高阶等差等比数列的通项及其前N项和求法

1、高阶等差、等比数列的性质、通项、前n项和求法章君（福建师范大学 数学系 福建 福州 350108）高阶等差数列定义：对于一个给定的数列，把它连续的两项与的差-记为.得到一个新的数列.称数列为原数列的一阶差数列.如果=-（），则数列是的一阶差数列.称为的二阶差数列.以此类推，可以得到数列的阶差数列，其中. 如果某一数列的阶差数列是一个非零常数列，则称此数列为阶等差数列.性质：若数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是-1阶等差数列.数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式.若数列是阶等差数列，则其前和是关于的+1次多项式.高阶等比数列定义：对于一个给定的数列，把它连续的两项与的比记为

2、.得到一个新的数列.称数列为原数列的一阶比数列.如果=（），则数列是的一阶比数列.称为的二阶比数列.以此类推，可以得到数列的阶差数列，其中. 如果某一数列的阶比数列是一个非零常数列，则称此数列为阶等比数列.一、高阶等差数列的通项及的求法求高阶等差数列的通项及前项和的时候，通常采用逐差法或待定系数法.下面先介绍逐差法求通项.方法一 逐差法 我们先看一个例题：【例1】求数列的通项：1，7，25，61，121，211，解：先作各阶差数列：数列：1，7，25，61，121，211，一阶差数列：6，18，36，60，90，二阶差数列：12，18，24，30，三阶差数列：6，6，6，由此可见，数列是3阶等

3、差数列，数列是首项为12、公差为6的等差数列，故： ，于是得到 将以上各式两边分别相加，得： 因为此公式当时的值，故数列的通项公式为： 又 由此可得，当时，将以上各式相加，得： 又此式当时的值，故数列的通项公式为：一般地，设数列的K阶差数列记为，如果数列是P阶等差数列，那么（P-1）阶差数列是等差数列，于是可以求出数列的通项公式，利用，仿照上述例题的作法，可以求出数列的通项公式，依次类推，可求出数列的通项公式.利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦，下面介绍待定系数法求通项. 方法二 待定系数法下面先证明两个定理.定理1 设P为正整数，前n个自然数的P次幂的和记为，即.则是关于n的（p+1

4、）次多项式.证明： 当p=1时， ，它是关于n的2次多项式，故结论是正确的.设结论当是正确的，则是关于n的（k+1）次多项式. ，于是 .根据假设分别是关于n的（k+1）次、k次、（k-1）次，1次多项式，而与n无关，因此是关于n的(k+2)次多项式.就是说，当 p=k+1时，是关于n的(k+2)次多项式，即结论当p=k+1时也是正确. 因此，是关于n的(p+1)次多项式.定理2 数列为p阶等差数列充要条件是：数列通项为n的p次多项式.证明： 先证必要性. 用数学归纳法.当p=1时，数列是等差数列，其通项，这是关于n的一次多项式.设p=k，即当为k阶差数列时，数列就是k阶差数列时，根据假设可令

5、依次令n=2,3,4， 得：将以上各式两边分别相加，化简后得：根据定理1，右边第一个括号的和是关于n的(k+1)次多项式，第二个括号是关于n的k次多项式，因此，是关于n的(k+1)次多项式. 当为(k+1)阶等差数列时，是关于n的(k+1)次多项式，即p=k+1时结论也是成立的.由上述证明可知，当为p阶等差数列时，是关于n的p次多项式.充分性.设数列的通项是关于n的p次多项式,设作它的一阶差数列：如果连续作p次，则得到p阶差数列是常数列，因此数列是p阶等差数列.定理3 若数列为p阶等差数列，则其前n项和是关于n的（p+1）次多项式.证明： 是p阶等差数列，根据定理2，它的通项公式是关于n是p次

6、多项式.设，则根据定理1，分别是关于n的（p+1）次、p次、（p-1）次，多项式，因此，是关于n的（p+1）次多项式.根据定理2和定理3，我们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前n项和公式.【例1】 求下面数列的通项公式及前n项和5，17，35，59，89，解：先判断是几阶等差数数列. 数列：5，17，35，59，89，一阶差数列：12，18，24，30二阶差数列：6，6，6，因此，数列是二阶等差数列，根据定理2，是关于n的2次多项式；根据定理3，前项n和是关于n的3次多项式.于是设： 其中都是待定系数.因为于是由式得方程组解之得:因此数列的通项公式为于是由式得方程组： 解之得: 因此，数

7、列的前n项和【例2】求数列的和解： 数列的通项是关于n的2次多项式，因此，数列的前n项和是关于n的3次多项式，于是可设 于是得方程组：解这个方程组得 因此，数列的和这个例题，如果是自然数的方幂和公式来计算，则会简单一些：.二、高阶等比数列的通项及的求法下面我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n顶和的问题.【例1】 求下列数列的通项：（1）：5，11，23，47，（2）：5，15，49，155，477，.解：（1）先作各阶差数列： 数列：5，11，23，47，一阶差数列6，12，24，由此可知，数列是一阶等比数列，数列的首项为6，公比为2，于是： 将以上各式两边分别相加，得： 因此，数列的通

8、项公式为： （2）数列及其各阶差数列为：数列5，15，49，155，477，一阶差数列：10，34，106，322，二阶差数列：24，72，216，由此可见，数列是首项为24、公比为3的等比数列，于是数列的通项公式为： 将以上各式两边分别相加，得：又将以上各式两边相加，得：因此，数列的通项公式为：下面介绍用待定系数法求一阶和二阶等比数列的通项的方法.定理1 若数列为一阶等比数列，则数列的通项公式为：其中A、B为非0的常数，q为一阶差数列的公比.证明： 因为数列是一阶等比数列，故数列是等比数列.设公比为，则因为.由此得 将以上各式两边分别相加，得： .此公式当，时的值为，因此数列通项公式为：令则

9、数列的通项公式可以写成 定理证毕.当数列为二阶等比数列时，因为一阶差数列是一阶等比数列，由定理可得此数列的通项公式为：其中q是二阶差数列的公比，是常数.将此公式两边求和，得：即.由此可以得到，二阶等比数列的通项公式为：. 其中都是常数.一般地说，p阶等比数列的通项形式为：.利用上述结论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式.【例2】 求数列：1，31，221，1211，6201，31191，的通项公式.解：不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5，于是可设数列通项为： 于是得方程组 解这个方程组，得A=10，B=-10，C=1.因此，数列的通项公式为 p阶等比数列的通项公式为：于是数列的前n项和为：.由此可见，只要求出高阶等比数列的通项公式，它的前n项和也是可以求出来的.【例3】