初中数学-二次函数课件(精华);

1、26.1 二次函数及其图象 26.1.1 二次函数,第二十六章 二次函数,1、二次函数的定义,2、二次函数的图象及性质,3、抛物线的平移法则,4、二次函数解析式的三种形式,5、二次函数与一元二次方程的关系,6、二次函数的综合运用,二次函数,为什么a0呢?,我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,一、二次函数的定义,1.定义：y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0),2.定义要点: (1)a0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.,整式：整式是有理式的一部分，在有

2、理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式都统称为整式。,2x3 0.4x 3 xy是整式。xy不是整式，因为分母不能含有未知数，它是分式,分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式。所有单项式和多项式都是整式,练习： yx2，y2x2 3 ， y1005x2， y=2x25x33 中有 个是二次函数。,一、二次函数的定义,2,3.若函数 为二次函数，求m的值.,温故知新,（1）一次函数yx2的图象与x轴的交点为（ ， ） 一元一次方程x20的根为_ （2） 一次函数y3x6的图象与x轴的交点为（ ， ） 一元一次方程3x60的根为_

3、思考：一次函数ykxb的图象与x轴的交点与一元一次方程kxb0的根有什么关系？ 一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kxb0的根,2 0,2,2 0,2,函数yx22x3的图象与x轴两个交点为 （1，0）（3，0） 方程x22x3 0的两根是 x1 1 ,x2 3 你发现了什么？ （1）二次函数yax2bxc与x轴的交点的横坐标就是当y0时一元二次方程ax2bxc0的根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决,例题精讲,1. 求二次函数yx24x5与x轴的交点坐标 解：令y0 则x24x5 0 解之得，x1 5 ,x2 1 交点坐标为：（5，0）（1，0）

4、结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 a（ ）， b（ ） 思考：函数yx26x9和y2x23x5与x轴的交点坐标是什么？试试看！,x1，0,x2，0,探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？,结论二： 函数与x轴有两个交点 方程有两不相等根 函数与x轴有一个交点 方程有两相等根 函数与x轴没有交点 方程没有根 方程的根的情况是由什么决定的？ 判别式b24ac的符号,结论三： 对于二次函数yax2bxc，判别式又能给我们什么样的结论？ （1）b24ac0 函数与x轴有两个交点 （2）b24

5、ac0 函数与x轴有一个交点 （3）b24ac0 函数与x轴没有交点,一般地，我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴,课时小结:,二、二次函数的图象及性质,当a0时开口向上；当a0时开口向下.,(h,k),在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,直线x=h,x=h时ymin=k,x=h时ymax=k,函数 开口方向_ 顶点坐标是 ， 对称轴是 . 当x 时.y随x的增大而 . 当x 时.y有最值为 .,向上,减小,小,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,知识回顾：,

6、1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口 ，,2.对称轴是 ；,3.顶点坐标是 。,向上,向下,(h,k),直线x=h,一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同,知识回顾：,y=ax2,y=a(x-h)2+k,形状,位置,左加右减,上正下负,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,三、抛物线的平移法则,上下，左右,1、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个 单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式_,三、抛物线的平移法则,上下，左右,2.若把抛物线y=x2+bx

7、+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位, 得抛物线y=x2-2x+2, 则b= ，c= ,-8,15,四、a、b、c符号的确定,决定开口方向：,a、b同时决定对称轴位置：,决定抛物线与y轴的交点位置：,五、二次函数解析式的三种形式:,已知顶点坐标、对称轴或最值,已知任意三点坐标,已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0),2.已知抛物线过三点：a（1，2），b（0，1）， c（2，7），求二次函数的解析式.,解：设二次函数的解析式为：,由已知得：,注：此题运用了二次函数的一般式,3.已知抛物线与x轴交于a(-1, 0),b(3, 0),且过点c(1, 2) ，求抛物线的函数解析式.

8、,解：由已知设函数的解析式为,抛物线过点c（1，2） ,注：此题运用了 二次函数的双根式,联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数yx22x3和一次函数yx2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.,例题精讲 3.二次函数yx2x3和一次函数yxb有一个公共点（即相切），求出b的值. 解：由题意，得 消元，得 x2x3 xb 整理，得x22x （3 b） 0 有唯一交点 （2）2 4（ 3 b） 0 解之得，b 4,yx2x3,yxb,选择合适的方法求二

9、次函数解析式：,1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，4）三点。,2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 x轴的一个交点的横坐标是8。,练习,有两个交点,有两个相异实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,一元二次方程ax2+bx+c=0的根 就是 二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标,六、二次函数与一元二次方程的关系,练习 已知抛物线yx2m xm1,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_,(4)若抛物线与x轴只有一个交

10、点，则m_,= 1,1,= 2,= 0,不论x为何值时，函数 y=ax2+bx+c（a0）的值永远为正的条件是_,a0,0,.求抛物线 与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离. 何时y0?,3.已知抛物线和y轴的交点（0， ）,和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值,解法一 （1）设二次函数的解析式为,（2）由于,所以这个二次函数有最小值，,解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得 点（-1，0）， 在图象上，所以,解这个二元一次方程组，得,.,解法三 对称轴为x=1，一个交点（-1，0）， 另一个交点为（3，0）. 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).,.,注：此题的三种解法分别运用了二次函数的一般式、顶点式、双根式.,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.