高斯消元法解线性方程组

1、高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学 模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也 不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢如果有解，解是否唯一若解不唯 一，解的结构如何呢这就是下面要讨论的问题。一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组aiiXiai2X2ainXnbia2iXia22 X2a2nXnb2（）amiXiam2X2amnXnbm其中系数aj ,常数bj都是已知数，xi是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b1 , b2，,bm不全为0时，称方程组（）为非齐次线性方程组；当 bj=b2=

2、bm = 0时，即aiiXiai2X2ainXn0a2iXia22 X2a2nXn0（）amiXiam2 X2amnXn0称为齐次线性方程组。由n个数ki，k2,kn组成的一个有序数组（ki，k2，,kn），如果将 它们依次代入方程组（）中的xi，X2，,Xn后，（）中的每个方程都变成恒等 式，则称这个有序数组（ki，k2,kn）为方程组（）的一个解。显然由Xi=0, X2=0， ， Xn=0 组成的有序数组（ 0， 0， 0 ）是齐次线性方程组（）的一个解，称之为齐次线性方程组（）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全 为零时，称之为非零解。（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方

3、程组的解是很方便的。 因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）非齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = B其中aiiai2ainXibiA = a2ia22a2n ， X =X2 ， B =b2amiam2amnXnbn称A为方程组（）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵 A和常 数矩阵B放在一起构成的矩阵a11a12a1 nbia21a22a2nb2A B=amiam2amnbm称为方程组（）的增广矩阵。齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = O二、高斯消元法（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方 程组的解呢我们先看一个定理。）定理

4、若用初等行变换将增广矩阵A B化为C D，则AX = B与CX = D 是同解方程组。证 由定理可知，存在初等矩阵Pi，P2，,Pk，使Pk P2 Pi（A B） = （C D）记PkP2 P = P，则P可逆，即P 1存在。设X1为方程组A X = B的解，即AX1 = B在上式两边左乘P，得P AX1 = PB即CX1 = D说明X1也是方程组C X = D的解。反之，设X2为方程组C X = D的解，即CX2= D在上式两边左乘P 1，得P1CX2= P 1D即AX2 = B说明X2也是方程组AX = B的解。因此，方程组A X = B与C X = D的解相同，即它们是同解方程组。（证毕

5、）（由定理可知，求方程组（）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵A B化简。又有第二章定理可知，通过初等行变换可以将A B化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（）的一般方法：）用初等行变换将方程组（）的增广矩阵A B化成阶梯形矩阵，再写出该阶 梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组， 所以也就得到了原方程组（）的解。这种方法被称为高斯消元法，（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）例1解线性方程组解先写出增广矩阵15121 1（1）041A B= 3x1 x2 2x3 x41X1 5x2 3x3 2x4 03X12x1X22x2X34X

6、42X3X41AB，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即211（1）1121 1320（3）20411 114204775111043312111121 111 11(-)0411 10 0 6 6 6上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组, 阵表示的线性方程组为最后一个增广矩X1X22X3X414x2X3X416X3(6x461将最后一个方程乘6，再将X4项移至等号的右端，得X3X41将其代入第二个方程，解得X2 12再将X2 , X3代入第一个方程组，解得X1X412因此，方程组（）的解为X1X41 2X21 2X3X41()其中X4可以任意取值。由于未知量X4的取值是任意

7、实数，故方程组（）的解有无穷多个。由此可知， 表示式（）表示了方程组（）的所有解。表示式（）中等号右端的未知量X4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（）称为方程组（）的一般 解，当表示式（）中的未知量X4取定一个值（如X4=1），得到方程组（）的一个1 1解（如X12，X2 -，X3 0，X4 1 ），称之为方程组（）的特解。注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将X3取作自由未知量。如果将表示式（）中的自由未知量 X4取一任意常数k,即令X4= k，那么方程组（）的一般解为x1 k 1 2X2 12，其中k为任意常数X3 k 1x4 k用矩阵形式表示为X1k1 2 1

8、12X2120=k1 2X3kl1 11X4k10()其中k为任意常数。称表示式（）为方程组（）的全部解（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代 的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化,使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进步化简，11211-11011011162000244006660011100000000001100 11 2一4（1）010 01 2001 11000 00上述矩阵对

9、应的方程组为x1 x41 2X21 2X3 X41将此方程组中含X4的项移到等号的右端，就得到原方程组（）的一般解,x1 x41 2()X212X3 X41其中X4可以任意取值。X12x23x342x13x25x374x13x29x392x15x28X38例2解线性方程组解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A B 化成阶梯阵，再求解。即1234123423570111A B =43990537258801201234123 4011101 1 1002200110011000012071003010201020011001100000000一般解为X1 3X22X31x1X2X31例 3 解

10、线性方程组x12X24X322x15X2X33解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵AB化成阶梯阵，再求解。即11111111AB=1242033325130331111103330002阶梯形矩阵的第三行“ 0, 0, 0, -2所表示的方程为：0X10X20X32 ，由该方程可知，无论 x1 ， x2，X3取何值,都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。三、线性方程组的解的判定 前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组 的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（） 是否有解，关键在于增广矩阵A B化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A化成阶

11、 梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系 数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。证 设系数矩阵A的秩为r，即r(A)= r。利用初等行变换将增广矩阵A B 化成阶梯阵：c110* * Gs*C2sG nC2nd1d20c2k初等行变换A B0000Gscrndr= C D0000 00dr 10000 000故AX=B 与 CX=D是同解方程组，因此AX=B有解dr 1 =0r(C D) = r(C)=r即r(AB)=r(A) =r。(证毕)推论1线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r(A) = r(A B)= n 。 推论2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)

12、 = r(A B) n 。(将上述结论应用到齐次线性方程组()上，则总有 r(A)二r(A B)。因此齐 次线性方程组一定有解。并且有)例4判别下列方程组是否有解若有解，是有唯解还是有无穷多解x1 2x23x311X12x23X311x1x2X37X1X22X37(1)(2)2x1 3x2X362x13x2X363x1x22X343x1X22X35x1 2x23x311x1x2X372x1 3x2X363x1x22X35解用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即123111231111 170124A B =23 160772831 240772912311012400700001因为r(A B) = 4 , r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即123111231111270114A B =2316000031250000因为r(A B)=r(A) =2n（= 3),所以方程组有无穷多解。(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即123111231111170124A B =2316007031250000因为r(A B)=r(A) = 3=n,所以方程组有唯-解。例 5 判别