第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动

1、第三章 单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节 导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。激励按来源分：1.力激励：直接作用于机械运动部件上的力 有旋转机械或往复运动机械中 不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加 速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2周期激励3任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对

2、于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力其中 - 激励力幅 - 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。系统的运动微分方程为 （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。该方程的通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成，即 （1）齐次方程的通解齐次方程的通解对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（）的情况下为式中和为待求常数，由初始条件确定。（2）非齐次方程的特解根据高数，非齐次方程的特解假设为 （3-4）将及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得利用三角公式，将上式右端改写成

3、如下形式代入上式，得比较方程左右两侧和的系数，得联立求解，得 （3-2） （3-5）（3）方程的通解 （3-6）设 ，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出和，再回代入方程（3-6），得 这就是初始条件为、，在简谐激励力作用下系统的响应（系统的强迫振动）。可见，该响应由三部分组成（）为初始条件为、引起的自由振动，称为系统对初始条件的响应。（）是伴随激励而产生的自由振动，称为自由伴随振动。其特点是振动频率是系统有阻尼固有频率，但振幅与系统本身的性质及激励因素有关。（）为稳态强迫振动。（）+的振动振幅都将随时间逐渐衰减，因此它们都是瞬态振动。即在运动开始的很短时间内就迅速消失，只剩下稳态

4、强迫振动。对于强迫振动问题，稳态响应是最重要的。故所研究的强迫振动，如无特殊说明，都是指稳态强迫振动。为了下面研究的方便，省去稳态强迫振动的下标“”。二、稳态强迫振动的特征式中 - 振幅 - 相位差，表示响应滞后于激励的相位角。令频率比 则 ，故振幅和相位差为 （3-3） （3-5）稳态强迫振动的特点：1. 稳态强迫振动是简谐振动，振动频率与激励力的频率相同，而相位滞后于激励力。2. 稳态强迫振动的振幅和相位差都只决定与系统本身的物理性质和激励力的大小与频率，与初始条件无关。这说明初始条件只影响系统的瞬态振动。3. （1）幅频特性为了具体讨论影响稳态响应振幅的各种因素，引入无量纲的振幅动力放大

5、系数（放大因子），它定义为 （3-7）绘制以阻尼比为参数的一组曲线 - 幅频特性曲线（）当，即时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数， ，即振幅近似地等于激励力幅值作用下的静位移（低频激励时的振动幅值接近于静态位移）。在这个区域内振幅主要由弹簧刚度控制，故称这个区域为弹性控制区。（）当，即时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数， ，说明高频激励时响应的振幅很小。这是因为激励力的方向改变太快，质量块的位移受惯性力的影响来不及有相应的变化。 此时 可见在这个区域内振幅主要决定与系统的惯性，故称这个区域为惯性控制区。（）当，即时，动力放大系数迅速增大，振幅与阻尼情况关系密切。A当时，则， 。即振幅趋于无

6、穷大。这种现象称为位移共振（共振）。B当时，由，可得振幅为最大时的频率比对应的振幅最大值为此时系统发生共振。 但在实际中，由于阻尼通常较小（例如），则当，即称为共振，其共振振幅为可见振幅的大小主要决定于阻尼，因此称这个区域为阻尼控制区。（）对于或这两个区域内，对应于不同的阻尼比值的曲线较为密集，说明阻尼对响应振幅的影响不显著。因此，在这两种极端的情况下，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的。对于这个区域，阻尼对振幅有决定性的影响，既增大阻尼会使振幅明显下降。因此，在这个区域内，增大阻尼对振动有很强的抑制效果。 当，系统不会出现共振，且动态位移比静态位移小。（2）相频特性为了具体讨论影响稳态响应相频的各种因素，以频率比为横坐标，相位差为纵坐标，阻尼比为参数，绘制出一组曲线 - 相频特性曲线（）若 当 ； ；角发生突变，从0调到。（）若 当 ，即位移于激励几乎同相位； ，即位移于激励几乎反相位；即共振时，这时与阻尼