立体几何基础题题库（240道附详细答案）[共94页]

1、状元源 / 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源 / 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。立体几何基础题题库二（有详细答案）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VSAB，则四边形SABV为平行四边形，有SVA=VAB=60，从而SVA为等边三角形，同理SVD也是等边三角形，从而SAD也是等边三角形，

2、得到以VAD为底，以S与S重合.这表明VAB与VSA共面，VCD与VSD共面，故共有5个暴露面.362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四

3、面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=2=，故VABCD=1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，则V=.363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r12,球心与截

4、面的距离为dR-8，由截面性质得：r2+d2R2,即122+(R-8)2R2.得R13 该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S，则Scos30S,并且S9，所以S6(米2)365. 设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是A

5、D的中点，从而MEAD.ME平面AC， MEEF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则r设ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1当且仅当a，即a时，等号成立.当ADME时，满足条件的球最大半径为-1.366. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。同理BD1AB1.BD1面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为AB1C的中心.AC=aAG=aBG=a(3)BB1G为所求cosBB1G=367. 已知为

6、所在平面外一点，为的中点，求证：平面解析：因M为PB的中点，连BDAC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线证明 连交于，连，则为的中位线，平面，平面，平面 368. 如图，在正方体1111中，M，N，分别是棱11，A1D1，1，的中点（）求证：1平面（）平面直线A1E与MF所成的角解析：（）要证A1E平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决（）为（）的应用证明（）AB平面A1ADD1，而1平面A1ADD1，AB1在平面

7、A1ADD1中，A1EAN，ANABA，A1E平面ABMN解（）由（）知A1E平面ABMN，而MF平面ABMN，A1EMF，则A1E与MF所成的角为369. 如图，在正方体1111中，M为棱C1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD解析：要证A1O平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察 A1O垂直DB吗？方法：发现A1O平分DB，想到什么？（A1DB是否为等腰三角形）A1DA1B，DOOB，A1ODB方法：A1ODB吗？即DBA1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与

8、A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察证明取CC1中点M，连结MO，DBA1A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，A1ODB在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，则A1OAMOC，A1OOM，OMDBO，A1O平面MBD370. 点P在线段AB上，且APPB，若A，B到平面的距离分别为a，b，求点P到平面的距离解析：（）A，B在平面的同侧时，P平面的距离为；（）A，B在平面的异侧时，P平面的距离为点评一是画图时，只要

9、画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（）种情形的结论，就是将（）结论中的b改为(b)，而无需再画另一图形加以求解371. 若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）（）有且只有一个（）可能存在也可能不存在（）有无数多个（）一定不存在（）解析：若存在，则ab，而由条件知，a不一定与b垂直372. 在正方体1111中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）（）AC（）BD（）A1D（）A1D1解析：（）BDAC，BDCC1，BD平面A1ACC1，BDCE373. 定点P不在ABC所在平面内，

10、过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（）（）个（）个（）个（）个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，则P到A点的距离是（）（）（）（）（）解析：（A）设ABa，BCb，PAh，则a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,h=1375. 线段AB的两个端点A，B到平面的距离分别为6cm, 9cm, P在线段AB上，AP：PB：，则P到平面的距

11、离为解析：cm或cm分A，B在平面的同侧与异侧两种情况同侧时，P到平面的距离为（cm），异侧时，P到平面的距离为（cm）376. ABC的三个顶点A，B，C到平面的距离分别为2cm, 3cm, 4cm , 且它们在的同一侧，则ABC的重心到平面的距离为 解析：3cm 3cm 377. RtABC中，D是斜边AB的中点，AC，BC，EC平面ABC，且EC，则ED解析：AB，CD，则ED378. 如图，在正方体1111中，求：（）A1B与平面A1B1CD所成的角；（）B1B在平面A1C1B所成角的正切值解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影（）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的

12、射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证明它是平面A1B1CD的垂线这里可证BC1平面A1B1CD，O为垂足，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影（）若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1平面D1DBB1，故作B1HO1B交于H时，BH1A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影另在求此角大小时，只要求B1BO1即可解析：（）如图，连结BC1，交B1C于O，连A1OA1B1平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，A1B1BC1又B1CBC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1CD，O为垂

13、足，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，则BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角sinBA1O，BA1O（）连结A1C1交B1D1于O1，连BO1，作B1HBO1于HA1C1平面D1DBB1，A1C1B1H又B1HBO1，A1C1BO1O1，B1H平面A1C1B，B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角，tanB1BO =，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为379. RtABC中，C，BC，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为，M为AC的中点（）求证：PMAC；（）求P到直线AC的距离；（）求PM与平面ABC所成角的正切值解析：点P到AB

14、C的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为ABC的外心，而ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点证明（）PAPC，M是AC中点，PMAC 解（）BC，MH，又PH，PM，即P到直线AC的距离为；（）PM=PB=PC，P在平面ABC内的射线为ABC的外心， C=90 P在平面ABC内的射线为AB的中点H。 PH平面ABC，HM为PM在平面ABC上的射影，则PMH为PM与平面ABC所成的角，tanPMH380. 如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M

15、为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗解作AO平面BCD于O，连DO，作MN平面BCD于N，则NOD设ADa，则OD，AO，MN又CM，CNCM与平面BCD所成角的余弦值为381. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且ANNB，求证：C1MMN解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难此题C1M与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN是平面A1ABB1内的一条直线，可考虑MC1在平面A1ABB1内的射影证明设正方体的棱长为，则MN，C1M，C1N，MNMC1NC1，C1MM

16、N证明连结B1M，C1B1平面A1ABB1，B1M为C1M在平面A1ABB1上的射影设棱长为a ，AN，AM，tanAMN，又tanA1B1M，则AMNA1B1M，B1MMN，由三垂线定理知，C1MMN382. 如图，ABCD为直角梯形，DABABC，ABBCa，ADa，PA平面ABCD，PAa（） 求证：PCCD；（） 求点B到直线PC的距离解析：（）要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明（）从B向直线PC作垂直，可利用PBC求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的PBC）；另一种重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，

17、故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影证明（）取AD的中点E，连AC，CE，则ABCE是正方形，CED为等腰直角三角形ACCD，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影，PCCD；解（）连BE交AC于O，则BEAC，又BEPA，ACPAA，BE平面PAC过O作OHPC于H，连BH，则BHPCPAa，AC，PC，则OH，BO，BH383. 四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ）（）个（）个（）个（）个解析：（D）设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四

18、面体的每个面都是直角三角形384. 直角三角形ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在平面外，C在平面内的射影为C1，且C1AB，则C1AB为（ ）（）锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形（）以上都不对解析：（C）C1A2+C1B2CA2+CB2 AB, AC1B为钝角，则C1AB为钝角三角形385. ABC在平面内，C90，点，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P到平面的距离等于 解析：PAPBPC,P在平面内的射影为ABC的外心，C90，为AB的中点，AO，PA，PO386. P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PAAB，PAAF，PAa，则点P到边CD的距离是 解析：

19、2aPA平面ABCDEF，A到CD的距离为，P到边CD的距离是2a387. 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点（） 求证：MNCD；（） 若PDA45，求证：MN平面PCD证明（）连ACBDO，连NO，MO，则NOPAPA平面ABCD，NO平面ABCDMOAB，MNAB，而CDAB，MNCD；（）PDA45，PAAD，由PAMCBM得PMCM，N为PC中点，MNPC又MNCD，PCCDC，MN平面PCD388. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm2的菱形，ADC是锐角. 求证：PACD证明：设ADC=，则

20、：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得=60ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AECD，PECDAECD，PECD CD平面PAE CDPA389. 设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又是的重心；为上一点，；为上一点，；，如图(1)求证：GF平面PBC；(2)求证：EFBC。解析：(1)连结BG并延长交PA于M.G为ABP的重心注 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题中的运用。390. 已知=C，ab,a,b,Aa,AEb于E，AFc于F，求证：aEF解析：ba,b,a, b又b，=c bc, 又

21、AFc AFb 又AEb, AEAF=A b平面AEF ab a平面AEFEF平面AEF aEF391. 如图，ABC为锐角三角形，PA平面ABC，A点在平面PBC上的射影为H，求：H不可能是PBC的垂心解析：连结CH，则CH是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心，则CHPB，由三垂线定理得ACPB，又PA平面ABC，PAAC，AC平面PAB，从而ACAB与ABC为锐角三角形矛盾，故H不可能是垂心392. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影（1）求PB与平面BCD所成角；（2）求BP与平面PCD所成的角解析：（1）PD平面BCD，BD是P

22、B在平面BCD内的射影，PBD为PB与平面BCD所成角,BDBC,由三垂线定理得BCBD，BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB与平面BCD所成角为45 （2）过B作BECD于E，连结PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE为BP与平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP与平面PCD所成角为30PABC393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，求侧面与底面所成的角的大小。解析：如图，正四棱锥PABCD的一个对角面PAC。设棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h，底面中

23、心为O，连PO，则PO底面ABCD，POAC，在PAC中，AC=，PO=h，PABCDOE 在PBC中， h:h=. 取BC中点E，连OE，PE，可证PEO即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在RtPOE中，sinPEO=， PEO=，即侧面与底面所成的角为.394. 如右图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1BC1，ABAC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60角。（1）求证：AC面ABC1；（2）求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；（3）求此三棱柱体积的最小值。解析：（1）由棱柱性质，可知A1C1/AC A1C1BC1， ACBC1，又ACAB，AC平面ABC1 （2）由（

24、1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC平面ABC1 在平面ABC1内，过C1作C1HAB于H，则C1H平面ABC，故点C1在平面ABC上 的射影H在直线AB上。 （3）连结HC，由（2）知C1H平面ABC， C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角， C1CH=60，C1H=CHtan60= V棱柱= CAAB，CH，所以棱柱体积最小值3。395. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=900，BAC=300，BC=1，AA1=，M为CC1中点，求证：AB1A1M。解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 ACB=900 A1C1B1=900即B1C1C1A1又由CC1

25、平面A1B1C1得：CC1B1C1 B1C1平面AA1C1C AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理，下证AC1A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1= ， RtA1C1MRtAA1C1 1=2又2+3=900 1+3=900 AC1A1M AB1A1M评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线396. 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD=，在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求ADE的面积；（2）求证：平面ADE平面ACC1A1。解析：分别在三个侧面内求出ADE的边长AE=a，AD=a

26、，DE= 截面ADE为等腰三角形 S= （2） 底面ABC侧面AA1C1C ABC边AC上的高BM侧面AA1C1C下设法把BM平移到平面AED中去取AE中点N，连MN、DN MNEC，BDEC MNBD DNBM DN平面AA1C1C 平面ADE平面AA1C1C397. 斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7 （1）求证：AA1BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（3）求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积；（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。解析：设A1在平面ABC上的射影为0 A1AB=A1AC O

27、在BAC的平行线AM上 ABC为正三角形 AMBC又AM为A1A在平面ABC上的射影 A1ABC （2） B1BA1A B1BBC，即侧面BB1C1C为矩形 又 S全= （3） cosA1AB=cosA1AOcosOAB cosA1AO= sinA1AO= A1O=A1AsinA1AO= （4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 BCAM，BCA1A BC平面AA1M1M 平面AA1M1M侧面BCC1B1在平行四边形AA1M1M中过A1作A1H

28、M1M，H为垂足则A1H侧面BB1C1C 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 398. 平面内有半径为R的O，过直径AB的端点A作PA，PA=a，C是O上一点，CAB=600，求三棱锥POBC的侧面积。解析：三棱锥POBC的侧面由POB、POC、PBC三个三角形组成在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算 PA平面ABC PAAO，AC为PC在平面ABC上的射影 BCAC BCPC POB中， PBC中，BC=ABsin600=2a AC=a PC= POC中，PO=PC=，OC=a S侧=399. 四棱锥VABCD底面是边长为4的菱形，BAD=1200

29、，VA底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，（1）求点V到CD的距离；（2）求点V到BD的距离；（3）作OFVC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；（4）求异面直线BD与VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面ABCD内作AECD，E为垂足 VA平面ABCD AE为VE在平面ABCD上的射影 VECD 线段VE长为点V到直线CD的距离 BAD=1200 ADC=600 ACD为正三角形 E为CD中点，AE= VE= （2） AOBD 由三垂线定理VOBD VO长度为V到直线BD距离 VO= （3）只需证OFBD BDHC，BDVA BD平面VAC BDOF OF为异面直

30、线BD与VC的公垂线 （4）求出OF长度即可在RtVAC中OC=AC=2，VC= OF=OCsinACF=OC400. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：A1A=A1B=A1C 点A1在平面ABC上的射影为ABC的外心，在BAC平分线AD上 AB=AC ADBC AD为A1A在平面ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C为矩形，S=BB1BC=156取AB中点E，连A1E A1A=A1B A1EAB S侧=396401. 如图，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D

31、是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析： 设ACD，则BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因为ACDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM与BN成90的角，于是AB.当45即CD是ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角AB内一点P，向面和分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，PC，P

32、DPCAB，PDABCEAB，DEAB又CE，DE，CED是二面角AB的平面角.在四边形PCED内：C90，D90CPD和二面角AB的平面CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角ED，平面过ED，A，AB，垂足是B.AC，垂足是C.求证：ABACk(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.AB，AC.ABDE，ACDE.DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE.BFA，AFC分别为二面角DE，DE的平面角，它们为定值.在RtABF中，ABAFsinAFB.在RtAFC

33、中，ACAFsinAFC，得：定值.404. 如果直线l、m与平面、满足l，l,m和m.那么必有( )A.且lm B.且mC.m且lmD.且解析：m,m. .又m,l. ml.应选A.说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC，ABa,AD3a,且ADCarcsin，又PA平面ABCD，APa.求：(1)二面角PCDA的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CDAD于D，ABCD为矩形，CDABa，在RtCDD中.ADCarcsin,即DDCarcsin，sinCDDCDa DD2aA

34、D3a,ADaBC又在RtABC中，ACa,PA平面ABCD，PAAC，PAAD，PAAB.在RtPAB中，可得PBa.在RtPAC中，可得PCa.在RtPAD中，PDa.PC2+CD2(a)2+(a)8a2(a)2cosPCD0，则PCD90作PECD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AECD，AEP为二面角PCDA的平面角.在RtAED中ADEarcsin，AD3a.AEADsinADE3aa.在RtPAE中，tanPEA.AEParctan，即二面角PCDA的大小为arctan.(2)ADPA，ADAB，AD平面PAB.BCAD，BC平面PAB.平面PBC平面PAB，

35、作AHPB于H，AH平面PBC.AH为点A到平面PBC的距离.在RtPAB中，AHa.即A到平面PBC的距离为a.说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AECD于E，得PECD，从而PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.406. 如图，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中点.(1)求二面角l的大小；(2)求证：MNAB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.解析：(1)连PD，ABCD为矩形，ADDC，即ADl.又PAl，PDl.P、D，则P

36、DA为二面角l的平面角.PAAD，PAAD，PAD是等腰直角三角形，PDA45，即二面角l的大小为45.(2)过M作MEAD，交CD于E，连结NE，则MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD，MNAB(3)过N作NFCD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为PAD的角平线，FAD45，而AFMN，异面直线PA与MN所成的45角.407. 如图，在三棱柱ABCABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCCB是矩形，CBAB.(1)求证：平面CAB平面AAB；(2)若CB2，AB4，ABB60，求AC与平面BCCB所成角的大小.(用反三角函数表示)解析：(1)在三棱柱

37、ABCABC中，CBCB，CBAB.CBBB，ABBBB，CB平面AAB.CB平面CAB，平面CAB平面AAB(2)由四边形AABB是菱形，ABB60，连AB，可知ABB是正三角形.取 B B中点H，连结AH，则AHBB.又由CB平面AAB，得平面AABB平面 CBBC，而AH垂直于两平面交线BB，AH平面CBBC.连结CH，则ACH为 AC与平面BCCB所成的角，AB4，AH2，于是直角三角形CBA中，AC5，在RtAHC中，sinACHACHarcsin,直线AC与平面BCCB所成的角是arcsin.408. 已知四棱锥PABCD，它的底面是边长为a的菱形，且ABC120，PC平面ABCD

38、，又PCa，E为PA的中点.(1)求证：平面EBD平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离；(3)求二面角ABED的大小.(1)证明: 在四棱锥PABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点.又E为AD的中点，EFPC又PC平面ABCD，EF平面ABCD.EF平面EBD.平面EBD平面ABCD.(2)EFPC，EF平面PBCE到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离过F作FHBC交BC于H，PC平面ABCD，FH平面ABCDPCFH.又BCFH，FH平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离.FCH30，CFa.FHCFa.(3)取BE的中点

39、G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE平面ABCD，AFBD，AF平面BDC.BFEF，FGBE，由三垂线定理得，AGBE，FGA为二面角DBEA的平面角.FGa,AFa.tgFGA,FAGarctg即二面角ABED的大小为arctg409. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1)证明：AA1BB1O,AA1、BB1确定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面AB

40、O内，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.证明：如图，设ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直线上.410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求证：X、Y、Z三点共线.解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.证

41、明 P、Q、R三点不共线，P、Q、R三点可以确定一个平面. XPQ，PQ，X，又XBC，BC面BCD，X平面BCD. 点X是平面和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面和平面BCD的交线上.411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ab,过a、b可以确定一个平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可证n.bc,过b,c可以

42、确定平面，同理可证m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合，即直线a、b、c、m、n共面.412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内.证明：图中，l1l2P， l1,l2确定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.图中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.413. 证明推论3成立.（

43、如图）已知：ab，求证：经过a,b的平面有且只有一个.证明：(存在性)ab，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个.(唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.ab,A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.解答：已知：Aa，如图，B、C、Da，证明：AB

44、、AC、AD共面.证明：Aa，A，a确定平面，B、C、Da，a.B、C、D又A.AB、AC、AD.即AB、AC、AD共面.416. 空间可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线 B.一点和一直线C.一个三角形D.三个点解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.417. 下列命题正确的是( )A.经过两条直线有且只有一个平面B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面C.如果平面与有三个公共点，则两个平面一

45、定是重合平面D.两个平面、有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线解析：根据公理2、公理3知选D.418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( )A.1个平面B.4个平面C.1个或4个平面D.无法确定解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面，若第四个点也在内，四个点确定一个平面，当第四个点在外，由公理3知可确定4个平面.故选C.419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5解析： 如图，设球的半径是r，则BD25，AC28，BD25，AC28.又AB1，设OAx.x2+8r2,(x+1

46、)2+5r2.解之，得r3故选B.420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是O1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtO1OH中，O1H，OH1-r,OO11+r,OO12O1H2+OH2，即(1+r)2()2+(1-r)2，解得r.421. 地球半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.解析：本题关键是求出AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉

47、的长方体问题.如图2，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求BOA的问题.解： 如图2，O1OAO1OB，OAOBR，OO1O1AO1BR AB2O1A2+O1B2R， AOB为等边， AOB，A、B间的球面距离为R.422. 一个圆在平面上的射影图形是( )A.圆B.椭圆C.线段D.圆或椭圆或线段解析：D423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.解析：轴截面如图，设O2Cx，则CO121-x,ABO1O2 AO22-O2C2AO12-CO12，即102

48、-x2172-(21-x)2，解得x6,CO115,又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2，则h117-152,h210-64,S表2(172+104)148(cm)2,V22(310-2)+42(317-4)288(cm3).424. 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60角，求它的外接球的表面积.解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，ADAB，PAD60，PDADtan602,PA，而APAE，PA2PDPE，R，S球(cm)2.425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD，如图，即Sh4SR,h4R.426. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.解析：如图，O为球心，O1为北纬45