个加数的取整舍入误差，IX则为相互独立的随机变量序列，I且均服从上的均匀分布，则05,05IEXXD22051ID（1）因很大，10N由独立同分布中心极限定理对该误差总和，120IIX1205IIPX1205012IIP281205IIPX215036即误差总和的绝对值超过的概率达到11362依题意，设最多可有个数相加，则应求出最大的，NN使得109NKPX由中心极限定理110102NNIIIINPX29即1052N查正态分布得164即21064N取，最多可有个数相加47在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为，参加保险的人在年第天交付保险费元，死亡时家属0110可以从保险公司领取元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率2解以表示年死亡的人数X依题意，30,1B注意到292030PPX保险公司亏本其概率为15301159PX6920即保险公司亏本的概率几乎为08假设是独立同分布的随机变量，已知12,NXKIE,341,2IN证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布N21NIIZX证明由于独立同分布，则也独立同分布12,NX221,NX由KIE,34I有，2I22IIIDXE2421NNIIEZ22421NNIIDXN因此，根据中心极限定理240,NNZUN即当充分大时，近似服从NN224,N309某保险公司多年的统计资料表明在索赔户中被盗索赔户占，以表20X示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数10（1）写出的概率分布；X（2）利用德莫弗位普拉斯中心极限定理求被盗索赔户不少于户，且不多于户的概率1430解（1），1,2XB所以0028,10KKPC，ENP6DNP（2）|43X120302616P5209431092710某厂生产的产品次品率为，为了确保销售，该厂向顾客承诺每P盒中有100只以上正品的概率达到95，问该厂需要在一盒中装多少只产品解设每盒中装只产品，合格品数，N,09XBN，09EXD则11PP0953N所以1091653N解得，即每盒至少装117只才能以95的概率保证一盒内有100只正品。73111某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为，利用09中心极限定理（1）计算同时用电户数在户以上的概率903（2）若每户用电瓦，问电站至少应具有多大发电量，才能以的概率2095保证供电解以表示用电高峰时同时用电的户数X（1）依题意，又，10,9B90EX90DX于是据定理39039090PXP13084157（2）设电站至少具有瓦发电量，才能的概率保证供电，则因为要X095202XPXP909033180956X查表得18056X得932即电站具有瓦发电量，才能以的概率保证供电1809095（B）1、设随机变量服从参数为的指数分布，相互独立，且X212,NX都与的分布相同，求当时，依概率收敛的极限（答案N1NIIY）122、设相互独立，且分布相同，存在，12,NX1,234KIEX则根据独立同分布的中心极限定理，当充分大时，近似服从正态N1NIIZ分布，求分布参数（答案）242,3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50KG，标准差为5KG若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于0972097（答案）98习题六1设是来自上均匀分布的样本，末知，求样本的联128,X0,0合密度函数解12881280,XFX其他2设总体服从参数为的泊松分布，其概率分布律为X0,1IPEI求样本的联合分布律为12,N解3312,NPXIIXI1NKKI11NKINKEI0,12,1,2KIIN3若总体，其中已知，但末知，而为它2,XN212,NX的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量（1）；（2）；（3）；1NII21NIIX21NII（4）；（5）；（6）3XNN215NIIX解（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数，所以不是统计量4总体的一组容量为的样本观测值为X10，求经验分布函数0,25,031,25,07,1FX解将样本观测值重新排序为，所以17252经验分布函数为10120743812XFXX5来自总体的一组样本观测值为X34IX1024106IN35求样本均值，样本方差和样本标准差X2SS解，1046X71S64S6在总体中随机抽取一容量为的样本，求样本均值在25,3N3X到之间的概率5083解由知25,63X520,163XN故所求概率为50825382508311PP472X17140956408298237设随机变量与相互独立，且，证明XY22,YXNNTTNY证明由于，则2,XN350,1XN据分布的定义，T2XTTNYN8若对总体有，取的容量为的样本，样本均值为XEDXN，问多大时，有N0195P解由，知2,XNN0,1XN0101PPN295即01975N查表得，即638N9设总体，并且，相互独立，现从,40XN125,6YNXY两总体中分别抽取容量为的样本，样本均值分别为，求50PY解2500XYXP17043610设总体，都服从正态分布，并且，相互独立，XY2,NXYX分别是总体和的容量为的样本均值，确定的值，使YNN01P解由于20,1XYNXYN于是，22NNPXYPXY10即，查表得，取0952N258N132814N11设总体，为的一个样本，设0,XN126,X，求常数，使分布22123456YXC2Y解由于独立同分布6,所以1234560,0,3NXN,1,13X于是22123456X2233X3721Y其中22,133所以2221123456YXX23即1C12设为来自总体的样本，求1210,X0,9N1024IIPX解设总体为，则由可知,X，0,13N0,13I,210,I由定理可知1022,IIX利用分布表，可得21024IIPX10233II26P0113设是总体的一个样本，若统计量125,X0,1XN38，试确定与122345CXUTNCN解由于独立同分布,所以I1,2345I,且两者相互独立,由分布定义2123450,XNXT知22123453UT故,32CN14设总体，是样本，求的分布20,XN12,X21XY解记，则有，1212,UV21UXV由于2212120,0,XNXN则,1VUV下面证明和相互独立因为，都服从标准正态分布，因此只要证明，互不相关，即U0,NUV即可由于，因此，COV,0VEVU12122XX122E3922120EX这样2,UYFV15设总体,从二总体中分别抽取样本,得到下21XN2Y列数据,；,，18N05X2145S210N34Y256S求概率214P解由于217,9SF057,932故05P从而221145406SP30F5109B1设有个产品，其中有个次品，进行放回抽样，定义如下NMIX1,0IIX第次取得次品,第次取得正品求样本的联合分布12,NX40解因为是放回抽样，所以独立同分布，12,NX则的联合分布为1,01IIMPXPXNN12,N111,NIIXNXINXXM2设总体，是样本，证明2,X12,NX2241NIIEN证由和21S221NIISX得2211NIIXN使用分布期望和方差的公式，于是，222,1EDN22411NINIIIXEX42E242D42411NN3设是来自正态总体的简单随机样本，129,X,62789,3YXYX419221271,IISXYZYS证明统计量服从自由度为的分布T证因为为末知，而，2DX12EY216DY23Y由与的独立性，故1Y21202123,UN由正态总体样本方差的性质知，22SN又由与独立知，与独立，与独立，于是也与独立从1Y21Y2Y12Y2S而，由分布随机变量的构造知T212ZSUT习题七A1、设总体服从参数为和的二项分布，为取自的一个样本，XNPNX,21试求参数的矩估计量与极大似然估计量P解由题意，的分布律为1,0KNKPP总体的数学期望为X101NNKKKNKKKEP1NPP则用替换即得未知参数的矩估计量为XEXPN设是相应于样本的样本值，则似然函数为12,NX12,NX42111211,NNIINNXNXNIIIILXPPXXP取对数，111LLLLNNNIIIINXNX11LNNIIDLPP令，解得的极大似然估计值为L01NIXPN从而得的极大似然估计量为P1NIIXP2,、设为取自总体的一个样本,的概率密度为NX,21X其中参数，求的矩估计2,0XF其它0解取为母体的一个样本容量为的样本，则NX,21N203XEXFD32用替换即得未知参数的矩估计量为X2X3、设总体的一个样本,的概率密度为12,NX0,0,1XEXF其中是未知参数，是已知常数,求的最大似然估计0解设为样本的一组观测值，则似然函数为12,NX12,NX431121,0,0,NINXINXELX其他取对数11LLLLNNIIIX解极大似然方程1LN0NIDL得的极大似然估计值为1NIX从而得的极大似然估计量为1NIIX4、设总体服从几何分布X,10,2,1PKPKP试利用样本值,求参数的矩估计和最大似然估计NX,21解因,1111KKKKEXPP用替换即得未知参数的矩估计量为X在一次取样下，样本值即事件12,NX同时发生，由于相互独立，得联合12,XXX12,NX分布律为1212,NNLPPXPX,121NXXP即得极大似然函数为1NIXNLP取对数1LNLLIP44解极大似然方程1LN0NIXDLPP得的极大似然估计值为P1NIX从而得的极大似然估计量为1NIIPX5、设总体的概率密度为为未知参数,XEXP,2FX0为总体的一样本,求参数的最大似然估计N,21解设为样本的一组观测值，则似然函数为12NX12,NX12111,EXP|NNNINILFXF取对数121L,L2|NNIIXX解极大似然方程21L|0NIIDL得的极大似然估计值1|NIIX从而得的极大似然估计量为1|NIIX6、证明第5题中的最大似然估计量为的无偏估计量证明由第5题知的最大似然估计量为1|NII故11|NNIIIIEXE又|EXP2IXD450012EXPEXPDD0|从而，即是的无偏估计E7,、设总体的概率密度为,为未知参数,X2200XEFX，其它2为总体的一个样本,求参数的的矩估计量和最大似然估计量N,212解因220XEXXFDXED22200|XXXDEE22001XXD用替换即得未知参数的矩估计量为XE12X从而得未知参数的估计量为22设为样本的一组观测值，则似然函数为12,NX12,NX212221121,NINIXNNLFXFXE取对数2211LLLNNIIIXX解极大似然方程22241LN0NIDLX得的极大似然估计值2221NI46从而得未知参数的估计量为2221NIX8、设总体,已知,为未知参数,为的一个样本,2NXNX,21,求参数,使为的无偏估计NIIC1|C解由无偏估计的定义，要使为的无偏估计，则E又11|NNIIIIECXUCEXU由题意知总体，从而,2N2|XUIEXUXED2211XUXUUUXED且220XUYYUXED220Y由对称性有2|IEXU从而有，即2CN2CN9、设是参数的无偏估计量,且有,试证不是的无偏估计量0D2证明因为是参数的无偏估计量，故，且E0有2222EDE即不是的无偏估计量10、设总体,是来自的样本,试证估计量2NX321,X32105321543216X都是的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效47证明总体,是来自的样本，则2NX321,X11231235050EEEXU2534412312366XX即估计量都是的无偏估计3,又21123123915050450DDDX23467XX21231236918有，从而估计量最有效2D211,、设是总体的一个样本,证明是12,NX20XN2021NIIX的相合估计量2证明由题意，总体，则20,20,EX由样本的独立同分布性知，即是的无偏估计2211NNIIIIEXE21NII2211NNIIIIDD又，且242IIIXE2222443|XXXIXEDEED2243X故，2424432IIIDXE48有4210NIIDXN故是的相合估计量21NII12、设总体的数学期望为,方差为,分别抽取容量为和的两个独立样本,X21N2,分别为两样本均值,试证明如果满足,则是的无偏12ABYAXB估计量,并确定,使得最小ABDY解由题意，且,分别为容量为和的两个独立样本得2EXU1X21N2样本均值，故，11,N22,EUD当时，有，即是的无偏AB12YABA12YAXB估计量222211DYXN令，由知函数的稳定点为，且221AGN0GAGA12NA，故为函数唯一极小值点，即当121212N时，最小1212,NABNDY13、设是总体的一个样本,的概率密度为,未知，,XXFX0已知,试求的置信水平为的置信区间2N1解由题意，统计量，则给定置信度为时，有2NX12211P49221NXNP由置信区间的定义知，的置信水平为的置信区间为1221,NXN14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布已知均方差小时,在置信水平095下求出这批显像管平均X40寿命的置信区间解设是母体的样本容量为的子样，则显像管平均寿命12,NXN0,6N构造统计量，有0,1UUNN由题意111222|PPXUXUNN，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为1095009756X的置信区间为4416,11078415、设随机地调查26年投资的年利润率,得样本标准差,设投资的年利15S润率服从正态分布,求它的方差的区间估计置信水平为095X解由题意，构造统计量，则给定置信水平为，有221NSN2211NSP221N取，查表可得，6,05,9NS2051320，故方差的置信度为的置信区间为20975450221,014,3NSN16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为单位厘米214,210,213,215,213,212,213,210,215,212,214,210,213,211,214,211设钉子的长度服从正态分布,试求总体均值的置信水平为090的置信区间X解设是母体的样本容量为的子样，由题意知1216,X16，54930S构造统计量，有1UTTN由题意111222|SSPTPXTUXTNN，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为090095749TX的置信区间为17,310517、生产一个零件所需时间单位秒,观察25个零件的生产时间得2NX,试求和的置信水平为095的置信区间5X3S2解设是母体的样本容量为25的子样，由题意知125,X，7S构造统计量，有1UTTN由题意111222|SSPTPXTUXTNN，查表可得，故参数的置信度为的置095009754639T95信区间为4786,11构造统计量，则给定置信水平为，有22NSN1512211NSPN221取，查表可得，6,73,05NS205162，故方差的置信度为的置信区间为209548985,7918、产品的某一指标，已知，未知现从这批产品中抽取,2NX4只对该指标进行测定,问需要多大,才能以95的可靠性保证的置信区间长度不大于NN00119、设和两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其AB电阻,算得,若批导线的电阻服从,批导线7210S621035BSA21NB的电阻服从,求的置信水平为090的置信区间2N20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量AH如下甲厂140,138,143,141,144,137乙厂135,140,142,136,138,140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95置信区间（B）1、设总体的概率分别为X0123P21其中是未知参数,利用总体的如下样本值1X3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估计值和最大似然估计值解由题意可知总体为离散型随机变量，则总体的数学期望为X3202114KEXP有，由样本值可知，用替换即得未知参数的4XE矩估计量为，矩估计值3X14设是相应于样本的样本值，则似然函数为12340,XX1234,X5212341234,03LXPXPX46取对数LNLLNL解极大似然方程8201DL有，从而2143073又当时，矛盾，故舍去711206所以的最大似然估计值732、设和是参数的两个相11,NX21,NX互独立的无偏估计量,且方差,试确定常数,使得是的无偏12DAB12估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小解由题意，和是参数的两个相互独立的无偏估计量，则12要使得是的无偏估计量，有12,E2AB恒成立，即1ABE1AB又，相互独立，且，则1212D222DABAD