高中文科立体几何单元检测卷

1、立体几何（文科）一、选择题（共8小题，每小题7分，满分56分）1（7分）图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的（）ABCD2（7分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD3（7分）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（7分）若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A若，l，n，则lnB若，l，则lC若ln，mn，则lmD若l，l，则5（7分）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB

2、存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b6（7分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（）A（1）是棱柱，（2）是棱台B（1）是棱台，（2）是棱柱C（1）（2）都是棱柱D（1）（2）都是棱台7（7分）如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为458（7分）设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角

3、的直线有且只有（）A1条B2条C3条D4条二、填空题（共6小题，每小题7分，满分42分）9（7分）三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是10（7分）若一个球的体积为，则它的表面积为11（7分）如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有对12（7分）已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则；若，则；若，a，b，则ab；若，=a，=b，则ab其中正确命题的序号有 13（7分）平面几何中，

4、正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值类比这一性质，在空间中相应的结论是：14（7分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成的角的大小为三、解答题（共4小题，满分52分）15（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S16（12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点（1）设F是棱AB的中点，

5、证明：直线EE1平面FCC1；（2）证明：平面D1AC平面BB1C1C17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（）求四棱锥PABCD的体积18（14分）如图所示，等腰ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE=x，V（x）表示四棱柱PACFE的体积（1）求证：面PEF面ACFE；（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？立

6、体几何（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题7分，满分56分）1（7分）（2010秋白山校级期末）图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的（）ABCD【分析】旋转体是由一个圆锥和一个圆台组成的，可知上面是直角三角形，下面是直角梯形【解答】解：旋转体是由一个圆锥和一个圆台组成的，可知上面是直角三角形，下面是倒放的直角梯形，旋转以前的图形为两平面图形组合而成的，可知选A故选A【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题2（7分）（2009福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD【分析】解法1：结合选项，正方体的体积否

7、定A，推出正确选项C即可解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可【解答】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是故选C【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视

8、长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等3（7分）（2009山东）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题4（7分）（2007广东）若l、m、n是互

9、不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A若，l，n，则lnB若，l，则lC若ln，mn，则lmD若l，l，则【分析】对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理【解答】解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确选项B中，l与的位置关系有相交、平行、在内三种，则B不正确选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确选项D中，由l，设经过l的平面与相交，交线为c，则lc，又l，故c，又c，所以，正确故选D【点评】本

10、题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题5（7分）（2007北京）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的【解答】证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分

11、别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确【点评】考查面面平行的判定定理，依据条件由定理直接判断6（7分）（2009宁夏）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（）A（1）是棱柱，（2）是棱台B（1）是棱台，（2）是棱柱C（1）（2）都是棱柱D（1）（2）都是棱台【分析】我们想知道几何体的形状，只要观察它的特征，严格按照棱柱、棱台定义来判断即可【解答】解：（1）中，有两个平行的平面BB1E与平面CC1F，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以（1）是

12、三棱柱；（2）中，有两个平行的平面ABEA1与平面DCFD1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以（2）是四棱柱故选C【点评】本题易出现的错误是把（2）看成棱台我们知道台体是由锥体截得的，但是题中的部分（2）是如何都不能还原成锥体的，故（2）不是棱台7（7分）（2009四川）如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【解答】解：AD与PB在平面的射

13、影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以平面PAB平面PBC也不成立；BCAD平面PAD，直线BC平面PAE也不成立在RtPAD中，PA=AD=2AB，PDA=45，故选D【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质8（7分）（2008四川）设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有（）A1条B2条C3条D4条【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果【解答】解：如图，和成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABC=ACB=30，直线AC，AB都满足条件故选B【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能

14、力，图形的对称性；数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；二、填空题（共6小题，每小题7分，满分42分）9（7分）（2016南通模拟）三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是3+【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形ABC的面积，求解即可【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3a2=3，底面积为22=，表面积为3+故答案为：3+【点评】本题考查棱锥的表面积，是基础题10（7分）（2008天津）若一个球的体积为，则它的表面积为12【分析】有球的

15、体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可【解答】解：由得，所以S=4R2=12【点评】本题考查学生对公式的利用，是基础题11（7分）（2013春合浦县期中）如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有5对【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA底面ABCDPA平面PAB，PA平面PAD，可得：面PAB面ABCD，面PAD面ABCD，AB面PAD，可得：面PAB面PAD，BC面PAB，可得：面PAB面PBC，CD

16、面PAD，可得：面PAD面PCD；故答案为：5【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题12（7分）（2011顺庆区校级模拟）已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则；若，则；若，a，b，则ab；若，=a，=b，则ab其中正确命题的序号有 【分析】对于若a，a，则；垂直于同一直线的两平面平行，正确对于若，则；垂直于一个平面的两个平面也有可能垂直，故错误对于若，a，b，则ab；两平面平行并不能推出平面里的直线平行故错误对于若，=a，=b，则ab面面平行，被第三平面截得的两条直线平行，故正确即可得到答案【解答】解：因为已知a、b是两

17、条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，若a，a，则；因为垂直于同一直线的两平面平行，显然正确；若，则；设，分别是坐标平面，即可验证错误若，a，b，则ab；a、b也可异面，显然错误若，=a，=b，则ab由面面平行性质知，ab，故正确故答案为【点评】此题主要考查平面与平面平行的性质，属于概念性质理解的问题，题目比较简单且无计算量，属于基础题目13（7分）平面几何中，正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值类比这一性质，在空间中相应的结论是：正四面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值”；或“正多面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值”【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比

18、推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知平面几何中，正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值，我们可以类比这一性质，推理出正四面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值；或正多面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值【解答】解：“正三角形内任意一点到三边的距离之和是一个定值”我们可类比推理出：“正四面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值”；或“正多面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值”【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）14（7分）（2010秋安

19、徽期末）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成的角的大小为60【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图将BC1平移至AD1处，D1AC就是所求的角，又AD1C为正三角形D1AC=60故答案为60【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题三、解答题（共4小题，满分52分）15（12分）（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长

20、为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示（1）几何体的体积为V=S矩形h=684=64（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1=5左、右侧面的底边

21、上的高为：h2=4故几何体的侧面面积为：S=2（85+64）=40+24【点评】本题考查了学生的空间想象能力，图形确定后，本题就容易了，是中档题16（12分）（2016陕西一模）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；（2）证明：平面D1AC平面BB1C1C【分析】（1）取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1平面FCC1，只需证明EE1F1C，就证明了EE1平面FCC1内的直线，即可推得结论；（2）要证明平

22、面D1AC平面BB1C1C，只需证明ACBC，ACCC1，即可【解答】证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC又CC1DD1，FCCC1=C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所

23、以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1（2）连接AC，取F为AB的中点，在FBC中，FC=BC=FB=2，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此ACB=90，即ACBC又ACCC1，且CC1BC=C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题17（14分）（2008山东）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4（）设M是PC上的一点，证明

24、：平面MBD平面PAD；（）求四棱锥PABCD的体积【分析】（I）欲证平面MBD平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD平面PAD；（II）过P作POAD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO平面ABCD，从而PO为四棱锥PABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可【解答】解：（）证明：在ABD中，由于AD=4，BD=8，所以AD2+BD2=AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD（）解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即