高中数学函数知识点(详细)

1、第二章 函数一函数1、函数的概念：（1）定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数记作：=，A其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合| A 叫做函数的值域（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数的自变量的取值范围。（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。（3）

2、确定函数定义域的常见方法：若是整式，则定义域为全体实数若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数的定义域。若是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1 求函数 的定义域。例2 求函数的定义域。对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于1若为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定指数为零底不可以等于零，如实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数的定义域为0,1求的定义域已知函数的定义域为0,1）求的定义域3、值域 : （1）值域的定义：与相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的

3、值域。（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例：求函数的值域。解：，函数的值域为。配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数的值域。解：，函数的值域为。换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值

4、域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为值域为 练习：求函数的值域4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法（2）求函数解析式的常见方法：换元法例：已知, 求的解析式.例：若,求.例：已知 求.解方程组法例：设函数满足+2 f（）= （0），求函数解析式.一变：若是定义在R上的函数，并且对于任意实数，总有求

5、。（令x=0，y=2x）待定系数法例：已知是一次函数，并且求解：设，则则，解得或故所求一次函数解析式或配变量法例：已知, 求的解析式.例：若,求.特殊值代入法（取特殊值法）例：若,且，求值.例：设是上的函数，且满足并且对任意实数有 求的表达式解：设则 即 或设则 利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对R, 满足,且当1,0时, 求当9,10时的表达式. 解析：，则则，T=25、分段函数 (1)定义：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集； 分段函数是一个函数，而不是几个函

6、数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果则 称为、的复合函数。7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象如：，（2）图象变换平移： 对称： 翻折：注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题*1.求下列函数的定义域： 2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数 ，若，则= 5.求下列函数的值域： (3) (4)二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数.区间D称

7、为的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.区间D称为的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）(A) 定义法： 任取D，且； 作差； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差的正负）； 下结论（指出函数在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性 复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性

8、密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例：是否存在实数使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由。 解：当1时，为使函数在闭区间上是增函数 只需在闭区间上是增函数，故 得，又由1，得1 当00=00二次函数一元二次方程有两不等实根（）有两相等实根没有实根一元二次不等式的解 集实数集R空集空集5、一元二次方程的实根分布比较标准一元二次方程充要条件二次函数方程两根与实数比较方程两根与区间（）比较6、函数的零点与二分法（1）函数零点的定义 如果在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点。 一般地，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标。所以，方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 注意：并不是每个函数都有零点（2）函数零点的判断（零点存在性定理） 如果函数在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在区间上至少有一个零点，即存在一点使得，这样的零