考研定积分详解ppt课件

1、1,第五章,定 积 分,一、基本内容,二、与概念有关的问题,三、定积分的计算方法,四、典型例题与解答,2,一、基本内容,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,上的定积分简称:积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,1.定积分的定义:,3,注意：,(1),是一个确定的常数.,定与不定的区别？,4,(2)定积分与区间的分割方法无关，,(3)积分值仅与被积函数及积分区间有关，,使用什么字母表示无关.即,而与积分变量,的取法无关.,与,(4)当,否则称,(5),曲边梯形面积,变速直线运动的路程,5,定理1.,2.存在定理,定理2.,且只有有限个间断点,定理的证明省略,只

2、要求记住结论.,定理3.,故改变积分区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.,6,曲边梯形的面积;,曲边梯形面积的负值;,A,表示各部分,面积的代数和.,即,3.定积分的几何意义,7,之间的各部分面积的代数和.,且x轴上方的,在x轴下方的面积取负号.,面积取正号；,8,4.定积分的性质,(3),dx,则,若,(4),(性质中涉及到的定积分均存在),解:,则,则至少存在一点,使,9,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,dx,10,5.积分上限函数,6.以下几个符号的区别与联系,1)以上几个符号存在的条件及概念.,2)在存在的情况下,它们的区别与联系.,的区别：,

3、一个确定的常数,无数个函数,一个函数,一个确定的常数,认识它吗？,11,的联系：,12,定积分定义,定理：,或者,二、与概念有关的问题,例1. 用定积分表示极限:,解:,13,例2. 用定积分表示极限:,解:,另解:,14,解: 将数列适当放大和缩小,以简化成积分和形式,已知,利用夹逼准则可知,(1998考研),例3. 求,15,例4. 如图连续函数,分别是直径为1,的上、下半圆周,在区间,图形分别是直径为,则下列结论正确的是（ ）,的下、上半圆周,B.,C.,D.,A.,上的图像,16,17,设 连续，则,解:,A,例5.,练习： 求,18,例6. 设,解法1:,解法2:,对已知等式两边求导

4、,得,19,例7. 设 求,解:,无法直接求出f(x),所以采用分部积分法.,20,解：,P244第11题：,21,09研数一：,22,解：,例8.,则,思考题:,解：,求,定积分为常数 ,故应用积分法定此常数 .,设, 则,23,三、定积分的计算方法：,1.定积分的基本计算方法(常规计算方法有三种),(1)微积分基本公式:,(2)定积分的换元公式:,(3)定积分的分部积分公式:,注意各个公式成立的条件.,定理3,24,说明:,1) 当 ,公式仍成立 .,2) 必需注意不换元时不换限，换元的同时应换限,3) 与不定积分的换元公式相比，这里没有要求,当然最好选单调区间.,上限与上限对应，,下限与

5、下限对应.,单调，,4) 如果,在这个值域上连续即可.,25,如: 计算,解：,且,由定积分的几何意义：,P246例1,26,如: 计算,解：, 原式 =,说明：若由 x 的范围求 t 的范围时如下做法对吗？,且,27,2.定积分计算的特殊方法(公式法,奇偶性,周期性,几何意义等),28,3.几个重要的代换技巧及常用结论,1)奇偶函数的定积分,即,结论1：,且有,P247例5,29,证:,奇,偶,偶倍奇零,30,奇函数,解:,例1. 计算,原式,偶函数,单位圆的面积,31,证:,例2.,证毕,则,经验：,特点：使限变号,特点：不改变积分限,P253第2题,32,2)两个常用公式,结论2： 若,

6、在,上连续，证明：,证:,特别的：,(n为正整数),P247例6,33,(2) 设,证:,34,例3. 计算,解:,该被积函数的原函数不是初等函数,35,3)积分上限函数的奇偶性,证明：,(1),同理可证明(2).,设 是连续函数， . 证明：,结论3：,P254第6题,36,当 为周期函数， 也是周期函数,设 是连续函数， 是 的原函数,则( ),设 是连续函数,下列函数必为偶函数的是( ),02研,1999研,当 为奇， 必偶,当 为偶， 必奇,当 为单调增函数， 也是单调增函数,37,设 是以T 为周期的连续函数，则,证明：,由于,证毕,结论4：,P249例7,4)周期函数的定积分,38

7、,例4.,计算,周期的周期函数,解:,39,四、典型例题与解答,证:,例1.,右端,设 为连续函数,，试证,分部积分,= 左端,40,例2. 设,证 : 设,且,试证 :,则,故 F(x)在a,b 上单调递增 ,证毕,41,例3.证明,证：,是以 为周期的函数.,证毕,04研数一,提示：,42,练习:设,在,上连续，,为偶函数,且 满足条件,(1)证明：,(2) 利用(1)的结论计算:,提示：,43,练习:设,在,上连续，,为偶函数,且 满足条件,(1)证明：,(2) 利用(1)的结论计算:,44,例4.,解:,考研题,计算,45,另解 求,解: 令,则,原式,46,例5. 求,解:,如图,47,思考: 1.下列作法是否正确?,定理3,(2) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .,例如 ：,48,练习