第4章--斯特瓦尔特定理和应用

1、第四章 特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理 设为的边上任一点（，），则有或 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设，则由余弦定理，有，对上述两式分别乘以，后相加整理，得式或式斯特瓦尔特定理的逆定理 设，依次分别为从点引出的三条射线，上的点，若，或 ，则，三点共线证明 令，对和分别应用余弦定理，有，将上述两式分别乘以，后相加，再与已知条件式相比较得，由此推出，即证斯特瓦尔特定理的推广 （1）设为的边延长线上任一点，则（2）设为的边反向延长线上任一点，则注 若用有向线段表示，则，式是一致的推论1 设为等腰的底边上任一点，则注 此推论也可视为以为圆心，为半径的圆中的圆幂定理推论2 设为的边上

2、的中线，则推论3 设为的的内角平分线，则推论4 设为的的外角平分线，则推论5 在中，若分线段满足，则注 若，则【典型例题与基本方法】1选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键例1 如图4-2，凸四边形中，对角线，交于点求（1996年北京中学生竞赛题）解 延长，相交于，设，则，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有由，有，即，求得 于是，又在中，从而 而，故 ，即为所求例2 如图4-3，在中，点是外心，两条高，交于点，点，分别在线段，上，且满足，求的值（2002年全国高中联赛题）解 延长交于，由三角形垂心性质，知为关于的对称点，则设的半径为，由，知延长两端交于，如图4-3，由相交

3、弦寇理有，即，即在及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，并注意到 ，可得，即 ，亦即 于是，有亦即 ，即 而当时，故 为所求2注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例3 如图4-4，自外一点引圆的两条切线，为切点，过点任意引圆的割线交于，交于证明：（2001年湖南中学生夏令营试题）证明 由相交弦定理，有由于，对等腰及底边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有 ，即有而，从而故 注 此例结论表示线段是线段，的调和平均这个结论亦即为点、调和分割弦例4 如图4-5，设在中，平分，且交于，在上有一点，使求证：（1979年江苏省竞赛题）证明 对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有由平分，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理

4、的推论3，有 ，从而因，有，即由角平分线的性质，有 ，即 从而，由式，有例5 凸多边形外切于，两组对边所在的直线分别交于点、，对角线交于点求证：（中等数学奥林匹克题高中251题）证明 如图4-6，设与边、分别切于点、，则由牛顿定理知，、四线共点于由切线长定理，知由推论1，有同理，联结、，令的半径为，则又由相交弦定理，有于是，由、有由定差幂线定理，知注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点（2）定差幂线定理 设、是两条线段，则的充要条件为此定理可用勾股定理及逆定理证明这个定理放到空间也是成立的运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由知 故 例6 已知、分

5、剔是的边、的中点，、是边、上的高，联结、交于点又设、分别是的外心、垂心，联结、求证：（2005年国家队集训题）证明 如图4-7，联结、设、分别为、的中点，则，即知点在线段的中重线上，应用推论1，有注意到为中位线，在的中垂线上，由此知也在的中垂线上，应用推论1，有再注意到，知、四点共圆，并由直角三角形性质，有及、由、得由定差幂线定理，而，故注 此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15例7 设是的边上一点，满足，经过、两点，并分别与、交于、两点，、交于点，联结、，取的中点求证：证明 如图4-8，在的延长线上取点，使得（即、四点共圆），则由知、也四点共圆于是 ，知、四点共圆，即有联结、，并令半

6、径为，则对、分别应用推论1，有联结，由三角形中线长公式，并注意、，有联结、，对应用推论1，有又由，有，即有注 即为完全四边形的密克尔点，由、有由定差幂线定理，知 3注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理证明 如图4-9，在中，点在上，由斯特瓦尔特定理，有延长交的外接圆于，连，由和，有 ，又由相交弦定理，有于是，得，即 ，亦即 即为托勒密定理由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理证明 如图4-10，设圆内接四边形的对角线，交于由托勒密定理，有即 由和，有，由相交弦定理，有将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即

7、凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理反之亦然例8 若的三边为连续整数，且最大角是最小角的两倍，求三角形的三边长（-10试题）解法1 作的平分线（图略），则，令，则，由斯特瓦尔特定理的推论3，有，即，又，即 ，有故由，求得（舍去），即，解法2 作的外接圆，取的中点，连，则为梯形，其中令，则，且，对四边形应用托勒密定理，有，求得（下略）【解题思维策略分析】1获得线段倍分关系的一条途径例9 如图4-11，已知的外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，另一个圆与边，分别切于点，且与圆内切求证：内心是线段的中点（-34预选题）证明 设圆的圆心为，半径为，于是，三点共线，且，则，且于

8、是，连，对，及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有注意到欧拉公式，及，并将其代入式，得到，化简得 从而 ，即 因为，且平分，令的中点为，由射影定理，有比较式和式，知与重合，即得为的中点例10 如图4-12，两个大圆，相等且相交；两个小圆，不相等但相交，且交点为，若，既同时与内切，又同时与外切试证：直线平分线段（中等数学奥林匹克问题高中58题）证明 由于，半径不相等，此两圆交点所在直线必与线段相交，设交点为连，显然，设垂足为，又设，的半径均是，的半径分别为，则易得，因为，或，垂足为，则设，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有，得，即 ，亦即 因，从而，即故，即直线

9、平分线段2求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A中的第6题，习题B中的第7题等可以看出在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用例11 设的三边为，其面积为，则，当且仅当为正三角形时，等式成立（-3试题）证明 取的中点，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论2，有 从而有设的边上的高为，则，于是故，其中等号当且仅当且时成立，也即且，此时恰为正三角形例12 如图4-13，在中，分别为和同方向延长线上的点，与相交于，且当在边的中线上时，则证明 设交于分别对及点和及点应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有，于是由于，对及点应用塞瓦定理，有，即当点在边上

10、的中线上时，有从而，由此知，故例13 如图4-14，若是的边延长线上一点，则平分的外角的充分必要条件是证明 必要性：若平分的外角，则由推论4即有或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导充分性：设直线交的外接圆于，连、由割线定理有，并将其代入条件式可得由此可知必在的延长线上（因）于是由，有由得 又由，有由得，由得，对四边形应用托勒密定理，有于是即，从而因此故平分的外角例14 如图4-15，设正的内切圆圆心为，半径为，在内任取一点，设点到，的距离分别为，求证：以，为边可以构成一个三角形，且其面积为（数学通报问题1356题）证明 设正三角形的边长为1，则，连并延长交于，则由题设知，由于，对及边上的点，对

11、及边上的点，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有又由，知，于是，又对及边上的点应用斯特瓦尔特定理，有由，知，将上述各式及式代入式，并注意，有即 于是，此式可写成为 由于点在内部，则，从而，必有，如若不然，比如，则，即与已知矛盾，则知，可见，以，为边可以构成三角形，且由海伦秦九韶公式及式知其面积为【模拟实战】习题A1在中，边有100个不同的点，记（1，2，100），求的值2在中，的平分线交于证明：（匈牙利中学生数学竞赛题）3在中，是边上的点，已知，求4在中，设为边上任一点，则（ ）ABCD与的大小关系不确定5是的边上的一点，且，求证：是的外接圆的切线6设的三边，设，分别为边上的中线长和高线长；，分别

12、为边所对的角的内、外角平分线长求证下列各式：（）；（）；（）；（）7在中，求证：是直角三角形8证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心习题B1设，分别是共线的三点，对于所作切线的长求证： 2锐角的外接圆过，的切线相交于，点是的中点求证： （-26预选题）3和是的割线，分别交于，且，过的直线交于，（在与之间），交，于，求证4，四点在同一圆周上，且，线段和的长都是整数，求的长5在正方形中，在上，点在上，则和的长度之和最小可达到多少？6设凸四边形的边长是，对角线长是和求证：，当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立7设，分别为的内心，外心，重心，垂心，令，分别为外接圆和内切圆的半径求证下列各式：（）；（）；（）；（）8已知满足，设是边上一点，且延长线段至，使证明：（-39预选题）工程部维修工的岗位职责1、 严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务; 2、 努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3、 积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥; 4、 招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格; 5、 严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作; 6、 交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生